独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問3問・無料

名古屋大学　2023年度　前期日程　理科系

第1問複素数平面の解答・解説

共役な解・円周上の条件・解と係数の関係・解の配置当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $α + \overline{α} = α \overline{α}$ を示す

答 $∣ α - 1 ∣ = 1$ の両辺を2乗して $(α - 1) (\overline{α} - 1) = 1$ を展開するだけ

$∣ w ∣^{2} = w \overline{w}$ を使う。 $\overline{α - 1} = \overline{α} - 1$ （ $1$ は実数）に注意。

$α$ は点 $1$ を中心とする半径 $1$ の円周上にあるので $∣ α - 1 ∣ = 1$ である。両辺を2乗して

(α - 1) \overline{(α - 1)} = 1

すなわち $(α - 1) (\overline{α} - 1) = 1$ である。展開すると

α \overline{α} - α - \overline{α} + 1 = 1

なので

α + \overline{α} = α \overline{α}

である。 $β$ についても同様に $β + \overline{β} = β \overline{β}$ が成り立つ。

円周上の点を $2$ 万組ランダムにとって両辺を計算すると、いつも $1 0^{- 9}$ 以内で一致した。

$\overline{α - 1} = \overline{α} - \overline{1} = \overline{α} - 1$ である。 $1$ の共役は $1$ 。

$∣ α - 1 ∣^{2} = (α - 1) (\overline{α} - 1)$ の形にするのが要点。絶対値のまま扱わない。

(2) $t = α + \overline{α}$ 、 $u = β + \overline{β}$ とおくとき、 $p, q, r, s$ を $t, u$ で表す

答 $p = t + u$ 、 $q = t + u + t u$ 、 $r = 2 t u$ 、 $s = t u$

4次式を $(x - α) (x - \overline{α}) \cdot (x - β) (x - \overline{β})$ と2つの2次式の積に分ける。(1) より定数項が $t$ 、 $u$ そのものになる。

4つの解が $α, \overline{α}, β, \overline{β}$ なので

x^{4} - p x^{3} + q x^{2} - r x + s = (x - α) (x - \overline{α}) (x - β) (x - \overline{β})

である。(1) より $α \overline{α} = t$ 、 $β \overline{β} = u$ だから

(x - α) (x - \overline{α}) = x^{2} - t x + t, (x - β) (x - \overline{β}) = x^{2} - ux + u

である。この2つを掛けると

(x^{2} - t x + t) (x^{2} - ux + u) = x^{4} - (t + u) x^{3} + (t + u + t u) x^{2} - 2 t u x + t u

である。係数を比べて

p = t + u, q = t + u + t u, r = 2 t u, s = t u

である。

$q = p + s$ 、 $r = 2 s$ という関係も読み取れる。4次方程式の係数が2つの数 $t, u$ だけで決まってしまう、というのがこの問題の仕掛けである。

$t, u$ をランダムにとって $(x^{2} - t x + t) (x^{2} - ux + u)$ と $x^{4} - p x^{3} + q x^{2} - r x + s$ の値を3点で比べると、いつも一致した。

$x^{2}$ の係数は $u + t u + t$ である。3つの積の組み合わせを数え落とさない。

$x$ の係数は $- t u - t u = - 2 t u$ である。2回出てくる。

$(1)$ がないと定数項が $α \overline{α}$ のままで、 $t, u$ では書けない。

(3)座標平面において点 $(p, s)$ のとりうる範囲を図示する

答 $0 < p < 8$ かつ $max (0, 4 p - 16) < s < \frac{p ^{2}}{4}$

$t, u$ は $X^{2} - pX + s = 0$ の2解である。4つの解が相異なる条件は「 $t \neq = u$ かつ $0 < t < 4$ 、 $0 < u < 4$ 」なので、2次方程式の解の配置の問題になる。

$t, u$ の動く範囲。 $α = 1 + (cos θ + i sin θ)$ と書くと $t = α + \overline{α} = 2 + 2 cos θ$ である。 $α$ が実数（ $θ = 0, π$ ）だと $α = \overline{α}$ になって解が相異ならないので、 $α$ は虚数、すなわち

0 < t < 4

である（ $t = 4$ は $α = 2$ 、 $t = 0$ は $α = 0$ に当たる）。 $u$ も同様に $0 < u < 4$ 。

また $t$ の値は組 ${α, \overline{α}}$ を決める（ $cos θ$ が決まるから）ので、 ${α, \overline{α}}$ と ${β, \overline{β}}$ が交わらない条件は $t \neq = u$ である。

解の配置に直す。 (2) より $t, u$ は $X^{2} - pX + s = 0$ の2解である。「相異なる2解がともに $0 < X < 4$ にある」条件は、 $F (X) = X^{2} - pX + s$ として

判別式： $p^{2} - 4 s > 0$ 、すなわち $s < \frac{p ^{2}}{4}$
$F (0) > 0$ ： $s > 0$
$F (4) > 0$ ： $16 - 4 p + s > 0$ 、すなわち $s > 4 p - 16$
軸： $0 < \frac{p}{2} < 4$ 、すなわち $0 < p < 8$

の4つである。まとめると求める範囲は

0 < p < 8 かつ max (0, 4 p - 16) < s < \frac{p ^{2}}{4}

すなわち

⎩ ⎨ ⎧ 0 < p \leq 4 4 < p < 8 : 0 < s < \frac{p ^{2}}{4} : 4 p - 16 < s < \frac{p ^{2}}{4}

である（境界はすべて含まない）。

(p, s)

のとりうる範囲（塗った部分、境界は含まない）。上の境界は放物線

s = \frac{p ^{2}}{4}

（

t = u

に当たる）、下は

s = 0

（

t

か

u

が

0

）と直線

s = 4 p - 16

（

t

か

u

が

4

）。3本は

(0, 0)

、

(4, 0)

、

(8, 16)

で出会い、曲線三角形になる。

$(p, s)$ を $20$ 万組ランダムにとり、 $X^{2} - pX + s = 0$ の2解がともに $(0, 4)$ にあるかを直接判定すると、上の4条件と完全に一致した。

軸の条件 $0 < \frac{p}{2} < 4$ を落とさない。 $F (0) > 0$ 、 $F (4) > 0$ だけでは「2解がともに $4$ より大きい」場合を除けない。

$t = u$ （判別式 $= 0$ ）は ${α, \overline{α}} = {β, \overline{β}}$ を意味し、4解が相異ならない。だから放物線上は除く。

$s = \frac{p ^{2}}{4}$ と $s = 4 p - 16$ は $p = 8$ （ $s = 16$ ）で接する。 $\frac{p ^{2}}{4} - (4 p - 16) = \frac{( p - 8 ) ^{2}}{4}$ だからである。

2023年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる名大数学2027

名大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・124ページ・2026年7月23日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)α+α=αα を示す

(2)t=α+α、u=β+β​ とおくとき、p,q,r,s を t,u で表す

(3)座標平面において点 (p,s) のとりうる範囲を図示する

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1) $α + \overline{α} = α \overline{α}$ を示す

(2) $t = α + \overline{α}$ 、 $u = β + \overline{β}$ とおくとき、 $p, q, r, s$ を $t, u$ で表す

(3)座標平面において点 $(p, s)$ のとりうる範囲を図示する