独自の解答・詳解
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全4問・無料

名古屋大学　2023年度　前期日程　理科系

名大理系 2023年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　複素数平面

共役な解・円周上の条件・解と係数の関係・解の配置当サイトの体感難易度：難

(1) $α + \overline{α} = α \overline{α}$ を示す

答 $∣ α - 1 ∣ = 1$ の両辺を2乗して $(α - 1) (\overline{α} - 1) = 1$ を展開するだけ

$∣ w ∣^{2} = w \overline{w}$ を使う。 $\overline{α - 1} = \overline{α} - 1$ （ $1$ は実数）に注意。

$α$ は点 $1$ を中心とする半径 $1$ の円周上にあるので $∣ α - 1 ∣ = 1$ である。両辺を2乗して

(α - 1) \overline{(α - 1)} = 1

すなわち $(α - 1) (\overline{α} - 1) = 1$ である。展開すると

α \overline{α} - α - \overline{α} + 1 = 1

なので

α + \overline{α} = α \overline{α}

である。 $β$ についても同様に $β + \overline{β} = β \overline{β}$ が成り立つ。

円周上の点を $2$ 万組ランダムにとって両辺を計算すると、いつも $1 0^{- 9}$ 以内で一致した。

$\overline{α - 1} = \overline{α} - \overline{1} = \overline{α} - 1$ である。 $1$ の共役は $1$ 。

$∣ α - 1 ∣^{2} = (α - 1) (\overline{α} - 1)$ の形にするのが要点。絶対値のまま扱わない。

(2) $t = α + \overline{α}$ 、 $u = β + \overline{β}$ とおくとき、 $p, q, r, s$ を $t, u$ で表す

答 $p = t + u$ 、 $q = t + u + t u$ 、 $r = 2 t u$ 、 $s = t u$

4次式を $(x - α) (x - \overline{α}) \cdot (x - β) (x - \overline{β})$ と2つの2次式の積に分ける。(1) より定数項が $t$ 、 $u$ そのものになる。

4つの解が $α, \overline{α}, β, \overline{β}$ なので

x^{4} - p x^{3} + q x^{2} - r x + s = (x - α) (x - \overline{α}) (x - β) (x - \overline{β})

である。(1) より $α \overline{α} = t$ 、 $β \overline{β} = u$ だから

(x - α) (x - \overline{α}) = x^{2} - t x + t, (x - β) (x - \overline{β}) = x^{2} - ux + u

である。この2つを掛けると

(x^{2} - t x + t) (x^{2} - ux + u) = x^{4} - (t + u) x^{3} + (t + u + t u) x^{2} - 2 t u x + t u

である。係数を比べて

p = t + u, q = t + u + t u, r = 2 t u, s = t u

である。

$q = p + s$ 、 $r = 2 s$ という関係も読み取れる。4次方程式の係数が2つの数 $t, u$ だけで決まってしまう、というのがこの問題の仕掛けである。

$t, u$ をランダムにとって $(x^{2} - t x + t) (x^{2} - ux + u)$ と $x^{4} - p x^{3} + q x^{2} - r x + s$ の値を3点で比べると、いつも一致した。

$x^{2}$ の係数は $u + t u + t$ である。3つの積の組み合わせを数え落とさない。

$x$ の係数は $- t u - t u = - 2 t u$ である。2回出てくる。

$(1)$ がないと定数項が $α \overline{α}$ のままで、 $t, u$ では書けない。

(3)座標平面において点 $(p, s)$ のとりうる範囲を図示する

答 $0 < p < 8$ かつ $max (0, 4 p - 16) < s < \frac{p ^{2}}{4}$

$t, u$ は $X^{2} - pX + s = 0$ の2解である。4つの解が相異なる条件は「 $t \neq = u$ かつ $0 < t < 4$ 、 $0 < u < 4$ 」なので、2次方程式の解の配置の問題になる。

$t, u$ の動く範囲。 $α = 1 + (cos θ + i sin θ)$ と書くと $t = α + \overline{α} = 2 + 2 cos θ$ である。 $α$ が実数（ $θ = 0, π$ ）だと $α = \overline{α}$ になって解が相異ならないので、 $α$ は虚数、すなわち

0 < t < 4

である（ $t = 4$ は $α = 2$ 、 $t = 0$ は $α = 0$ に当たる）。 $u$ も同様に $0 < u < 4$ 。

また $t$ の値は組 ${α, \overline{α}}$ を決める（ $cos θ$ が決まるから）ので、 ${α, \overline{α}}$ と ${β, \overline{β}}$ が交わらない条件は $t \neq = u$ である。

解の配置に直す。 (2) より $t, u$ は $X^{2} - pX + s = 0$ の2解である。「相異なる2解がともに $0 < X < 4$ にある」条件は、 $F (X) = X^{2} - pX + s$ として

判別式： $p^{2} - 4 s > 0$ 、すなわち $s < \frac{p ^{2}}{4}$
$F (0) > 0$ ： $s > 0$
$F (4) > 0$ ： $16 - 4 p + s > 0$ 、すなわち $s > 4 p - 16$
軸： $0 < \frac{p}{2} < 4$ 、すなわち $0 < p < 8$

の4つである。まとめると求める範囲は

0 < p < 8 かつ max (0, 4 p - 16) < s < \frac{p ^{2}}{4}

すなわち

⎩ ⎨ ⎧ 0 < p \leq 4 4 < p < 8 : 0 < s < \frac{p ^{2}}{4} : 4 p - 16 < s < \frac{p ^{2}}{4}

である（境界はすべて含まない）。

(p, s)

のとりうる範囲（塗った部分、境界は含まない）。上の境界は放物線

s = \frac{p ^{2}}{4}

（

t = u

に当たる）、下は

s = 0

（

t

か

u

が

0

）と直線

s = 4 p - 16

（

t

か

u

が

4

）。3本は

(0, 0)

、

(4, 0)

、

(8, 16)

で出会い、曲線三角形になる。

$(p, s)$ を $20$ 万組ランダムにとり、 $X^{2} - pX + s = 0$ の2解がともに $(0, 4)$ にあるかを直接判定すると、上の4条件と完全に一致した。

軸の条件 $0 < \frac{p}{2} < 4$ を落とさない。 $F (0) > 0$ 、 $F (4) > 0$ だけでは「2解がともに $4$ より大きい」場合を除けない。

$t = u$ （判別式 $= 0$ ）は ${α, \overline{α}} = {β, \overline{β}}$ を意味し、4解が相異ならない。だから放物線上は除く。

$s = \frac{p ^{2}}{4}$ と $s = 4 p - 16$ は $p = 8$ （ $s = 16$ ）で接する。 $\frac{p ^{2}}{4} - (4 p - 16) = \frac{( p - 8 ) ^{2}}{4}$ だからである。

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第2問　積分法

2円の交わり・回転体の体積・球欠と円錐・最大値と極限当サイトの体感難易度：難

(1)半径 $r$ のみたすべき条件を求める

答 $a - b < r < a + b$

2円が2点で交わる条件は「中心間距離が半径の和より小さく、差より大きい」である。中心間距離は $a$ 。

$C$ の中心は原点、 $D$ の中心は $(a, 0)$ なので中心間距離は $a$ である。2円が異なる2点で交わる条件は

∣ r - b ∣ < a < r + b

である。右側から $r > a - b$ 。左側は

- a < r - b < a ⟺ b - a < r < a + b

で、 $0 < b < a$ より $b - a < 0 < r$ だから左は自動的に成り立つ。よって

a - b < r < a + b

である。

$a = 3$ 、 $b = 1.2$ で $1.8 < r < 4.2$ 。 $r = 2, 3, 4$ のとき確かに2点で交わり、 $r = 1.7, 4.3$ では交わらなかった。

「2点で交わる」なので接する場合（等号）は入れない。

$∣ r - b ∣ < a$ の左側は $0 < b < a$ のおかげで自動的にみたされる。

(2) $C$ と $D$ の交点のうち $y$ 座標が正のものを $P$ とするとき、 $P$ の $x$ 座標 $h (r)$ を求める

答 $h (r) = \frac{a ^{2} - b ^{2} + r ^{2}}{2 a}$

2円の方程式を引き算すると $y^{2}$ が消えて、 $x$ の1次方程式になる。

$C : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 、 $D : (x - a)^{2} + y^{2} = b^{2}$ である。辺々引くと

x^{2} - (x - a)^{2} = r^{2} - b^{2} ⟺ 2 a x - a^{2} = r^{2} - b^{2}

なので

h (r) = \frac{a ^{2} - b ^{2} + r ^{2}}{2 a}

である。

$h (r) - (a - b) = \frac{r ^{2} - ( a - b ) ^{2}}{2 a} > 0$ （(1) より $r > a - b$ ）なので、 $P$ は $R (a - b, 0)$ より右にある。また $r - h (r) = \frac{( a + b - r ) ( r - ( a - b ))}{2 a} \cdot \frac{\dots}{\dots}$ の形で正になり、 $P$ は $Q (r, 0)$ より左にある。

$a = 3$ 、 $b = 1.2$ 、 $r = 3$ のとき $h = \frac{9 - 1.44 + 9}{6} = 2.76$ で、2円の交点を数値で求めた $x$ 座標と一致した。

$y$ 座標が正という条件は $x$ 座標には効かない。2つの交点は $x$ 座標が同じである。

引き算で $x^{2}$ と $y^{2}$ が同時に消える。 $x$ の1次式になるのが要点。

(3) $Q (r, 0)$ 、 $R (a - b, 0)$ とし、 $D$ の内部にある $C$ の弧 $PQ$ 、線分 $QR$ 、線分 $RP$ で囲まれる図形を $A$ とする。 $A$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積 $V (r)$ を求める

答 $V (r) = \frac{π}{3} (r - h) {2 r^{2} - (a - b) (r + h)}$ （ $h = h (r)$ ）

$A$ は「 $R$ から $P$ までは直線、 $P$ から $Q$ までは円弧」が上の境界で、下は $x$ 軸である。回転すると「円錐＋球欠」になる。

$h = h (r)$ 、 $k = r^{2} - h^{2}$ （ $P$ の $y$ 座標）とおく。(2) の注より $a - b < h < r$ である。

$A$ は $a - b \leq x \leq r$ の範囲にあり、上の境界は

$a - b \leq x \leq h$ ：線分 $RP$ 、すなわち $y = \frac{k ( x - ( a - b ) )}{h - ( a - b )}$
$h \leq x \leq r$ ：円 $C$ の弧、すなわち $y = r^{2} - x^{2}$

である。

円錐の部分。 底面の半径 $k$ 、高さ $h - (a - b)$ の円錐なので

V_{1} = \frac{1}{3} π k^{2} (h - a + b) = \frac{π}{3} (r^{2} - h^{2}) (h - a + b)

である。

球欠の部分。

V_{2} = π \int_{h}^{r} (r^{2} - x^{2}) d x = π [r^{2} x - \frac{x ^{3}}{3}]_{h}^{r} = π (\frac{2}{3} r^{3} - r^{2} h + \frac{h ^{3}}{3})

である。

足してまとめる。

V (r) = \frac{π}{3} {(r^{2} - h^{2}) (h - a + b) + 2 r^{3} - 3 r^{2} h + h^{3}} = \frac{π}{3} {2 r^{2} (r - h) - (a - b) (r^{2} - h^{2})} = \frac{π}{3} (r - h) {2 r^{2} - (a - b) (r + h)}

である（2行目では $r^{2} h - r^{2} (a - b) - h^{3} + h^{2} (a - b) + 2 r^{3} - 3 r^{2} h + h^{3}$ を整理した）。

$(a, b) = (3, 1.2), (5, 2), (2, 0.5)$ の各5点で、円錐＋球欠の数値積分とこの式が小数9桁まで一致した。

$A$ の上の境界が $x = h$ で切り替わる。円錐と球欠に分けて足す。

円錐の高さは $h - (a - b)$ であって $h$ ではない。頂点は $R$ にある。

$h^{3}$ がきれいに打ち消し合う。整理すると $(r - h)$ でくくれる。

(4) $V (r)$ の最大値を与える $r$ を求め、それを $r (a)$ とおいたときの $a \to \infty lim (r (a) - a)$ を求める

答 $r (a) = \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{3 a + b}$ 、 $a \to \infty lim (r (a) - a) = \frac{b}{3}$

$V$ を $r$ で微分する。 $h^{'} (r) = \frac{r}{a}$ を使って整理すると、 $V^{'} = 0$ が $r$ の2次方程式になり、 $r = a - b$ が解の1つだと分かる。

$h = \frac{a ^{2} - b ^{2} + r ^{2}}{2 a}$ より $h^{'} = \frac{r}{a}$ である。(3) の

\frac{3}{π} V = 2 r^{3} - 2 r^{2} h + (a - b) (h^{2} - r^{2})

を微分すると

\frac{3}{π} V^{'} = 6 r^{2} - 4 r h - 2 r^{2} \cdot \frac{r}{a} + (a - b) (2 h \cdot \frac{r}{a} - 2 r)

である。 $2 r$ でくくると

\frac{3}{π} V^{'} = 2 r {3 r - 2 h - \frac{r ^{2}}{a} + \frac{( a - b ) ( h - a )}{a}}

となる。中かっこを $2 a^{2}$ 倍し、 $2 ah = a^{2} - b^{2} + r^{2}$ を使って $h$ を消すと

2 a^{2} {\dots} = - {(3 a + b) r^{2} - 6 a^{2} r + (3 a^{3} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3})}

である。したがって

V^{'} (r) = - \frac{π r}{3 a ^{2}} {(3 a + b) r^{2} - 6 a^{2} r + (3 a^{3} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3})}

となる。中かっこの2次式を解く。判別式は

36 a^{4} - 4 (3 a + b) (3 a^{3} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3}) = 4 b^{2} (2 a + b)^{2}

なので

r = \frac{6 a ^{2} \pm 2 b ( 2 a + b )}{2 ( 3 a + b )} = \frac{3 a ^{2} \pm b ( 2 a + b )}{3 a + b}

である。符号 $-$ のほうは

\frac{3 a ^{2} - 2 ab - b ^{2}}{3 a + b} = \frac{( 3 a + b ) ( a - b )}{3 a + b} = a - b

と、定義域の左端そのものである。したがって定義域の内部にある解は符号 $+$ のほうだけで

r_{0} = \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{3 a + b}

である（ $r_{0} < a + b$ も確かめられる： $(a + b) (3 a + b) - (3 a^{2} + 2 ab + b^{2}) = 2 ab > 0$ ）。

増減。 2次式は $(3 a + b) (r - (a - b)) (r - r_{0})$ と因数分解できるので

V^{'} (r) = - \frac{π r ( 3 a + b )}{3 a ^{2}} (r - (a - b)) (r - r_{0})

である。 $a - b < r < r_{0}$ では $V^{'} > 0$ 、 $r_{0} < r < a + b$ では $V^{'} < 0$ 。よって $r = r_{0}$ で最大になる。

r (a) = \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{3 a + b}

極限。

r (a) - a = \frac{3 a ^{2} + 2 ab + b ^{2} - a ( 3 a + b )}{3 a + b} = \frac{ab + b ^{2}}{3 a + b} = \frac{b ( a + b )}{3 a + b} = \frac{b ( 1 + \frac{b}{a} )}{3 + \frac{b}{a}} a \to \infty \frac{b}{3}

である。

$(a, b) = (3, 1.2), (5, 2), (2, 0.5)$ で $V (r)$ の最大を $20$ 万点に刻んで探すと $3.494112, 5.823520, 2.192310$ で、式の値 $3.494118, 5.823529, 2.192308$ と一致した。 $b = 1.2$ で $a = 10, 100, 1000, 100000$ とすると $r (a) - a$ は $0.4308, 0.4032, 0.4003, 0.4000$ と $\frac{b}{3} = 0.4$ に近づいた。

$h$ も $r$ の関数なので、積の微分で $h^{'} = \frac{r}{a}$ が出てくる。 $h$ を定数扱いしない。

$V^{'} = 0$ の2次方程式の一方の解が $r = a - b$ （定義域の端）になる。これに気づくと因数分解が速い。

$b$ は固定したまま $a \to \infty$ とする。 $\frac{b ( a + b )}{3 a + b}$ で分母分子を $a$ で割る。

第2問だけのページ

第3問　微分法

方程式の実数解の個数・増減・接する条件・定数分離当サイトの体感難易度：難

(1)方程式 $e^{x} = \frac{2 x ^{3}}{x - 1}$ の負の実数解の個数を求める

答1個

$x < 0$ では右辺が正で、 $e^{x}$ は $0$ から $1$ へ増加する。右辺の増減を調べると単調減少なので、交わるのは1回だけ。

$φ (x) = \frac{2 x ^{3}}{x - 1}$ とおく。 $x < 0$ では $x^{3} < 0$ 、 $x - 1 < 0$ なので $φ (x) > 0$ である。

$φ$ の増減。

φ^{'} (x) = \frac{6 x ^{2} ( x - 1 ) - 2 x ^{3}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{4 x ^{3} - 6 x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} ( 2 x - 3 )}{( x - 1 ) ^{2}}

である。 $x < 0$ では $2 x^{2} > 0$ 、 $2 x - 3 < 0$ 、 $(x - 1)^{2} > 0$ なので $φ^{'} (x) < 0$ 、つまり $φ$ は狭義減少である。

$x \to - \infty$ ： $φ (x) = \frac{2 x ^{3}}{x - 1} \approx 2 x^{2} \to + \infty$
$x \to - 0$ ： $φ (x) \to \frac{0}{- 1} = 0$

一方 $e^{x}$ は $x < 0$ で狭義増加し、 $x \to - \infty$ で $0$ 、 $x \to - 0$ で $1$ に近づく。

$φ (x) - e^{x}$ は（減少） $-$ （増加）なので狭義減少で、 $x \to - \infty$ で $+ \infty$ 、 $x \to - 0$ で $0 - 1 = - 1 < 0$ である。中間値の定理より符号が変わる点がただ1つあり、求める個数は

1 個

である。

この方程式は、(3) に出てくる「 $y = x (x^{2} - a)$ と $y = e^{x}$ が接する」条件そのものである。接点では $x^{3} - a x = e^{x}$ と $3 x^{2} - a = e^{x}$ が同時に成り立ち、 $a$ を消すと $e^{x} = \frac{2 x ^{3}}{x - 1}$ になる。

$x$ を $- 10$ から $0$ まで $1 0^{- 5}$ 刻みで調べると、符号が変わるのは $x = - 0.74539$ の1か所だけだった。

$x < 0$ に限ると $φ > 0$ で、 $e^{x}$ と比べられる。 $x > 1$ などでは話が変わる。

$φ^{'}$ の分子は $4 x^{3} - 6 x^{2} = 2 x^{2} (2 x - 3)$ である。 $x^{2}$ でくくると符号が $2 x - 3$ だけで決まる。

「減少する関数」と「増加する関数」が交わるのは高々1回。これで個数が確定する。

(2) $y = x (x^{2} - 3)$ と $y = e^{x}$ のグラフの $x < 0$ における共有点の個数を求める

答2個

$ψ (x) = x^{3} - 3 x - e^{x}$ の増減を調べる。 $ψ^{'} = 3 x^{2} - 3 - e^{x}$ の符号が $x < 0$ でどう変わるかを見る。

$ψ (x) = x^{3} - 3 x - e^{x}$ とおく。 $x < 0$ での $ψ = 0$ の解の個数を数える。

$ψ^{'}$ の符号。

ψ^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 - e^{x} = 3 (x^{2} - 1) - e^{x}

である。 $x < 0$ では $0 < e^{x} < 1$ なので

$- 1 \leq x < 0$ ： $3 (x^{2} - 1) \leq 0 < e^{x}$ なので $ψ^{'} < 0$
$x < - 1$ ： $3 (x^{2} - 1)$ は $x$ が小さいほど大きく（ $x = - 1$ で $0$ 、 $x = - 1.5$ で $3.75$ ）、 $e^{x}$ は $x$ が小さいほど小さい。 $x = - 1$ で $ψ^{'} = - e^{- 1} < 0$ 、 $x = - 1.5$ で $ψ^{'} = 3.75 - e^{- 1.5} > 0$

$x < - 1$ では $3 (x^{2} - 1)$ が減少関数（ $x$ について）、 $e^{x}$ が増加関数なので $ψ^{'}$ は狭義減少、したがって $ψ^{'} = 0$ となる $x_{0}$ が $- 1.5 < x_{0} < - 1$ にただ1つある。まとめると

x < x_{0} : ψ^{'} > 0 (増加), x_{0} < x < 0 : ψ^{'} < 0 (減少)

である。

値を見る。

x \to - \infty ψ (- 1) ψ (0) : ψ \to - \infty = - 1 + 3 - e^{- 1} = 2 - e^{- 1} > 0 = - 1 < 0

$x_{0} < - 1$ なので $ψ (x_{0}) \geq ψ (- 1) > 0$ である。したがって

$(- \infty, x_{0})$ ： $- \infty$ から $ψ (x_{0}) > 0$ へ増加 → 解が1個
$(x_{0}, 0)$ ： $ψ (x_{0}) > 0$ から $- 1 < 0$ へ減少 → 解が1個

で、合わせて

2 個

である。

$x$ を $- 10$ から $0$ まで $1 0^{- 5}$ 刻みで調べると、符号が変わるのは $x = - 1.70079$ と $x = - 0.26242$ の2か所だった。

$ψ^{'}$ の零点が $x < 0$ にちょうど1つであることを示す。 $- 1 \leq x < 0$ では符号が決まり、 $x < - 1$ では単調性から1つと分かる。

$ψ (- 1) = 2 - \frac{1}{e} > 0$ が効く。 $x_{0}$ の値を求める必要はなく、 $ψ (x_{0}) \geq ψ (- 1) > 0$ で足りる。

$x \to - \infty$ では $x^{3}$ が効いて $ψ \to - \infty$ 。 $e^{x} \to 0$ なので $x^{3} - 3 x$ の挙動そのものである。

(3) $a > 0$ 、 $f (x) = x (x^{2} - a)$ とする。 $y = f (x)$ と $y = e^{x}$ の $x < 0$ における共有点が1個のみであるような $a$ がただ1つ存在することを示す

答 $a = G (x) = x^{2} - \frac{e ^{x}}{x}$ の最小値（ $x < 0$ ）がその $a$

$a$ について解いて定数分離する。 $x < 0$ で $x^{3} - a x = e^{x} ⟺ a = x^{2} - \frac{e ^{x}}{x}$ 。右辺を $G (x)$ とおくと、共有点の個数は $y = G (x)$ と $y = a$ の交点の個数である。

$x < 0$ では $x \neq = 0$ なので、 $x^{3} - a x = e^{x}$ は

a = x^{2} - \frac{e ^{x}}{x} =: G (x)

と同値である。 $x < 0$ では $- \frac{e ^{x}}{x} > 0$ なので $G (x) > 0$ で、共有点の個数は「 $y = G (x)$ （ $x < 0$ ）と水平線 $y = a$ の交点の個数」に等しい。

$G$ の増減。

G^{'} (x) = 2 x - \frac{e ^{x} \cdot x - e ^{x}}{x ^{2}} = 2 x - \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}

である。 $G^{'} (x) = 0$ は両辺に $x^{2}$ を掛けて

2 x^{3} = e^{x} (x - 1) ⟺ e^{x} = \frac{2 x ^{3}}{x - 1}

となり、これは (1) の方程式そのものである。よって $G^{'}$ の零点は $x < 0$ にちょうど1つ、それを $x_{1}$ とする。

両端での挙動。

$x \to - 0$ ： $x^{2} \to 0$ 、 $- \frac{e ^{x}}{x} \to - \frac{1}{- 0} = + \infty$ なので $G \to + \infty$
$x \to - \infty$ ： $x^{2} \to + \infty$ 、 $- \frac{e ^{x}}{x} \to 0$ なので $G \to + \infty$

両端で $+ \infty$ に発散し、途中の極値が1つだけなので、その $x_{1}$ は極小であり $G$ の最小値を与える。 $m = G (x_{1}) > 0$ とおくと増減は

x < x_{1} : 減少, x_{1} < x < 0 : 増加

である。したがって $y = G (x)$ と $y = a$ の交点の個数は

$0 < a < m$ ： $0$ 個
$a = m$ ： $1$ 個
$a > m$ ： $2$ 個

である。よって共有点がちょうど1個になる $a$ は $a = m$ のときに限り、そのような $a$ はただ1つ存在する。

G (x) = x^{2} - \frac{e ^{x}}{x}

（

x < 0

）。両端で

+ \infty

に発散し、

x_{1} = - 0.7454

で最小値

m = 1.1923

をとる。水平線

y = a

との交点の個数が共有点の個数で、

a = m

のときだけ1個になる。

a = 3

（(2) の場合）では2個である。

$G$ を $x < 0$ で $200$ 万点に刻むと、最小値 $1.192251753$ （ $x = - 0.745385$ ）をとり、 $x \to - 0$ で $99999$ 、 $x = - 10$ で $100.0$ と両端で大きくなった。 $a = 3$ では交点が2個（(2) と一致）だった。

$a$ について解いて定数分離するのが要点。 $f$ と $e^{x}$ を直接比べると $a$ が2か所に入って扱いにくい。

$G^{'} = 0$ が (1) の方程式に一致する。(1) を「極値が1つしかない」ことの根拠に使う。

両端で $+ \infty$ だから、唯一の極値は極小である。極大だと両端で $+ \infty$ と矛盾する。

$a > 0$ という条件は $G > 0$ と整合している。 $a \leq 0$ は最初から対象外である。

第3問だけのページ

第4問　数列

多項式の係数・二項定理・係数比較・恒等式の証明当サイトの体感難易度：やや難

(1)等式 $m = 1 \sum n_{n} B_{m} = n!$ を示す

答 $P_{n} (x) = \sum_{n} B_{m} x^{m}$ に $x = 1$ を代入する

係数の和は $x = 1$ を代入した値である。左辺の積が階乗になる。

$P_{n} (x) = x (x + 1) \dots (x + n - 1) = m = 1 \sum n_{n} B_{m} x^{m}$ に $x = 1$ を代入すると

P_{n} (1) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n = n!

であり、右辺は

m = 1 \sum n_{n} B_{m} \cdot 1^{m} = m = 1 \sum n_{n} B_{m}

である。よって $m = 1 \sum n_{n} B_{m} = n!$ が成り立つ。

$n = 1, 2, 3, 5, 7$ で係数を展開して足すと $1, 2, 6, 120, 5040$ となり、 $n!$ と一致した。

$P_{n} (x)$ は定数項をもたない（ $x$ が因数）。だから和は $m = 1$ から始まる。

$x = 1$ を入れると $1 \cdot 2 \dots n$ で、 $n$ 個の連続整数の積になる。

(2)等式 $P_{n} (x + 1) = m = 1 \sum n (_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{0} +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{1} x + \dots +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{m} x^{m})$ を示す

答 $P_{n} (x + 1) = \sum_{n} B_{m} (x + 1)^{m}$ に二項定理を使うだけ

$P_{n}$ の式の $x$ に $x + 1$ を代入し、 $(x + 1)^{m}$ を二項定理で展開する。

$P_{n} (x) = m = 1 \sum n_{n} B_{m} x^{m}$ は恒等式なので、 $x$ を $x + 1$ に置き換えてよい。

P_{n} (x + 1) = m = 1 \sum n_{n} B_{m} (x + 1)^{m}

である。二項定理より

(x + 1)^{m} = j = 0 \sum m_{m} C_{j} x^{j} =_{m} C_{0} +_{m} C_{1} x + \dots +_{m} C_{m} x^{m}

なので、代入して

P_{n} (x + 1) = m = 1 \sum n (_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{0} +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{1} x + \dots +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{m} x^{m})

である。

$n = 3$ で $P_{3} (x + 1) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ を展開すると $x^{3} + 6 x^{2} + 11 x + 6$ で、右辺の計算と一致した。

$P_{n} (x + 1) = (x + 1) (x + 2) \dots (x + n)$ でもあるが、ここでは係数の形が欲しいので展開した式のほうを使う。

二項定理の和は $j = 0$ から始まる。 $_{m} C_{0} = 1$ の項（定数項）を落とさない。

(3) $k = 1, 2, \dots, n$ に対して $j = k \sum n_{n} B_{j} \cdot_{j} C_{k} =_{n + 1} B_{k + 1}$ を示す

答 $P_{n + 1} (x) = x P_{n} (x + 1)$ の両辺で $x^{k + 1}$ の係数を比べる

$P_{n} (x + 1) = (x + 1) (x + 2) \dots (x + n)$ なので、 $x$ を掛けると $P_{n + 1} (x)$ になる。右辺は (2) で展開済みなので、係数比較すれば終わる。

$P_{n} (x + 1) = (x + 1) (x + 2) \dots (x + n)$ だから

x P_{n} (x + 1) = x (x + 1) (x + 2) \dots (x + n) = P_{n + 1} (x)

である。(2) の式に $x$ を掛けると

P_{n + 1} (x) = m = 1 \sum n j = 0 \sum m_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{j} x^{j + 1}

である。

$x^{k + 1}$ の係数を比べる。 左辺 $P_{n + 1} (x) = m = 1 \sum n + 1_{n + 1} B_{m} x^{m}$ の $x^{k + 1}$ の係数は $_{n + 1} B_{k + 1}$ である。

右辺で $x^{j + 1} = x^{k + 1}$ となるのは $j = k$ のときだけ。 $j \leq m$ が必要なので $m$ は $k$ 以上 $n$ 以下を動き、係数は

m = k \sum n_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{k}

である。 $m$ を $j$ と書き直して

j = k \sum n_{n} B_{j} \cdot_{j} C_{k} =_{n + 1} B_{k + 1}

が成り立つ。

$_{n} B_{m}$ は「 $n$ 個のものを $m$ 個の輪に分ける場合の数」（第1種スターリング数）である。この等式はその組合せ的な意味からも説明できるが、ここでは多項式の係数比較だけで済む。

$1 \leq n \leq 8$ 、 $1 \leq k \leq n$ のすべての組で、左辺と右辺を整数のまま計算して一致した。

$x P_{n} (x + 1) = P_{n + 1} (x)$ に気づくのが要点。 $P_{n} (x + 1)$ は $(x + 1)$ から $(x + n)$ までの積である。

和の範囲が $m \geq k$ になるのは、 $_{m} C_{k}$ が $m < k$ で $0$ だからである（あるいは二項定理の和が $j \leq m$ だから）。

左辺の添字は $k + 1$ 、右辺は $j$ （ $= m$ ）から $k$ を選ぶ。1つずれるので気をつける。

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問題文について

(1)α+α=αα を示す

(2)t=α+α、u=β+β​ とおくとき、p,q,r,s を t,u で表す

(3)座標平面において点 (p,s) のとりうる範囲を図示する

(1)半径 r のみたすべき条件を求める

(2)C と D の交点のうち y 座標が正のものを P とするとき、P の x 座標 h(r) を求める

(3)Q(r,0)、R(a−b,0) とし、D の内部にある C の弧 PQ、線分 QR、線分 RP で囲まれる図形を A とする。A を x 軸の周りに1回転してできる立体の体積 V(r) を求める

(4)V(r) の最大値を与える r を求め、それを r(a) とおいたときの a→∞lim​(r(a)−a) を求める

(1)方程式 ex=x−12x3​ の負の実数解の個数を求める

(2)y=x(x2−3) と y=ex のグラフの x<0 における共有点の個数を求める

(3)a>0、f(x)=x(x2−a) とする。y=f(x) と y=ex の x<0 における共有点が1個のみであるような a がただ1つ存在することを示す

(1)等式 m=1∑n​n​Bm​=n! を示す

(2)等式 Pn​(x+1)=m=1∑n​(n​Bm​⋅m​C0​+n​Bm​⋅m​C1​x+⋯+n​Bm​⋅m​Cm​xm) を示す

(3)k=1,2,…,n に対して j=k∑n​n​Bj​⋅j​Ck​=n+1​Bk+1​ を示す

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(1) $α + \overline{α} = α \overline{α}$ を示す

(2) $t = α + \overline{α}$ 、 $u = β + \overline{β}$ とおくとき、 $p, q, r, s$ を $t, u$ で表す

(3)座標平面において点 $(p, s)$ のとりうる範囲を図示する

(1)半径 $r$ のみたすべき条件を求める

(2) $C$ と $D$ の交点のうち $y$ 座標が正のものを $P$ とするとき、 $P$ の $x$ 座標 $h (r)$ を求める

(3) $Q (r, 0)$ 、 $R (a - b, 0)$ とし、 $D$ の内部にある $C$ の弧 $PQ$ 、線分 $QR$ 、線分 $RP$ で囲まれる図形を $A$ とする。 $A$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積 $V (r)$ を求める

(4) $V (r)$ の最大値を与える $r$ を求め、それを $r (a)$ とおいたときの $a \to \infty lim (r (a) - a)$ を求める

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(3) $a > 0$ 、 $f (x) = x (x^{2} - a)$ とする。 $y = f (x)$ と $y = e^{x}$ の $x < 0$ における共有点が1個のみであるような $a$ がただ1つ存在することを示す

(1)等式 $m = 1 \sum n_{n} B_{m} = n!$ を示す

(2)等式 $P_{n} (x + 1) = m = 1 \sum n (_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{0} +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{1} x + \dots +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{m} x^{m})$ を示す

(3) $k = 1, 2, \dots, n$ に対して $j = k \sum n_{n} B_{j} \cdot_{j} C_{k} =_{n + 1} B_{k + 1}$ を示す