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名古屋大学　2023年度　前期日程　理科系

第3問微分法の解答・解説

方程式の実数解の個数・増減・接する条件・定数分離当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)方程式 $e^{x} = \frac{2 x ^{3}}{x - 1}$ の負の実数解の個数を求める

答1個

$x < 0$ では右辺が正で、 $e^{x}$ は $0$ から $1$ へ増加する。右辺の増減を調べると単調減少なので、交わるのは1回だけ。

$φ (x) = \frac{2 x ^{3}}{x - 1}$ とおく。 $x < 0$ では $x^{3} < 0$ 、 $x - 1 < 0$ なので $φ (x) > 0$ である。

$φ$ の増減。

φ^{'} (x) = \frac{6 x ^{2} ( x - 1 ) - 2 x ^{3}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{4 x ^{3} - 6 x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} ( 2 x - 3 )}{( x - 1 ) ^{2}}

である。 $x < 0$ では $2 x^{2} > 0$ 、 $2 x - 3 < 0$ 、 $(x - 1)^{2} > 0$ なので $φ^{'} (x) < 0$ 、つまり $φ$ は狭義減少である。

$x \to - \infty$ ： $φ (x) = \frac{2 x ^{3}}{x - 1} \approx 2 x^{2} \to + \infty$
$x \to - 0$ ： $φ (x) \to \frac{0}{- 1} = 0$

一方 $e^{x}$ は $x < 0$ で狭義増加し、 $x \to - \infty$ で $0$ 、 $x \to - 0$ で $1$ に近づく。

$φ (x) - e^{x}$ は（減少） $-$ （増加）なので狭義減少で、 $x \to - \infty$ で $+ \infty$ 、 $x \to - 0$ で $0 - 1 = - 1 < 0$ である。中間値の定理より符号が変わる点がただ1つあり、求める個数は

1 個

である。

この方程式は、(3) に出てくる「 $y = x (x^{2} - a)$ と $y = e^{x}$ が接する」条件そのものである。接点では $x^{3} - a x = e^{x}$ と $3 x^{2} - a = e^{x}$ が同時に成り立ち、 $a$ を消すと $e^{x} = \frac{2 x ^{3}}{x - 1}$ になる。

$x$ を $- 10$ から $0$ まで $1 0^{- 5}$ 刻みで調べると、符号が変わるのは $x = - 0.74539$ の1か所だけだった。

$x < 0$ に限ると $φ > 0$ で、 $e^{x}$ と比べられる。 $x > 1$ などでは話が変わる。

$φ^{'}$ の分子は $4 x^{3} - 6 x^{2} = 2 x^{2} (2 x - 3)$ である。 $x^{2}$ でくくると符号が $2 x - 3$ だけで決まる。

「減少する関数」と「増加する関数」が交わるのは高々1回。これで個数が確定する。

(2) $y = x (x^{2} - 3)$ と $y = e^{x}$ のグラフの $x < 0$ における共有点の個数を求める

答2個

$ψ (x) = x^{3} - 3 x - e^{x}$ の増減を調べる。 $ψ^{'} = 3 x^{2} - 3 - e^{x}$ の符号が $x < 0$ でどう変わるかを見る。

$ψ (x) = x^{3} - 3 x - e^{x}$ とおく。 $x < 0$ での $ψ = 0$ の解の個数を数える。

$ψ^{'}$ の符号。

ψ^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 - e^{x} = 3 (x^{2} - 1) - e^{x}

である。 $x < 0$ では $0 < e^{x} < 1$ なので

$- 1 \leq x < 0$ ： $3 (x^{2} - 1) \leq 0 < e^{x}$ なので $ψ^{'} < 0$
$x < - 1$ ： $3 (x^{2} - 1)$ は $x$ が小さいほど大きく（ $x = - 1$ で $0$ 、 $x = - 1.5$ で $3.75$ ）、 $e^{x}$ は $x$ が小さいほど小さい。 $x = - 1$ で $ψ^{'} = - e^{- 1} < 0$ 、 $x = - 1.5$ で $ψ^{'} = 3.75 - e^{- 1.5} > 0$

$x < - 1$ では $3 (x^{2} - 1)$ が減少関数（ $x$ について）、 $e^{x}$ が増加関数なので $ψ^{'}$ は狭義減少、したがって $ψ^{'} = 0$ となる $x_{0}$ が $- 1.5 < x_{0} < - 1$ にただ1つある。まとめると

x < x_{0} : ψ^{'} > 0 (増加), x_{0} < x < 0 : ψ^{'} < 0 (減少)

である。

値を見る。

x \to - \infty ψ (- 1) ψ (0) : ψ \to - \infty = - 1 + 3 - e^{- 1} = 2 - e^{- 1} > 0 = - 1 < 0

$x_{0} < - 1$ なので $ψ (x_{0}) \geq ψ (- 1) > 0$ である。したがって

$(- \infty, x_{0})$ ： $- \infty$ から $ψ (x_{0}) > 0$ へ増加 → 解が1個
$(x_{0}, 0)$ ： $ψ (x_{0}) > 0$ から $- 1 < 0$ へ減少 → 解が1個

で、合わせて

2 個

である。

$x$ を $- 10$ から $0$ まで $1 0^{- 5}$ 刻みで調べると、符号が変わるのは $x = - 1.70079$ と $x = - 0.26242$ の2か所だった。

$ψ^{'}$ の零点が $x < 0$ にちょうど1つであることを示す。 $- 1 \leq x < 0$ では符号が決まり、 $x < - 1$ では単調性から1つと分かる。

$ψ (- 1) = 2 - \frac{1}{e} > 0$ が効く。 $x_{0}$ の値を求める必要はなく、 $ψ (x_{0}) \geq ψ (- 1) > 0$ で足りる。

$x \to - \infty$ では $x^{3}$ が効いて $ψ \to - \infty$ 。 $e^{x} \to 0$ なので $x^{3} - 3 x$ の挙動そのものである。

(3) $a > 0$ 、 $f (x) = x (x^{2} - a)$ とする。 $y = f (x)$ と $y = e^{x}$ の $x < 0$ における共有点が1個のみであるような $a$ がただ1つ存在することを示す

答 $a = G (x) = x^{2} - \frac{e ^{x}}{x}$ の最小値（ $x < 0$ ）がその $a$

$a$ について解いて定数分離する。 $x < 0$ で $x^{3} - a x = e^{x} ⟺ a = x^{2} - \frac{e ^{x}}{x}$ 。右辺を $G (x)$ とおくと、共有点の個数は $y = G (x)$ と $y = a$ の交点の個数である。

$x < 0$ では $x \neq = 0$ なので、 $x^{3} - a x = e^{x}$ は

a = x^{2} - \frac{e ^{x}}{x} =: G (x)

と同値である。 $x < 0$ では $- \frac{e ^{x}}{x} > 0$ なので $G (x) > 0$ で、共有点の個数は「 $y = G (x)$ （ $x < 0$ ）と水平線 $y = a$ の交点の個数」に等しい。

$G$ の増減。

G^{'} (x) = 2 x - \frac{e ^{x} \cdot x - e ^{x}}{x ^{2}} = 2 x - \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}

である。 $G^{'} (x) = 0$ は両辺に $x^{2}$ を掛けて

2 x^{3} = e^{x} (x - 1) ⟺ e^{x} = \frac{2 x ^{3}}{x - 1}

となり、これは (1) の方程式そのものである。よって $G^{'}$ の零点は $x < 0$ にちょうど1つ、それを $x_{1}$ とする。

両端での挙動。

$x \to - 0$ ： $x^{2} \to 0$ 、 $- \frac{e ^{x}}{x} \to - \frac{1}{- 0} = + \infty$ なので $G \to + \infty$
$x \to - \infty$ ： $x^{2} \to + \infty$ 、 $- \frac{e ^{x}}{x} \to 0$ なので $G \to + \infty$

両端で $+ \infty$ に発散し、途中の極値が1つだけなので、その $x_{1}$ は極小であり $G$ の最小値を与える。 $m = G (x_{1}) > 0$ とおくと増減は

x < x_{1} : 減少, x_{1} < x < 0 : 増加

である。したがって $y = G (x)$ と $y = a$ の交点の個数は

$0 < a < m$ ： $0$ 個
$a = m$ ： $1$ 個
$a > m$ ： $2$ 個

である。よって共有点がちょうど1個になる $a$ は $a = m$ のときに限り、そのような $a$ はただ1つ存在する。

G (x) = x^{2} - \frac{e ^{x}}{x}

（

x < 0

）。両端で

+ \infty

に発散し、

x_{1} = - 0.7454

で最小値

m = 1.1923

をとる。水平線

y = a

との交点の個数が共有点の個数で、

a = m

のときだけ1個になる。

a = 3

（(2) の場合）では2個である。

$G$ を $x < 0$ で $200$ 万点に刻むと、最小値 $1.192251753$ （ $x = - 0.745385$ ）をとり、 $x \to - 0$ で $99999$ 、 $x = - 10$ で $100.0$ と両端で大きくなった。 $a = 3$ では交点が2個（(2) と一致）だった。