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名古屋大学　2023年度　前期日程　理科系

第4問数列の解答・解説

多項式の係数・二項定理・係数比較・恒等式の証明当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)等式 $m = 1 \sum n_{n} B_{m} = n!$ を示す

答 $P_{n} (x) = \sum_{n} B_{m} x^{m}$ に $x = 1$ を代入する

係数の和は $x = 1$ を代入した値である。左辺の積が階乗になる。

$P_{n} (x) = x (x + 1) \dots (x + n - 1) = m = 1 \sum n_{n} B_{m} x^{m}$ に $x = 1$ を代入すると

P_{n} (1) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n = n!

であり、右辺は

m = 1 \sum n_{n} B_{m} \cdot 1^{m} = m = 1 \sum n_{n} B_{m}

である。よって $m = 1 \sum n_{n} B_{m} = n!$ が成り立つ。

$n = 1, 2, 3, 5, 7$ で係数を展開して足すと $1, 2, 6, 120, 5040$ となり、 $n!$ と一致した。

$P_{n} (x)$ は定数項をもたない（ $x$ が因数）。だから和は $m = 1$ から始まる。

$x = 1$ を入れると $1 \cdot 2 \dots n$ で、 $n$ 個の連続整数の積になる。

(2)等式 $P_{n} (x + 1) = m = 1 \sum n (_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{0} +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{1} x + \dots +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{m} x^{m})$ を示す

答 $P_{n} (x + 1) = \sum_{n} B_{m} (x + 1)^{m}$ に二項定理を使うだけ

$P_{n}$ の式の $x$ に $x + 1$ を代入し、 $(x + 1)^{m}$ を二項定理で展開する。

$P_{n} (x) = m = 1 \sum n_{n} B_{m} x^{m}$ は恒等式なので、 $x$ を $x + 1$ に置き換えてよい。

P_{n} (x + 1) = m = 1 \sum n_{n} B_{m} (x + 1)^{m}

である。二項定理より

(x + 1)^{m} = j = 0 \sum m_{m} C_{j} x^{j} =_{m} C_{0} +_{m} C_{1} x + \dots +_{m} C_{m} x^{m}

なので、代入して

P_{n} (x + 1) = m = 1 \sum n (_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{0} +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{1} x + \dots +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{m} x^{m})

である。

$n = 3$ で $P_{3} (x + 1) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ を展開すると $x^{3} + 6 x^{2} + 11 x + 6$ で、右辺の計算と一致した。

$P_{n} (x + 1) = (x + 1) (x + 2) \dots (x + n)$ でもあるが、ここでは係数の形が欲しいので展開した式のほうを使う。

二項定理の和は $j = 0$ から始まる。 $_{m} C_{0} = 1$ の項（定数項）を落とさない。

(3) $k = 1, 2, \dots, n$ に対して $j = k \sum n_{n} B_{j} \cdot_{j} C_{k} =_{n + 1} B_{k + 1}$ を示す

答 $P_{n + 1} (x) = x P_{n} (x + 1)$ の両辺で $x^{k + 1}$ の係数を比べる

$P_{n} (x + 1) = (x + 1) (x + 2) \dots (x + n)$ なので、 $x$ を掛けると $P_{n + 1} (x)$ になる。右辺は (2) で展開済みなので、係数比較すれば終わる。

$P_{n} (x + 1) = (x + 1) (x + 2) \dots (x + n)$ だから

x P_{n} (x + 1) = x (x + 1) (x + 2) \dots (x + n) = P_{n + 1} (x)

である。(2) の式に $x$ を掛けると

P_{n + 1} (x) = m = 1 \sum n j = 0 \sum m_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{j} x^{j + 1}

である。

$x^{k + 1}$ の係数を比べる。 左辺 $P_{n + 1} (x) = m = 1 \sum n + 1_{n + 1} B_{m} x^{m}$ の $x^{k + 1}$ の係数は $_{n + 1} B_{k + 1}$ である。

右辺で $x^{j + 1} = x^{k + 1}$ となるのは $j = k$ のときだけ。 $j \leq m$ が必要なので $m$ は $k$ 以上 $n$ 以下を動き、係数は

m = k \sum n_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{k}

である。 $m$ を $j$ と書き直して

j = k \sum n_{n} B_{j} \cdot_{j} C_{k} =_{n + 1} B_{k + 1}

が成り立つ。

$_{n} B_{m}$ は「 $n$ 個のものを $m$ 個の輪に分ける場合の数」（第1種スターリング数）である。この等式はその組合せ的な意味からも説明できるが、ここでは多項式の係数比較だけで済む。

$1 \leq n \leq 8$ 、 $1 \leq k \leq n$ のすべての組で、左辺と右辺を整数のまま計算して一致した。

$x P_{n} (x + 1) = P_{n + 1} (x)$ に気づくのが要点。 $P_{n} (x + 1)$ は $(x + 1)$ から $(x + n)$ までの積である。

和の範囲が $m \geq k$ になるのは、 $_{m} C_{k}$ が $m < k$ で $0$ だからである（あるいは二項定理の和が $j \leq m$ だから）。

左辺の添字は $k + 1$ 、右辺は $j$ （ $= m$ ）から $k$ を選ぶ。1つずれるので気をつける。

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問題文について

(1)等式 m=1∑n​n​Bm​=n! を示す

(2)等式 Pn​(x+1)=m=1∑n​(n​Bm​⋅m​C0​+n​Bm​⋅m​C1​x+⋯+n​Bm​⋅m​Cm​xm) を示す

(3)k=1,2,…,n に対して j=k∑n​n​Bj​⋅j​Ck​=n+1​Bk+1​ を示す

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(3) $k = 1, 2, \dots, n$ に対して $j = k \sum n_{n} B_{j} \cdot_{j} C_{k} =_{n + 1} B_{k + 1}$ を示す