名古屋大学　2025年度　前期日程　理科系

第3問積分法・図形の解答・解説

通過領域・点と曲線の距離・扇形と円環・パップス・ギュルダンの定理当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)円板を原点のまわりに角 $α$ だけ回したとき、通過する領域の面積を求める

答 $2 r α + π r^{2}$

方針通過領域を「円板の集まり」と見ずに、中心が描く弧からの距離が $r$ 以下の点の集合と読み替える。すると図形が「円環の扇形＋両端の半円」に分かれ、積分なしで面積が出る。

中心は、原点を中心とする半径 $1$ の円周上を、偏角 $0$ から $α$ まで動く。この弧を $A$ とおくと、通過領域は ${P : dist (P, A) \leq r}$ に一致する。

点 $P$ の偏角で場合が分かれる。

偏角が $0$ と $α$ の間 … 最も近い弧の点は同じ偏角の点なので、条件は $∣ OP ∣ - 1 \leq r$ 。つまり半径 $1 - r$ から $1 + r$ までの円環の、中心角 $α$ の扇形
偏角がその外 … 最も近いのは弧の端点。つまり両端に付く半径 $r$ の半円が2つ

円環の扇形の面積は

\frac{α}{2} {(1 + r)^{2} - (1 - r)^{2}} = \frac{α}{2} \cdot 4 r = 2 r α

半円2つで円1つぶんの $π r^{2}$ 。2つの半円は偏角が $0$ 未満の側と $α$ より大きい側にあって重ならないから、単純に足して

2 r α + π r^{2}

検算

$α = 0$ とすると $π r^{2}$ で、回していないときの円板の面積に戻る。 $r = 1, α = π$ なら $2 π + π = 3 π$ 。

答案で省略しない方がよい点

両端の半円を忘れて $2 r α$ だけにしてしまう間違いが多い。 $α = 0$ を代入して $0$ になったら、その式は誤り。
「円板の面積 $\times$ 何か」では出ない。通過領域は円板の平行移動の和集合で、重なりがあるので足し算にはならない。

(2)球を $z$ 軸のまわりに角 $α$ だけ回したとき、通過する領域の体積を求める

答 $π R^{2} α + \frac{4}{3} π R^{3}$

方針(1) と同じ読み替えがそのまま効く。中心が描く弧からの距離が $R$ 以下の点の集合で、「輪切りの扇形（回転体の一部）＋両端の半球」に分かれる。回転体の部分はパップス・ギュルダンの定理で一発。

中心は $x y$ 平面内の単位円周上を偏角 $0$ から $α$ まで動く。その弧を $A$ として、通過領域は ${P : dist (P, A) \leq R}$ 。

円柱座標 $(ρ, φ, z)$ で考える。偏角 $φ$ が $0$ と $α$ の間の部分は、 $ρ z$ 半平面内の円板 $(ρ - 1)^{2} + z^{2} \leq R^{2}$ を $z$ 軸のまわりに角 $α$ だけ回したもの。断面積は $π R^{2}$ 、その重心は $ρ = 1$ にあるから、パップス・ギュルダンの定理より