九州大学　2026年度　前期日程　文科系

第1問微分積分の解答・解説

3次関数の極値・絶対値つきの放物線・面積・場合分けして積分当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は九州大学が公開しています。

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掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 1$ が極値をとる $x$ と、そのときの極値を求める

答 $x = - 3$ で極大値 $82$ 、 $x = 2$ で極小値 $- 43$

方針3次関数の極値は $f^{'} (x) = 0$ の解でしか起こらない。 $f^{'}$ が因数分解できる形なので、符号の変化まで一息で読める。

f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x - 36 = 6 (x^{2} + x - 6) = 6 (x + 3) (x - 2)

$f^{'} (x) = 0$ の解は $x = - 3, 2$ 。 $f^{'}$ は下に凸の放物線なので、符号は正・負・正と変わる。だから $x = - 3$ で極大、 $x = 2$ で極小。

f (- 3) = - 54 + 27 + 108 + 1 = 82, f (2) = 16 + 12 - 72 + 1 = - 43

検算

$f (- 4) = - 128 + 48 + 144 + 1 = 65 < 82$ 、 $f (- 2) = - 16 + 12 + 72 + 1 = 69 < 82$ で $x = - 3$ が山。 $f (1) = 2 + 3 - 36 + 1 = - 30 > - 43$ 、 $f (3) = 54 + 27 - 108 + 1 = - 26 > - 43$ で $x = 2$ が谷。

答案で省略しない方がよい点

「極値をとる $x$ 」と「極値」の両方を聞かれている。 $x$ だけで止めない。
$f^{'} (x) = 0$ は極値の必要条件にすぎない。3次関数では重解のとき極値を持たないので、符号が実際に変わることまで示す。

(2) $C : y = ∣ x^{2} - 1∣$ と、点 $(- 1, 0)$ を通る傾き $1$ の直線 $l$ で囲まれる領域の面積を求める

答 $\frac{13}{6}$

方針 $∣ x^{2} - 1∣$ は $∣ x ∣ \leq 1$ と $∣ x ∣ \geq 1$ で式が変わる。絶対値を外す前に交点を全部押さえてから、区間ごとにどちらが上かを決めて積分する。

$l$ は $y = x + 1$ 。なお $(- 1, 0)$ は $C$ 上の点でもある（ $∣1 - 1∣ = 0$ ）。

$∣ x ∣ \geq 1$ のとき $x^{2} - 1 = x + 1$ より $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1) = 0$ 、つまり $x = 2, - 1$ 。どちらも $∣ x ∣ \geq 1$ をみたす
$∣ x ∣ \leq 1$ のとき $1 - x^{2} = x + 1$ より $x^{2} + x = x (x + 1) = 0$ 、つまり $x = 0, - 1$
合わせて交点は $x = - 1, 0, 2$ の3つ

交点が3つあるので、囲まれる部分は $[- 1, 0]$ と $[0, 2]$ の2つに分かれる。上下はそれぞれの区間の中では入れ替わらないので、代表点1つで判定できる。

$x = - \frac{1}{2}$ では $C$ が $\frac{3}{4}$ 、 $l$ が $\frac{1}{2}$ で $C$ が上。 $x = 1$ では $C$ が $0$ 、 $l$ が $2$ で $l$ が上。

S_{1} = \int_{- 1}^{0} {(1 - x^{2}) - (x + 1)} d x = \int_{- 1}^{0} (- x^{2} - x) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2}]_{- 1}^{0} = \frac{1}{6}

$[0, 2]$ は $x = 1$ で式が切り替わるので、さらに2つに分ける。

\int_{0}^{1} {(x + 1) - (1 - x^{2})} d x = \int_{0}^{1} (x^{2} + x) d x = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

\int_{1}^{2} {(x + 1) - (x^{2} - 1)} d x = \int_{1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 2 x]_{1}^{2} = \frac{20}{6} - \frac{13}{6} = \frac{7}{6}

S = S_{1} + \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6}

別解

\frac{1}{6}

公式を使う

2次関数と直線が $α < β$ で交わるとき、挟まれた面積は $\frac{∣ a ∣}{6} (β - α)^{3}$ （ $a$ は2次の係数）。

$[- 1, 0]$ は $a = - 1$ 、 $β - α = 1$ なので $\frac{1}{6}$ 。 $[0, 1]$ と $[1, 2]$ は放物線が途中で入れ替わるため、この公式をそのまま全体に当てることはできない。区間を切ってから使う。

検算

$[0, 2]$ の部分だけなら $\frac{5}{6} + \frac{7}{6} = 2$ とちょうど整数になる。 $[- 1, 0]$ の部分は、差が $- x^{2} - x = - x (x + 1)$ という $x$ 軸と2交点を持つ放物線なので、 $\frac{1}{6} (0 - (- 1))^{3} = \frac{1}{6}$ （ $\frac{1}{6}$ 公式）でも出る。