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神戸大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　文科系

神戸大文系 2025年度数学第1問（微分法・高次方程式）の解答・解説

神戸大学（神戸大文系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・文科系入試の数学第1問（分野：微分法・高次方程式）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解・別解です。本問では「3次方程式の解と因数定理・3次関数の極値・3次方程式の実数解の個数」を扱います。

出題テーマ：3次方程式の解と因数定理・3次関数の極値・3次方程式の実数解の個数当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} - 1$ について、方程式 $f (x) = 0$ が $x = - 1$ を解にもつとき、実数 $a$ の値と $f (x) = 0$ のすべての解を求める

答 $a = 3$ 、解は $x = - 1, \frac{1}{2}$

$f (- 1) = 0$ から $a$ を定め、 $f (x)$ を $(x + 1)$ で因数分解する。

方程式 $f (x) = 0$ が $x = - 1$ を解にもつから

f (- 1) = 2 (- 1)^{3} + a (- 1)^{2} - 1 = a - 3 = 0 ⟺ a = 3

である。このとき $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ を因数分解すると

2 x^{3} + 3 x^{2} - 1 = (x + 1) (2 x^{2} + x - 1) = (x + 1)^{2} (2 x - 1) = 0

より、方程式 $f (x) = 0$ の解は $x = - 1, \frac{1}{2}$ である。

$x = - 1$ が重解となっており、(2) で $x = - 1$ が極値をとる点になることと対応している。

(2) $a = 3$ のとき、関数 $f (x)$ の極値を求める

答極大値 $0$ （ $x = - 1$ ）、極小値 $- 1$ （ $x = 0$ ）

$f^{'} (x) = 6 x (x + 1)$ の符号変化から増減を調べる。

$a = 3$ のとき $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ であり、微分すると

f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x = 6 x (x + 1)

となる。 $f^{'} (x) = 0$ とすると $x = - 1, 0$ であり、 $f (x)$ は $x ≦ - 1$ で増加、 $- 1 ≦ x ≦ 0$ で減少、 $x ≧ 0$ で増加する。よって

$x = - 1$ のとき 極大値 $f (- 1) = 0$
$x = 0$ のとき 極小値 $f (0) = - 1$

をとる。

a = 3

のときの

y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1

のグラフ。

x = - 1

で

x

軸に接して極大値

0

をとり、

x = 0

で極小値

- 1

をとる。(3) で

a > 3

にすると極大値が正となって

x

軸と3点で交わる。

$f (- 1) = 0$ で $x$ 軸に接するため、(1) で $x = - 1$ が重解になったことと一致する。

(3)方程式 $f (x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める

答 $a > 3$

$f^{'} (x) = 2 x (3 x + a)$ より、 $a \neq = 0$ のとき極値をとる $x$ は $0$ と $- \frac{a}{3}$ である。極大値と極小値が異符号になる条件 $f (0) \cdot f (- \frac{a}{3}) < 0$ を解く。

$f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} - 1$ を微分すると

f^{'} (x) = 6 x^{2} + 2 a x = 2 x (3 x + a)

である。 $a = 0$ のときは $f^{'} (x) = 6 x^{2} ≧ 0$ となって $f (x)$ は単調増加であるから、実数解は1個しか持たない。

$a \neq = 0$ のとき、 $f (x)$ は $x = 0$ と $x = - \frac{a}{3}$ で極値をとる。3次方程式 $f (x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつための必要十分条件は、極大値と極小値が異符号となること、すなわち

f (0) \cdot f (- \frac{a}{3}) < 0

である。ここで

f (0) = - 1 < 0, f (- \frac{a}{3}) = 2 (- \frac{a}{3})^{3} + a (- \frac{a}{3})^{2} - 1 = \frac{a ^{3}}{27} - 1

であるから、条件は

\frac{a ^{3}}{27} - 1 > 0 ⟺ a^{3} > 27 ⟺ a > 3

となる。

境界 $a = 3$ がちょうど (1)(2) で調べた「重解をもち共有点が2個になる場合」になっている。

▸ 別解：定数分離

a = - 2 x + df r a c 1 x^{2}

を用いる別解

$x = 0$ は $f (0) = - 1 \neq = 0$ より解ではないから、 $f (x) = 0$ は $a = - 2 x + \frac{1}{x ^{2}}$ と同値である。 $g (x) = - 2 x + \frac{1}{x ^{2}}$ とおくと $g^{'} (x) = - 2 - \frac{2}{x ^{3}} = \frac{- 2 ( x ^{3} + 1 )}{x ^{3}}$ より、 $x < 0$ では $x = - 1$ で極小値 $g (- 1) = 3$ をとり、 $x > 0$ では単調減少で $(- \infty, \infty)$ のすべての値を1回ずつとる。したがって水平線 $y = a$ が $y = g (x)$ と3点で交わる条件は $a > 3$ である。