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九州大学　2021年度　前期日程　文科系

第3問積分法の解答・解説

接する条件・3次方程式・因数分解・面積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)放物線 $C$ と直線 $ℓ : y = 8 x + 6$ が接するような $a$ の値を求める

答 $a = 5$

連立して2次方程式にし、判別式 $= 0$ とおく。 $a$ の3次方程式になるが、 $a = 5$ が見つかれば因数分解できる。

$C$ と $ℓ$ を連立すると

- x^{2} - 2 a x - a^{3} + 10 a = 8 x + 6

すなわち

x^{2} + (2 a + 8) x + a^{3} - 10 a + 6 = 0

である。接する条件は判別式 $= 0$ で

D = (2 a + 8)^{2} - 4 (a^{3} - 10 a + 6) = 4 a^{2} + 32 a + 64 - 4 a^{3} + 40 a - 24 = - 4 (a^{3} - a^{2} - 18 a - 10)

なので

a^{3} - a^{2} - 18 a - 10 = 0

である。 $a = 5$ を代入すると $125 - 25 - 90 - 10 = 0$ で成り立つので、 $a - 5$ でくくれて

(a - 5) (a^{2} + 4 a + 2) = 0

となる。 $a^{2} + 4 a + 2 = 0$ の解は $a = - 2 \pm 2$ で、 $- 2 + 2 = - 0.586$ 、 $- 2 - 2 = - 3.414$ とどちらも負である。 $a > 0$ より

a = 5

である。

$a$ を $0$ から $20$ まで $0.0001$ 刻みで動かして $D = 0$ となる値を探すと $a = 5$ だけだった。

$- x^{2}$ のまま判別式を使わず、 $x^{2}$ の係数を $+ 1$ にそろえてから立てる。

$a^{3} - a^{2} - 18 a - 10 = 0$ の整数解は $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$ の中にある。 $a = 5$ を先に試す。

$a > 0$ の条件で残り2つの解を切る。 $- 2 + 2$ は $0$ に近いが負である。

(2) $a$ が (1) の値のとき、放物線 $C$ 、直線 $ℓ$ 、 $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求める

答 $243$

$a = 5$ のとき $C : y = - x^{2} - 10 x - 75$ で、 $ℓ$ と $x = - 9$ で接する。 $ℓ - C$ が完全平方になるので、 $- 9$ から $0$ まで積分すればよい。

$a = 5$ より

C : y = - x^{2} - 10 x - 125 + 50 = - x^{2} - 10 x - 75

である。(1) の2次方程式は

x^{2} + 18 x + 81 = (x + 9)^{2} = 0

なので接点は $x = - 9$ 、 $y = 8 (- 9) + 6 = - 66$ 、すなわち $(- 9, - 66)$ である。

差。

(8 x + 6) - (- x^{2} - 10 x - 75) = x^{2} + 18 x + 81 = (x + 9)^{2} \geq 0

なので、 $ℓ$ はつねに $C$ の上（または接点で一致）にある。囲まれる図形は、左端が接点 $x = - 9$ 、右端が $y$ 軸（ $x = 0$ ）で、上が $ℓ$ 、下が $C$ である。

面積。

S = \int_{- 9}^{0} (x + 9)^{2} d x = [\frac{( x + 9 ) ^{3}}{3}]_{- 9}^{0} = \frac{729}{3} = 243

である。

a = 5

のときの

C : y = - x^{2} - 10 x - 75

と

ℓ : y = 8 x + 6

。

(- 9, - 66)

で接し、

y

軸上では

C

が

- 75

、

ℓ

が

6

。この3つで囲まれる部分（塗った部分）の面積が

243

。

接点は $C (- 9) = ℓ (- 9) = - 66$ で一致し、面積を数値積分すると $243.000000$ になった。

「 $y$ 軸で囲まれた」なので右端は $x = 0$ である。 $C$ と $ℓ$ は1点で接するだけなので、 $y$ 軸がないと図形が閉じない。

接しているから $ℓ - C$ が完全平方 $(x + 9)^{2}$ になる。展開して積分するより速い。

$(0 + 9)^{3} - (- 9 + 9)^{3} = 729$ である。 $9^{3} = 729$ 。

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問題文について

(1)放物線 C と直線 ℓ:y=8x+6 が接するような a の値を求める

(2)a が (1) の値のとき、放物線 C、直線 ℓ、y 軸で囲まれた図形の面積を求める

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