第2問 2次関数の解答・解説

すべての t で成り立つ条件・最大値・定義域つきの最大・領域の図示当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)条件 A（すべての実数 $t$ に対して $y \geq x t - 2 t^{2}$ ）をみたす点 $(x, y)$ 全体の集合を図示する

答 $y \geq \frac{x ^{2}}{8}$ （放物線 $y = \frac{x ^{2}}{8}$ の上側、境界を含む）

「すべての $t$ で $y \geq h (t)$ 」は「 $y \geq t max h (t)$ 」と同じである。 $h (t) = - 2 t^{2} + x t$ は上に凸の2次関数なので、頂点の値が最大値になる。

$h (t) = x t - 2 t^{2} = - 2 t^{2} + x t$ とおく。 $t^{2}$ の係数が $- 2 < 0$ なので上に凸で、平方完成すると

h (t) = - 2 (t - \frac{x}{4})^{2} + \frac{x ^{2}}{8}

である。 $t$ は実数全体を動けるので $t = \frac{x}{4}$ をとれて、最大値は $\frac{x ^{2}}{8}$ である。

したがって条件 A は

y \geq \frac{x ^{2}}{8}

と同値である。求める集合は放物線 $y = \frac{x ^{2}}{8}$ とその上側（境界を含む）である。

条件 A をみたす点の集合（放物線

y = \frac{x ^{2}}{8}

の上側、境界を含む）。

y = x t - 2 t^{2}

は傾き

t

・切片

- 2 t^{2}

の直線の族で、この放物線はそれらすべての包絡線になっている。

$x$ を $- 10$ から $10$ まで $0.05$ 刻みにとり、 $t$ を細かく動かして $x t - 2 t^{2}$ の最大を数値で求めると、 $\frac{x ^{2}}{8}$ と $1 0^{- 5}$ 以内で一致した。

「すべての $t$ で成り立つ」は「最大値以下」ではなく「最大値以上」。 $y \geq h (t)$ の向きに注意する。

$t$ について平方完成する。 $x$ は定数扱いである。

境界（放物線そのもの）は含む。不等号が $\geq$ だからである。

(2)条件 B（ $∣ t ∣ \leq 1$ をみたすすべての実数 $t$ に対して $y \geq x t - 2 t^{2}$ ）をみたす点 $(x, y)$ 全体の集合を図示する

答 $∣ x ∣ \leq 4$ のとき $y \geq \frac{x ^{2}}{8}$ 、 $∣ x ∣ > 4$ のとき $y \geq ∣ x ∣ - 2$

今度は $t$ の範囲が $[- 1, 1]$ に限られるので、頂点 $t = \frac{x}{4}$ がこの区間に入るかで場合分けする。入らなければ端点で最大になる。

(1) と同じく $h (t) = - 2 (t - \frac{x}{4})^{2} + \frac{x ^{2}}{8}$ である。 $- 1 \leq t \leq 1$ での最大値を考える。頂点は $t = \frac{x}{4}$ なので、

$- 1 \leq \frac{x}{4} \leq 1$ （すなわち $∣ x ∣ \leq 4$ ）：頂点が区間内にあり、最大値は $\frac{x ^{2}}{8}$
$\frac{x}{4} > 1$ （すなわち $x > 4$ ）：区間で増加なので $t = 1$ で最大、 $h (1) = x - 2$
$\frac{x}{4} < - 1$ （すなわち $x < - 4$ ）：区間で減少なので $t = - 1$ で最大、 $h (- 1) = - x - 2$

である。したがって条件 B は

y \geq ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2}}{8} ∣ x ∣ - 2 (∣ x ∣ \leq 4) (∣ x ∣ > 4)

と同値である。

境界はつながる。 $x = 4$ では $\frac{16}{8} = 2$ 、 $4 - 2 = 2$ で一致する。さらに $y = \frac{x ^{2}}{8}$ の $x = 4$ での接線は $y^{'} = \frac{x}{4} = 1$ より $y = x - 2$ なので、放物線と直線はここで接している。 $x = - 4$ でも同様である。