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九州大学　2021年度　前期日程　文科系

九大文系 2021年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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第1問　図形と方程式

内接円・点と直線の距離・弦の長さ・2次関数の最大当サイトの体感難易度：標準

(1)三角形 $OAB$ に内接する円の中心の座標を求める

答 $(\frac{3 - 5}{2}, \frac{3 - 5}{2})$

$OA$ は $x$ 軸上、 $OB$ は $y$ 軸上にあるので、内接円は両軸に接する。中心は $(r, r)$ （ $r$ は半径）で、面積と周の長さから $r$ が出る。

$O (0, 0)$ 、 $A (1, 0)$ 、 $B (0, 2)$ は直角三角形をなし、辺 $OA$ は $x$ 軸上、辺 $OB$ は $y$ 軸上にある。内接円はこの2辺に接するので、中心は第1象限の $(r, r)$ （ $r$ は内接円の半径）である。

$r$ を出す。 三角形の面積 $S$ と周の長さの半分 $s$ について $S = r s$ である。

S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1, s = \frac{OA + OB + AB}{2} = \frac{1 + 2 + 5}{2} = \frac{3 + 5}{2}

なので

r = \frac{S}{s} = \frac{2}{3 + 5} = \frac{2 ( 3 - 5 )}{9 - 5} = \frac{3 - 5}{2}

である（ $0.382$ ほど）。よって中心は

(\frac{3 - 5}{2}, \frac{3 - 5}{2})

である。

$S = r s$ を使わず、直線 $AB : 2 x + y = 2$ までの距離が $r$ に等しいとしてもよい。 $\frac{∣ 2 r + r - 2 ∣}{5} = r$ で、内部では $3 r < 2$ だから $2 - 3 r = 5 r$ 、 $r = \frac{2}{3 + 5}$ と同じ式になる。

$r = 0.381966011$ として $(r, r)$ から直線 $AB$ までの距離を計算すると $0.381966011$ で一致した。

内接円が2つの座標軸に接することに気づけば、中心が $(r, r)$ の形に決まる。一般の三角形のように3本の角の二等分線を連立しなくてよい。

$\frac{2}{3 + 5}$ は有理化する。分母の $9 - 5 = 4$ で約分が効く。

(2)中心が第1象限にあり $x$ 軸と $y$ 軸の両方に接し、直線 $AB$ と異なる2点 $P, Q$ で交わる円について、 $PQ$ の最大値を求める

答 $PQ$ の最大値は $2$ （半径 $\frac{3}{2}$ のとき）

両軸に接し中心が第1象限にある円は、中心 $(r, r)$ ・半径 $r$ である。弦の長さは $2 r^{2} - d^{2}$ （ $d$ は中心と直線の距離）なので、 $r^{2} - d^{2}$ を $r$ の2次関数として最大にする。

円の中心は $(r, r)$ 、半径は $r > 0$ である。直線 $AB$ は $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} = 1$ 、すなわち $2 x + y - 2 = 0$ なので、中心からの距離は

d = \frac{∣ 2 r + r - 2 ∣}{5} = \frac{∣ 3 r - 2 ∣}{5}

である。異なる2点で交わる条件は $d < r$ で、そのとき

PQ = 2 r^{2} - d^{2}

である。

中身を最大にする。

r^{2} - d^{2} = r^{2} - \frac{( 3 r - 2 ) ^{2}}{5} = \frac{5 r ^{2} - 9 r ^{2} + 12 r - 4}{5} = \frac{- 4 r ^{2} + 12 r - 4}{5}

で、 $- 4 r^{2} + 12 r - 4$ は上に凸、 $r = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ で最大になる。そのとき

- 4 \cdot \frac{9}{4} + 18 - 4 = - 9 + 18 - 4 = 5, r^{2} - d^{2} = \frac{5}{5} = 1

なので

PQ = 21 = 2

である。

交わっているか。 $r = \frac{3}{2}$ のとき $d = \frac{\frac{9}{2} - 2}{5} = \frac{5/2}{5} = \frac{5}{2} = 1.118 < 1.5 = r$ なので、確かに異なる2点で交わる。

PQ

が最大になるのは半径

\frac{3}{2}

の円（大きい円）。

P, Q

はその円と直線

AB

の交点で、どちらも線分

AB

の内部にある。中心

(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})

から直線

AB : 2 x + y = 2

までの距離は

\frac{5}{2} = 1.118

で、弦

PQ

の長さは

2

。小さいほうは (1) の内接円（半径

\frac{3 - 5}{2} = 0.382

）で、

AB

に接している。

$r$ を $40$ 万点に刻んで $PQ$ を計算すると、最大は $r = 1.5$ での $2.000000000$ だった。

「両軸に接し中心が第1象限」から中心 $(r, r)$ ・半径 $r$ と1変数になる。ここが出発点である。

$PQ$ のまま微分せず、 $r^{2} - d^{2}$ を最大にする。は単調なので最大の位置は変わらない。

最大を与える $r$ が「交わる」条件 $d < r$ をみたすか確かめる。みたさなければ端で考え直すことになる。

第1問だけのページ

第2問　2次関数

すべての t で成り立つ条件・最大値・定義域つきの最大・領域の図示当サイトの体感難易度：やや難

(1)条件 A（すべての実数 $t$ に対して $y \geq x t - 2 t^{2}$ ）をみたす点 $(x, y)$ 全体の集合を図示する

答 $y \geq \frac{x ^{2}}{8}$ （放物線 $y = \frac{x ^{2}}{8}$ の上側、境界を含む）

「すべての $t$ で $y \geq h (t)$ 」は「 $y \geq t max h (t)$ 」と同じである。 $h (t) = - 2 t^{2} + x t$ は上に凸の2次関数なので、頂点の値が最大値になる。

$h (t) = x t - 2 t^{2} = - 2 t^{2} + x t$ とおく。 $t^{2}$ の係数が $- 2 < 0$ なので上に凸で、平方完成すると

h (t) = - 2 (t - \frac{x}{4})^{2} + \frac{x ^{2}}{8}

である。 $t$ は実数全体を動けるので $t = \frac{x}{4}$ をとれて、最大値は $\frac{x ^{2}}{8}$ である。

したがって条件 A は

y \geq \frac{x ^{2}}{8}

と同値である。求める集合は放物線 $y = \frac{x ^{2}}{8}$ とその上側（境界を含む）である。

条件 A をみたす点の集合（放物線

y = \frac{x ^{2}}{8}

の上側、境界を含む）。

y = x t - 2 t^{2}

は傾き

t

・切片

- 2 t^{2}

の直線の族で、この放物線はそれらすべての包絡線になっている。

$x$ を $- 10$ から $10$ まで $0.05$ 刻みにとり、 $t$ を細かく動かして $x t - 2 t^{2}$ の最大を数値で求めると、 $\frac{x ^{2}}{8}$ と $1 0^{- 5}$ 以内で一致した。

「すべての $t$ で成り立つ」は「最大値以下」ではなく「最大値以上」。 $y \geq h (t)$ の向きに注意する。

$t$ について平方完成する。 $x$ は定数扱いである。

境界（放物線そのもの）は含む。不等号が $\geq$ だからである。

(2)条件 B（ $∣ t ∣ \leq 1$ をみたすすべての実数 $t$ に対して $y \geq x t - 2 t^{2}$ ）をみたす点 $(x, y)$ 全体の集合を図示する

答 $∣ x ∣ \leq 4$ のとき $y \geq \frac{x ^{2}}{8}$ 、 $∣ x ∣ > 4$ のとき $y \geq ∣ x ∣ - 2$

今度は $t$ の範囲が $[- 1, 1]$ に限られるので、頂点 $t = \frac{x}{4}$ がこの区間に入るかで場合分けする。入らなければ端点で最大になる。

(1) と同じく $h (t) = - 2 (t - \frac{x}{4})^{2} + \frac{x ^{2}}{8}$ である。 $- 1 \leq t \leq 1$ での最大値を考える。頂点は $t = \frac{x}{4}$ なので、

$- 1 \leq \frac{x}{4} \leq 1$ （すなわち $∣ x ∣ \leq 4$ ）：頂点が区間内にあり、最大値は $\frac{x ^{2}}{8}$
$\frac{x}{4} > 1$ （すなわち $x > 4$ ）：区間で増加なので $t = 1$ で最大、 $h (1) = x - 2$
$\frac{x}{4} < - 1$ （すなわち $x < - 4$ ）：区間で減少なので $t = - 1$ で最大、 $h (- 1) = - x - 2$

である。したがって条件 B は

y \geq ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2}}{8} ∣ x ∣ - 2 (∣ x ∣ \leq 4) (∣ x ∣ > 4)

と同値である。

境界はつながる。 $x = 4$ では $\frac{16}{8} = 2$ 、 $4 - 2 = 2$ で一致する。さらに $y = \frac{x ^{2}}{8}$ の $x = 4$ での接線は $y^{'} = \frac{x}{4} = 1$ より $y = x - 2$ なので、放物線と直線はここで接している。 $x = - 4$ でも同様である。

条件 B をみたす点の集合（境界の上側、境界を含む）。境界は

∣ x ∣ \leq 4

では放物線

y = \frac{x ^{2}}{8}

、

∣ x ∣ > 4

ではそれに

(\pm 4, 2)

で接する2本の直線

y = ∣ x ∣ - 2

。条件 A の領域（放物線の上側）より広い。

$∣ t ∣ \leq 1$ に制限して数値で最大を求めると、 $∣ x ∣ \leq 4$ では $\frac{x ^{2}}{8}$ 、 $∣ x ∣ > 4$ では $∣ x ∣ - 2$ と一致した。

頂点が区間 $[- 1, 1]$ に入るかで3通りに分ける。 $x$ の範囲に直すと $∣ x ∣ \leq 4$ が境目になる。

$x > 4$ では最大値が $x - 2$ （ $t = 1$ ）、 $x < - 4$ では $- x - 2$ （ $t = - 1$ ）。まとめて $∣ x ∣ - 2$ と書ける。

条件 B の領域は条件 A の領域を含む。 $t$ の範囲が狭いぶん条件が弱くなるからで、図でも外側が広がっている。

第2問だけのページ

第3問　積分法

接する条件・3次方程式・因数分解・面積当サイトの体感難易度：標準

(1)放物線 $C$ と直線 $ℓ : y = 8 x + 6$ が接するような $a$ の値を求める

答 $a = 5$

連立して2次方程式にし、判別式 $= 0$ とおく。 $a$ の3次方程式になるが、 $a = 5$ が見つかれば因数分解できる。

$C$ と $ℓ$ を連立すると

- x^{2} - 2 a x - a^{3} + 10 a = 8 x + 6

すなわち

x^{2} + (2 a + 8) x + a^{3} - 10 a + 6 = 0

である。接する条件は判別式 $= 0$ で

D = (2 a + 8)^{2} - 4 (a^{3} - 10 a + 6) = 4 a^{2} + 32 a + 64 - 4 a^{3} + 40 a - 24 = - 4 (a^{3} - a^{2} - 18 a - 10)

なので

a^{3} - a^{2} - 18 a - 10 = 0

である。 $a = 5$ を代入すると $125 - 25 - 90 - 10 = 0$ で成り立つので、 $a - 5$ でくくれて

(a - 5) (a^{2} + 4 a + 2) = 0

となる。 $a^{2} + 4 a + 2 = 0$ の解は $a = - 2 \pm 2$ で、 $- 2 + 2 = - 0.586$ 、 $- 2 - 2 = - 3.414$ とどちらも負である。 $a > 0$ より

a = 5

である。

$a$ を $0$ から $20$ まで $0.0001$ 刻みで動かして $D = 0$ となる値を探すと $a = 5$ だけだった。

$- x^{2}$ のまま判別式を使わず、 $x^{2}$ の係数を $+ 1$ にそろえてから立てる。

$a^{3} - a^{2} - 18 a - 10 = 0$ の整数解は $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$ の中にある。 $a = 5$ を先に試す。

$a > 0$ の条件で残り2つの解を切る。 $- 2 + 2$ は $0$ に近いが負である。

(2) $a$ が (1) の値のとき、放物線 $C$ 、直線 $ℓ$ 、 $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求める

答 $243$

$a = 5$ のとき $C : y = - x^{2} - 10 x - 75$ で、 $ℓ$ と $x = - 9$ で接する。 $ℓ - C$ が完全平方になるので、 $- 9$ から $0$ まで積分すればよい。

$a = 5$ より

C : y = - x^{2} - 10 x - 125 + 50 = - x^{2} - 10 x - 75

である。(1) の2次方程式は

x^{2} + 18 x + 81 = (x + 9)^{2} = 0

なので接点は $x = - 9$ 、 $y = 8 (- 9) + 6 = - 66$ 、すなわち $(- 9, - 66)$ である。

差。

(8 x + 6) - (- x^{2} - 10 x - 75) = x^{2} + 18 x + 81 = (x + 9)^{2} \geq 0

なので、 $ℓ$ はつねに $C$ の上（または接点で一致）にある。囲まれる図形は、左端が接点 $x = - 9$ 、右端が $y$ 軸（ $x = 0$ ）で、上が $ℓ$ 、下が $C$ である。

面積。

S = \int_{- 9}^{0} (x + 9)^{2} d x = [\frac{( x + 9 ) ^{3}}{3}]_{- 9}^{0} = \frac{729}{3} = 243

である。

a = 5

のときの

C : y = - x^{2} - 10 x - 75

と

ℓ : y = 8 x + 6

。

(- 9, - 66)

で接し、

y

軸上では

C

が

- 75

、

ℓ

が

6

。この3つで囲まれる部分（塗った部分）の面積が

243

。

接点は $C (- 9) = ℓ (- 9) = - 66$ で一致し、面積を数値積分すると $243.000000$ になった。

「 $y$ 軸で囲まれた」なので右端は $x = 0$ である。 $C$ と $ℓ$ は1点で接するだけなので、 $y$ 軸がないと図形が閉じない。

接しているから $ℓ - C$ が完全平方 $(x + 9)^{2}$ になる。展開して積分するより速い。

$(0 + 9)^{3} - (- 9 + 9)^{3} = 729$ である。 $9^{3} = 729$ 。

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第4問　数列

等差×等比の和・階差をとる・和の形の漸化式・一般項当サイトの体感難易度：やや難

(1) $n$ を自然数とするとき $k = 1 \sum n k 2^{k - 1}$ を求める

答 $(n - 1) 2^{n} + 1$

（等差）×（等比）の和なので、 $2$ 倍してずらして引く。

$S = k = 1 \sum n k 2^{k - 1}$ とおく。

S 2 S = 1 \cdot 2^{0} + 2 \cdot 2^{1} + 3 \cdot 2^{2} + \dots + n \cdot 2^{n - 1} = 1 \cdot 2^{0} + 1 \cdot 2^{1} + 2 \cdot 2^{2} + \dots + (n - 1) 2^{n - 1} + n \cdot 2^{n}

辺々引くと

- S = 2^{0} + 2^{1} + \dots + 2^{n - 1} - n \cdot 2^{n} = (2^{n} - 1) - n \cdot 2^{n}

である。よって

S = n \cdot 2^{n} - 2^{n} + 1 = (n - 1) 2^{n} + 1

である（ $n = 1$ で $1$ 、 $n = 2$ で $5$ 、 $n = 3$ で $17$ ）。

$n = 1, 2, 3, 5, 8$ で直接足すと $1, 5, 17, 129, 1793$ で、 $(n - 1) 2^{n} + 1$ と一致した。

$2 S$ を書くときは1つ右にずらす。足し引きする項の対応を取り違えない。

残る等比の和は $2^{0} + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$ である。項数は $n$ 。

(2) $a_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2} k = 1 \sum n (n + 1 - k) a_{k}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求める

答 $a_{1} = 2$ 、 $n \geq 2$ のとき $a_{n} = 2^{n - 1}$

小さい $n$ で値を出すと $2, 2, 4, 8, 16, \dots$ と見えるので、 $a_{1} = 2$ 、 $n \geq 2$ で $a_{n} = 2^{n - 1}$ を予想し、(1) を使って数学的帰納法で確かめる。

小さい $n$ で試す。

a_{2} a_{3} a_{4} = 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot a_{1} = 1 + 1 = 2 = 1 + \frac{1}{2} (2 a_{1} + 1 \cdot a_{2}) = 1 + \frac{1}{2} (4 + 2) = 4 = 1 + \frac{1}{2} (3 a_{1} + 2 a_{2} + 1 \cdot a_{3}) = 1 + \frac{1}{2} (6 + 4 + 4) = 8

なので、 $a_{1} = 2$ 、 $n \geq 2$ で $a_{n} = 2^{n - 1}$ と予想できる。

帰納法。 $a_{1} = 2$ 、 $a_{2} = 2, \dots, a_{n} = 2^{n - 1}$ （ $2 \leq k \leq n$ ）が成り立つとして、 $a_{n + 1} = 2^{n}$ を示す。和を計算する。

k = 1 \sum n (n + 1 - k) a_{k} = n \cdot a_{1} + k = 2 \sum n (n + 1 - k) 2^{k - 1}

で、 $i = k - 1$ （ $1 \leq i \leq n - 1$ ）とおくと $n + 1 - k = n - i$ だから

k = 2 \sum n (n + 1 - k) 2^{k - 1} = i = 1 \sum n - 1 (n - i) 2^{i} = n i = 1 \sum n - 1 2^{i} - i = 1 \sum n - 1 i 2^{i}

である。 $i = 1 \sum n - 1 2^{i} = 2^{n} - 2$ 、また (1) より

i = 1 \sum n - 1 i 2^{i} = 2 i = 1 \sum n - 1 i 2^{i - 1} = 2 {(n - 2) 2^{n - 1} + 1} = (n - 2) 2^{n} + 2

なので

k = 1 \sum n (n + 1 - k) a_{k} = 2 n + n (2^{n} - 2) - {(n - 2) 2^{n} + 2} = 2 n + n 2^{n} - 2 n - n 2^{n} + 2 \cdot 2^{n} - 2 = 2^{n + 1} - 2

である。したがって

a_{n + 1} = 1 + \frac{2 ^{n + 1} - 2}{2} = 1 + 2^{n} - 1 = 2^{n}

となり、予想どおりである。 $n = 1$ のときも $a_{2} = 2^{1} = 2$ で合う。よって

a_{1} = 2, a_{n} = 2^{n - 1} (n \geq 2)

である。

$a_{1}$ だけが式からはみ出す。 $2^{1 - 1} = 1$ ではなく $a_{1} = 2$ である。 $n = 2$ 以降は $2, 4, 8, \dots$ ときれいに倍々になる。

漸化式から $a_{1}$ から $a_{12}$ まで分数のまま計算すると $2, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048$ となり、 $a_{1} = 2$ 、 $n \geq 2$ で $a_{n} = 2^{n - 1}$ と一致した。

$a_{1} = 2$ は $2^{n - 1}$ の式に乗らない。答えを「 $a_{n} = 2^{n - 1}$ 」とだけ書くと $n = 1$ で誤りになる。

和の中で $k = 1$ の項（ $a_{1} = 2$ ）だけ別に扱う。残りが (1) の形になる。

$\sum_{i = 1}^{n - 1} i 2^{i}$ は (1) の式に $n - 1$ を入れて $2$ 倍する。 $n$ をそのまま入れない。

$n 2^{n}$ の項がきれいに消える。残るのが $2^{n + 1} - 2$ で、 $2$ で割ると $2^{n} - 1$ になるのが仕掛けである。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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問題文について

(1)三角形 OAB に内接する円の中心の座標を求める

(2)中心が第1象限にあり x 軸と y 軸の両方に接し、直線 AB と異なる2点 P,Q で交わる円について、PQ の最大値を求める

(1)条件 A（すべての実数 t に対して y≥xt−2t2）をみたす点 (x,y) 全体の集合を図示する

(2)条件 B（∣t∣≤1 をみたすすべての実数 t に対して y≥xt−2t2）をみたす点 (x,y) 全体の集合を図示する

(1)放物線 C と直線 ℓ:y=8x+6 が接するような a の値を求める

(2)a が (1) の値のとき、放物線 C、直線 ℓ、y 軸で囲まれた図形の面積を求める

(1)n を自然数とするとき k=1∑n​k2k−1 を求める

(2)a1​=2、an+1​=1+21​k=1∑n​(n+1−k)ak​ で定まる数列 {an​} の一般項を求める

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(1)三角形 $OAB$ に内接する円の中心の座標を求める

(2)中心が第1象限にあり $x$ 軸と $y$ 軸の両方に接し、直線 $AB$ と異なる2点 $P, Q$ で交わる円について、 $PQ$ の最大値を求める

(1)条件 A（すべての実数 $t$ に対して $y \geq x t - 2 t^{2}$ ）をみたす点 $(x, y)$ 全体の集合を図示する

(2)条件 B（ $∣ t ∣ \leq 1$ をみたすすべての実数 $t$ に対して $y \geq x t - 2 t^{2}$ ）をみたす点 $(x, y)$ 全体の集合を図示する

(1)放物線 $C$ と直線 $ℓ : y = 8 x + 6$ が接するような $a$ の値を求める

(2) $a$ が (1) の値のとき、放物線 $C$ 、直線 $ℓ$ 、 $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求める

(1) $n$ を自然数とするとき $k = 1 \sum n k 2^{k - 1}$ を求める

(2) $a_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2} k = 1 \sum n (n + 1 - k) a_{k}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求める