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大阪大学　2024年度　前期日程　文系

第1問微分・積分の解答・解説

絶対値のついた関数・共有点・放物線と直線の面積・3次方程式当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)曲線 $y = x^{2} - 1$ を $C$ 、直線 $y = 2 a (x + 1)$ を $ℓ$ とする（ $0 < a < 1$ ）。 $C$ と $ℓ$ の共有点の座標をすべて求める

答 $(- 1, 0)$ 、 $(1 - 2 a, 4 a (1 - a))$ 、 $(1 + 2 a, 4 a (1 + a))$ の3つ

$∣ x ∣ \geq 1$ と $∣ x ∣ < 1$ に分け、どちらも $x + 1$ でくくる。

$ℓ$ は点 $(- 1, 0)$ を通り、 $(- 1)^{2} - 1 = 0$ なのでこの点は $C$ 上にもある。つまり $(- 1, 0)$ はつねに共有点である。 $C$ は $x = \pm 1$ で折れ曲がるので、場合分けして残りを探す。

$∣ x ∣ \geq 1$ のとき。 $x^{2} - 1 = x^{2} - 1$ なので

x^{2} - 1 = 2 a (x + 1), (x + 1) (x - 1) = 2 a (x + 1)

すなわち

(x + 1) (x - 1 - 2 a) = 0

である。 $x = - 1$ （これは $∣ x ∣ \geq 1$ をみたす）と $x = 1 + 2 a$ である。 $a > 0$ より $1 + 2 a > 1$ なので、こちらも条件に合う。

$∣ x ∣ < 1$ のとき。 $x^{2} - 1 = 1 - x^{2}$ なので

1 - x^{2} = 2 a (x + 1), (1 + x) (1 - x) = 2 a (1 + x)

すなわち

(1 + x) (1 - x - 2 a) = 0

である。 $x = - 1$ は $∣ x ∣ < 1$ をみたさないので除く。 $x = 1 - 2 a$ は、 $0 < a < 1$ より $- 1 < 1 - 2 a < 1$ をみたすので条件に合う。

$y$ の値を計算すると

x = 1 - 2 a x = 1 + 2 a : y = 2 a (2 - 2 a) = 4 a (1 - a) : y = 2 a (2 + 2 a) = 4 a (1 + a)

である。 $0 < a < 1$ のとき $1 - 2 a < 1 < 1 + 2 a$ なので3点は相異なる。よって共有点は

(- 1, 0), (1 - 2 a, 4 a (1 - a)), (1 + 2 a, 4 a (1 + a))

の3つである。

$(- 1, 0)$ は $C$ の「とがった点」で、ここでは $ℓ$ は $C$ をまたがない（左右どちらでも $C$ が $ℓ$ の上側にある）。実際、 $x < - 1$ では $x^{2} - 1 - 2 a (x + 1) = (x + 1) (x - 1 - 2 a) > 0$ 、 $- 1 < x < 1 - 2 a$ では $1 - x^{2} - 2 a (x + 1) = (1 + x) (1 - 2 a - x) > 0$ である。

$a$ を $0.001$ 刻みで動かして3点がすべて共有点になることを確かめた。

$∣ x ∣ < 1$ の場合に出る $x = - 1$ は範囲外。ここで重複して数えない。

$x = 1 - 2 a$ が $∣ x ∣ < 1$ に入るのは $0 < a < 1$ のおかげ。 $a \geq 1$ なら話が変わる。

(2) $C$ と $ℓ$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる $a$ の値を求める

答 $a = 32 - 1$

左の部分は $\frac{4}{3} (1 - a)^{3}$ 、右の部分は $8 a^{2}$ 。等号から $(a + 1)^{3} = 2$ 。

(1) の注で見たとおり、 $- 1 < x < 1 - 2 a$ では $C$ が $ℓ$ の上にある。この区間が囲む部分を $S_{1}$ とする。一方 $1 - 2 a < x < 1 + 2 a$ では $ℓ$ が $C$ の上にある（下で確かめる）。この部分を $S_{2}$ とする。

$S_{1}$ 。 $- 1 \leq x \leq 1 - 2 a$ では $C : y = 1 - x^{2}$ なので

S_{1} = \int_{- 1}^{1 - 2 a} {(1 - x^{2}) - 2 a (x + 1)} d x = \int_{- 1}^{1 - 2 a} (x + 1) {(1 - 2 a) - x} d x

である。これは2次の因数分解された形なので、公式 $\int_{α}^{β} (x - α) (β - x) d x = \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ が使える。 $α = - 1$ 、 $β = 1 - 2 a$ 、 $β - α = 2 - 2 a$ なので

S_{1} = \frac{( 2 - 2 a ) ^{3}}{6} = \frac{8 ( 1 - a ) ^{3}}{6} = \frac{4}{3} (1 - a)^{3}

である。

$S_{2}$ 。 $x = 1$ で $C$ の式が変わるので2つに分ける。まず $1 - 2 a \leq x \leq 1$ では

2 a (x + 1) - (1 - x^{2}) = (x + 1) {x - (1 - 2 a)} \geq 0

であり、 $x = 1 - 2 a + s$ （ $0 \leq s \leq 2 a$ ）とおくと

\int_{0}^{2 a} s (2 - 2 a + s) d s = (2 - 2 a) \cdot \frac{( 2 a ) ^{2}}{2} + \frac{( 2 a ) ^{3}}{3} = 4 a^{2} - \frac{4}{3} a^{3}

である。次に $1 \leq x \leq 1 + 2 a$ では

2 a (x + 1) - (x^{2} - 1) = (x + 1) {(1 + 2 a) - x} \geq 0

であり、 $x = 1 + s$ （ $0 \leq s \leq 2 a$ ）とおくと

\int_{0}^{2 a} (2 + s) (2 a - s) d s = 4 a^{2} + \frac{4}{3} a^{3}

である。足すと3次の項が消えて

S_{2} = (4 a^{2} - \frac{4}{3} a^{3}) + (4 a^{2} + \frac{4}{3} a^{3}) = 8 a^{2}

である。

等号。 $S_{1} = S_{2}$ より

\frac{4}{3} (1 - a)^{3} = 8 a^{2}, (1 - a)^{3} = 6 a^{2}

である。展開すると

1 - 3 a + 3 a^{2} - a^{3} = 6 a^{2}, a^{3} + 3 a^{2} + 3 a - 1 = 0

であり、左辺に $2$ を足して引くと

(a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1) - 2 = 0, (a + 1)^{3} = 2

となる。 $a + 1$ は実数なので

a + 1 = 32, a = 32 - 1

である。 $32 ≑ 1.2599$ なので $a ≑ 0.2599$ で、たしかに $0 < a < 1$ をみたす。

a = ∛2 − 1（面積が等しくなる値）のとき。ℓ は C のとがった点 (−1, 0) を通り、ほかに x = 1 − 2a と x = 1 + 2a で交わる。左の網が S₁、右の網が S₂ で、この a ではこの 2 つの面積が等しい。

$S_{2} = 8 a^{2}$ がきれいな形になるのは、 $x = 1$ をまたぐところで3次の項 $\pm \frac{4}{3} a^{3}$ がちょうど打ち消し合うからである。 $S_{1}$ のほうは $\frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ の公式がそのまま使える。

$a = 32 - 1$ で数値積分すると $S_{1} = S_{2} = 0.5404716$ （差 $3.3 \times 1 0^{- 16}$ ）だった。

$S_{2}$ は $x = 1$ で $C$ の式が変わるので、1本の積分で書くと誤る。必ず2つに分ける。

$a^{3} + 3 a^{2} + 3 a - 1 = 0$ を解の公式で解こうとしない。 $(a + 1)^{3}$ の形に気づくのが要点で、定数項が $- 1$ （ $+ 1$ ではない）ことがヒント。

$(a + 1)^{3} = 2$ の実数解は1つだけ。 $a = 32 - 1$ 以外に答えはない。

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(1)曲線 y=​x2−1​ を C、直線 y=2a(x+1) を ℓ とする（0<a<1）。C と ℓ の共有点の座標をすべて求める

(2)C と ℓ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる a の値を求める

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