第2問空間ベクトルの解答・解説

空間の直線・ねじれの位置・垂直条件・存在と一意性当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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座標空間内の直線 $ℓ$ と $z$ 軸はねじれの位置にあるとする。 $ℓ$ と $z$ 軸の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示す

答 $ℓ$ 上の点 $P$ と $z$ 軸上の点 $Q$ で $QP$ が両方向に垂直になるものを探すと、 $(d_{1}, d_{2}) \neq = (0, 0)$ から $t, s$ がそれぞれただ1通りに定まる

求める直線は両方と交わるので、交点の組 $(P, Q)$ を決める問題に直す。

$z$ 軸の方向ベクトルを $e = (0, 0, 1)$ とし、 $z$ 軸上の点を $Q (0, 0, s)$ と書く。 $ℓ$ 上の1点を $A (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 、方向ベクトルを $d = (d_{1}, d_{2}, d_{3})$ （ $d \neq = 0$ ）として、 $ℓ$ 上の点を

P (a_{1} + t d_{1}, a_{2} + t d_{2}, a_{3} + t d_{3})

と書く。

ねじれの位置から出る条件。 $ℓ$ と $z$ 軸は平行でないので $d$ は $e$ の実数倍ではなく

(d_{1}, d_{2}) \neq = (0, 0), つまり d_{1}^{2} + d_{2}^{2} > 0

である。また $ℓ$ と $z$ 軸は交わらないので、どの $t, s$ でも $P \neq = Q$ である。

求める直線の言いかえ。2直線が「直交する」とは垂直に交わることなので、求める直線 $m$ は $z$ 軸とある点 $Q$ で、 $ℓ$ とある点 $P$ で交わる。 $P \neq = Q$ なので $m$ は直線 $PQ$ であり、その方向は $QP$ である。したがって

QP \cdot e = 0 かつ QP \cdot d = 0 \dots (*)

をみたす $(t, s)$ をすべて求めればよい。逆に $(*)$ をみたす $(t, s)$ があれば、直線 $PQ$ は条件をみたす直線である。

$(*)$ を解く。

QP = (a_{1} + t d_{1}, a_{2} + t d_{2}, a_{3} + t d_{3} - s)

なので、1つめの条件は

a_{3} + t d_{3} - s = 0, s = a_{3} + t d_{3}

である。つまり $t$ が決まれば $s$ はただ1通りに決まる。2つめの条件は、第3成分が $0$ であることを使って

d_{1} (a_{1} + t d_{1}) + d_{2} (a_{2} + t d_{2}) = 0

すなわち

t (d_{1}^{2} + d_{2}^{2}) = - (a_{1} d_{1} + a_{2} d_{2})

である。 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} > 0$ なので

t = - \frac{a _{1} d _{1} + a _{2} d _{2}}{d _{1}^{2} + d _{2}^{2}}

とただ1通りに定まり、続けて $s = a_{3} + t d_{3}$ もただ1通りに定まる。

まとめ。 $(*)$ をみたす $(t, s)$ はちょうど1組である。この $t, s$ に対して $P \neq = Q$ （ねじれの位置だから）なので直線 $PQ$ が定まり、これは $z$ 軸とも $ℓ$ とも垂直に交わる。逆に条件をみたす直線は必ずこの $(t, s)$ から来るので、そのような直線はこの1本だけである。 $■$

$QP$ の第3成分を $0$ にする、という1つめの条件が「 $z$ 軸と直交する」をそのまま座標で書いたもので、ここで $s$ が消費される。残った2つめの条件が $t$ だけの1次方程式になり、係数 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2}$ が $0$ でないことが「平行でない」から出る。ねじれの位置という条件の2つの中身（平行でない・交わらない）が、それぞれ一意性と $P \neq = Q$ に効いている。