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大阪大学　2024年度　前期日程　文系

阪大文系 2024年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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第1問　微分・積分

絶対値のついた関数・共有点・放物線と直線の面積・3次方程式当サイトの体感難易度：標準

(1)曲線 $y = x^{2} - 1$ を $C$ 、直線 $y = 2 a (x + 1)$ を $ℓ$ とする（ $0 < a < 1$ ）。 $C$ と $ℓ$ の共有点の座標をすべて求める

答 $(- 1, 0)$ 、 $(1 - 2 a, 4 a (1 - a))$ 、 $(1 + 2 a, 4 a (1 + a))$ の3つ

$∣ x ∣ \geq 1$ と $∣ x ∣ < 1$ に分け、どちらも $x + 1$ でくくる。

$ℓ$ は点 $(- 1, 0)$ を通り、 $(- 1)^{2} - 1 = 0$ なのでこの点は $C$ 上にもある。つまり $(- 1, 0)$ はつねに共有点である。 $C$ は $x = \pm 1$ で折れ曲がるので、場合分けして残りを探す。

$∣ x ∣ \geq 1$ のとき。 $x^{2} - 1 = x^{2} - 1$ なので

x^{2} - 1 = 2 a (x + 1), (x + 1) (x - 1) = 2 a (x + 1)

すなわち

(x + 1) (x - 1 - 2 a) = 0

である。 $x = - 1$ （これは $∣ x ∣ \geq 1$ をみたす）と $x = 1 + 2 a$ である。 $a > 0$ より $1 + 2 a > 1$ なので、こちらも条件に合う。

$∣ x ∣ < 1$ のとき。 $x^{2} - 1 = 1 - x^{2}$ なので

1 - x^{2} = 2 a (x + 1), (1 + x) (1 - x) = 2 a (1 + x)

すなわち

(1 + x) (1 - x - 2 a) = 0

である。 $x = - 1$ は $∣ x ∣ < 1$ をみたさないので除く。 $x = 1 - 2 a$ は、 $0 < a < 1$ より $- 1 < 1 - 2 a < 1$ をみたすので条件に合う。

$y$ の値を計算すると

x = 1 - 2 a x = 1 + 2 a : y = 2 a (2 - 2 a) = 4 a (1 - a) : y = 2 a (2 + 2 a) = 4 a (1 + a)

である。 $0 < a < 1$ のとき $1 - 2 a < 1 < 1 + 2 a$ なので3点は相異なる。よって共有点は

(- 1, 0), (1 - 2 a, 4 a (1 - a)), (1 + 2 a, 4 a (1 + a))

の3つである。

$(- 1, 0)$ は $C$ の「とがった点」で、ここでは $ℓ$ は $C$ をまたがない（左右どちらでも $C$ が $ℓ$ の上側にある）。実際、 $x < - 1$ では $x^{2} - 1 - 2 a (x + 1) = (x + 1) (x - 1 - 2 a) > 0$ 、 $- 1 < x < 1 - 2 a$ では $1 - x^{2} - 2 a (x + 1) = (1 + x) (1 - 2 a - x) > 0$ である。

$a$ を $0.001$ 刻みで動かして3点がすべて共有点になることを確かめた。

$∣ x ∣ < 1$ の場合に出る $x = - 1$ は範囲外。ここで重複して数えない。

$x = 1 - 2 a$ が $∣ x ∣ < 1$ に入るのは $0 < a < 1$ のおかげ。 $a \geq 1$ なら話が変わる。

(2) $C$ と $ℓ$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる $a$ の値を求める

答 $a = 32 - 1$

左の部分は $\frac{4}{3} (1 - a)^{3}$ 、右の部分は $8 a^{2}$ 。等号から $(a + 1)^{3} = 2$ 。

(1) の注で見たとおり、 $- 1 < x < 1 - 2 a$ では $C$ が $ℓ$ の上にある。この区間が囲む部分を $S_{1}$ とする。一方 $1 - 2 a < x < 1 + 2 a$ では $ℓ$ が $C$ の上にある（下で確かめる）。この部分を $S_{2}$ とする。

$S_{1}$ 。 $- 1 \leq x \leq 1 - 2 a$ では $C : y = 1 - x^{2}$ なので

S_{1} = \int_{- 1}^{1 - 2 a} {(1 - x^{2}) - 2 a (x + 1)} d x = \int_{- 1}^{1 - 2 a} (x + 1) {(1 - 2 a) - x} d x

である。これは2次の因数分解された形なので、公式 $\int_{α}^{β} (x - α) (β - x) d x = \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ が使える。 $α = - 1$ 、 $β = 1 - 2 a$ 、 $β - α = 2 - 2 a$ なので

S_{1} = \frac{( 2 - 2 a ) ^{3}}{6} = \frac{8 ( 1 - a ) ^{3}}{6} = \frac{4}{3} (1 - a)^{3}

である。

$S_{2}$ 。 $x = 1$ で $C$ の式が変わるので2つに分ける。まず $1 - 2 a \leq x \leq 1$ では

2 a (x + 1) - (1 - x^{2}) = (x + 1) {x - (1 - 2 a)} \geq 0

であり、 $x = 1 - 2 a + s$ （ $0 \leq s \leq 2 a$ ）とおくと

\int_{0}^{2 a} s (2 - 2 a + s) d s = (2 - 2 a) \cdot \frac{( 2 a ) ^{2}}{2} + \frac{( 2 a ) ^{3}}{3} = 4 a^{2} - \frac{4}{3} a^{3}

である。次に $1 \leq x \leq 1 + 2 a$ では

2 a (x + 1) - (x^{2} - 1) = (x + 1) {(1 + 2 a) - x} \geq 0

であり、 $x = 1 + s$ （ $0 \leq s \leq 2 a$ ）とおくと

\int_{0}^{2 a} (2 + s) (2 a - s) d s = 4 a^{2} + \frac{4}{3} a^{3}

である。足すと3次の項が消えて

S_{2} = (4 a^{2} - \frac{4}{3} a^{3}) + (4 a^{2} + \frac{4}{3} a^{3}) = 8 a^{2}

である。

等号。 $S_{1} = S_{2}$ より

\frac{4}{3} (1 - a)^{3} = 8 a^{2}, (1 - a)^{3} = 6 a^{2}

である。展開すると

1 - 3 a + 3 a^{2} - a^{3} = 6 a^{2}, a^{3} + 3 a^{2} + 3 a - 1 = 0

であり、左辺に $2$ を足して引くと

(a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1) - 2 = 0, (a + 1)^{3} = 2

となる。 $a + 1$ は実数なので

a + 1 = 32, a = 32 - 1

である。 $32 ≑ 1.2599$ なので $a ≑ 0.2599$ で、たしかに $0 < a < 1$ をみたす。

a = ∛2 − 1（面積が等しくなる値）のとき。ℓ は C のとがった点 (−1, 0) を通り、ほかに x = 1 − 2a と x = 1 + 2a で交わる。左の網が S₁、右の網が S₂ で、この a ではこの 2 つの面積が等しい。

$S_{2} = 8 a^{2}$ がきれいな形になるのは、 $x = 1$ をまたぐところで3次の項 $\pm \frac{4}{3} a^{3}$ がちょうど打ち消し合うからである。 $S_{1}$ のほうは $\frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ の公式がそのまま使える。

$a = 32 - 1$ で数値積分すると $S_{1} = S_{2} = 0.5404716$ （差 $3.3 \times 1 0^{- 16}$ ）だった。

$S_{2}$ は $x = 1$ で $C$ の式が変わるので、1本の積分で書くと誤る。必ず2つに分ける。

$a^{3} + 3 a^{2} + 3 a - 1 = 0$ を解の公式で解こうとしない。 $(a + 1)^{3}$ の形に気づくのが要点で、定数項が $- 1$ （ $+ 1$ ではない）ことがヒント。

$(a + 1)^{3} = 2$ の実数解は1つだけ。 $a = 32 - 1$ 以外に答えはない。

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第2問　空間ベクトル

空間の直線・ねじれの位置・垂直条件・存在と一意性当サイトの体感難易度：やや難

座標空間内の直線 $ℓ$ と $z$ 軸はねじれの位置にあるとする。 $ℓ$ と $z$ 軸の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示す

答 $ℓ$ 上の点 $P$ と $z$ 軸上の点 $Q$ で $QP$ が両方向に垂直になるものを探すと、 $(d_{1}, d_{2}) \neq = (0, 0)$ から $t, s$ がそれぞれただ1通りに定まる

求める直線は両方と交わるので、交点の組 $(P, Q)$ を決める問題に直す。

$z$ 軸の方向ベクトルを $e = (0, 0, 1)$ とし、 $z$ 軸上の点を $Q (0, 0, s)$ と書く。 $ℓ$ 上の1点を $A (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 、方向ベクトルを $d = (d_{1}, d_{2}, d_{3})$ （ $d \neq = 0$ ）として、 $ℓ$ 上の点を

P (a_{1} + t d_{1}, a_{2} + t d_{2}, a_{3} + t d_{3})

と書く。

ねじれの位置から出る条件。 $ℓ$ と $z$ 軸は平行でないので $d$ は $e$ の実数倍ではなく

(d_{1}, d_{2}) \neq = (0, 0), つまり d_{1}^{2} + d_{2}^{2} > 0

である。また $ℓ$ と $z$ 軸は交わらないので、どの $t, s$ でも $P \neq = Q$ である。

求める直線の言いかえ。2直線が「直交する」とは垂直に交わることなので、求める直線 $m$ は $z$ 軸とある点 $Q$ で、 $ℓ$ とある点 $P$ で交わる。 $P \neq = Q$ なので $m$ は直線 $PQ$ であり、その方向は $QP$ である。したがって

QP \cdot e = 0 かつ QP \cdot d = 0 \dots (*)

をみたす $(t, s)$ をすべて求めればよい。逆に $(*)$ をみたす $(t, s)$ があれば、直線 $PQ$ は条件をみたす直線である。

$(*)$ を解く。

QP = (a_{1} + t d_{1}, a_{2} + t d_{2}, a_{3} + t d_{3} - s)

なので、1つめの条件は

a_{3} + t d_{3} - s = 0, s = a_{3} + t d_{3}

である。つまり $t$ が決まれば $s$ はただ1通りに決まる。2つめの条件は、第3成分が $0$ であることを使って

d_{1} (a_{1} + t d_{1}) + d_{2} (a_{2} + t d_{2}) = 0

すなわち

t (d_{1}^{2} + d_{2}^{2}) = - (a_{1} d_{1} + a_{2} d_{2})

である。 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} > 0$ なので

t = - \frac{a _{1} d _{1} + a _{2} d _{2}}{d _{1}^{2} + d _{2}^{2}}

とただ1通りに定まり、続けて $s = a_{3} + t d_{3}$ もただ1通りに定まる。

まとめ。 $(*)$ をみたす $(t, s)$ はちょうど1組である。この $t, s$ に対して $P \neq = Q$ （ねじれの位置だから）なので直線 $PQ$ が定まり、これは $z$ 軸とも $ℓ$ とも垂直に交わる。逆に条件をみたす直線は必ずこの $(t, s)$ から来るので、そのような直線はこの1本だけである。 $■$

$QP$ の第3成分を $0$ にする、という1つめの条件が「 $z$ 軸と直交する」をそのまま座標で書いたもので、ここで $s$ が消費される。残った2つめの条件が $t$ だけの1次方程式になり、係数 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2}$ が $0$ でないことが「平行でない」から出る。ねじれの位置という条件の2つの中身（平行でない・交わらない）が、それぞれ一意性と $P \neq = Q$ に効いている。

無作為な $2$ 万本で、求めた $P, Q$ がつねに条件をみたした。

「直交する」を「垂直なだけ（交わらなくてよい）」と読むと、答えは無数になる。日本語の「2直線が直交する」は垂直に交わること。

$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} > 0$ を言わないと $t$ について割れない。ここが「平行でない」の使いどころ。

$P = Q$ だと直線 $PQ$ が定まらない。交わらないことを使って排除する。

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第3問　整数・数列

素数・数学的帰納法・不等式の証明・3の倍数当サイトの体感難易度：やや難

(1)素数を小さい順に並べて得られる数列を $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}, \dots$ とする。 $p_{15}$ の値を求める

答 $p_{15} = 47$

$50$ までの素数を順に書き出す。

素数を小さい順に書くと

p_{1}, \dots, p_{5} = 2, 3, 5, 7, 11 p_{6}, \dots, p_{10} = 13, 17, 19, 23, 29 p_{11}, \dots, p_{15} = 31, 37, 41, 43, 47

である（ $2$ から $47$ までで、 $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, \dots$ は合成数として除く）。よって

p_{15} = 47

である。

$50$ 以下の素数は $15$ 個（ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$ ）である。 $p_{16} = 53$ なので「 $50$ 以下に $15$ 個」と覚えておくと速い。

計算機で素数を並べても $15$ 番目は $47$ だった。

$1$ は素数ではない。 $p_{1} = 2$ から数え始める。

$49 = 7^{2}$ は素数ではない。 $45, 49$ あたりで取り違えやすい。

(2) $n \geq 12$ のとき、不等式 $p_{n} > 3 n$ が成り立つことを示す

答 $n = 12$ で $p_{12} = 37 > 36$ 。 $p_{n} > 3 n$ を仮定すると、 $p_{n} \geq 3 n + 2$ なら $p_{n + 1} \geq p_{n} + 2 \geq 3 n + 4$ 、 $p_{n} = 3 n + 1$ なら $p_{n + 1} \geq 3 n + 3$ だが $3 n + 3$ は $3$ の倍数で素数でないので $p_{n + 1} \geq 3 n + 4$ 。どちらも $p_{n + 1} > 3 (n + 1)$

数学的帰納法。 $p_{n} = 3 n + 1$ のときだけ「 $3 n + 3$ は素数でない」を使う。

$n \geq 12$ についての数学的帰納法で示す。

出発点。(1) の並びより $p_{12} = 37$ で、 $3 \cdot 12 = 36$ だから

p_{12} = 37 > 36 = 3 \cdot 12

である。

引き継ぎ。 $n \geq 12$ で $p_{n} > 3 n$ が成り立つとする。 $p_{n}$ は整数なので

p_{n} \geq 3 n + 1

である。また $n \geq 12$ より $p_{n} \geq p_{12} = 37 > 2$ なので $p_{n}$ は奇数であり、 $p_{n + 1}$ も奇数で $p_{n + 1} > p_{n}$ だから

p_{n + 1} \geq p_{n} + 2

である。ここで $p_{n}$ の大きさで2つに分ける。

$p_{n} \geq 3 n + 2$ のとき。 $p_{n + 1} \geq p_{n} + 2 \geq 3 n + 4 > 3 n + 3 = 3 (n + 1)$ である。
$p_{n} = 3 n + 1$ のとき。 $p_{n + 1} \geq p_{n} + 2 = 3 n + 3$ である。ところが $3 n + 3 = 3 (n + 1)$ は $3$ の倍数で、 $n \geq 12$ より $3 n + 3 \geq 39 > 3$ だから素数ではない。よって $p_{n + 1} \neq = 3 n + 3$ であり $p_{n + 1} \geq 3 n + 4 > 3 (n + 1)$ である。

どちらの場合も $p_{n + 1} > 3 (n + 1)$ である。したがって帰納法により、 $n \geq 12$ のすべてで $p_{n} > 3 n$ が成り立つ。 $■$

$n = 12$ はちょうど $p_{12} = 37 = 3 \cdot 12 + 1$ で、2つめの場合にあたる。実際 $p_{13} = 41 = 3 \cdot 13 + 2$ で、 $3 \cdot 13 = 39$ は素数でないからひとつ飛ばされている。 $n \leq 11$ では $p_{n} > 3 n$ は1つも成り立たない（ $p_{11} = 31 < 33$ ）ので、 $12$ という境目は動かせない。

$n = 12$ から $3000$ まで直接確かめて、破れる $n$ は $1$ つもなかった。

$p_{n + 1} \geq p_{n} + 1$ では足りない。 $p_{n}$ が奇数であることから $+ 2$ を取るのが鍵。

$p_{n} \geq 3 n + 1$ だけから $p_{n + 1} \geq 3 n + 3$ しか出ず、 $> 3 n + 3$ には届かない。 $3 n + 3$ が素数でないことを使ってもう $1$ 押す。

$3 n + 3 > 3$ であることをことわる。 $n$ が小さければ $3 n + 3$ が $3$ そのもので素数になりうるからで、 $n \geq 12$ がここで効く。

▸ 別解：

6

で割った余りで押す

$5$ 以上の素数は $6$ で割ると $1$ か $5$ 余る。 $n \geq 12$ では $p_{n} \geq 37$ なので、 $p_{n}$ と $p_{n + 1}$ はこの形である。

$p_{n} \geq 3 n + 1$ とすると、 $p_{n + 1}$ は $p_{n}$ より大きい $6 k \pm 1$ の形の数なので、 $3 n + 1$ と $3 n + 3$ のあいだに「 $6$ で割って $1$ か $5$ 余る数」がどれだけあるかを数えればよい。 $3 n + 2$ と $3 n + 3$ のうち少なくとも一方は $6$ の倍数か $3$ の倍数になるため、結局 $p_{n + 1} \geq 3 n + 4$ が出る。