第3問整数・数列の解答・解説

素数・数学的帰納法・不等式の証明・3の倍数当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1)素数を小さい順に並べて得られる数列を $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}, \dots$ とする。 $p_{15}$ の値を求める

答 $p_{15} = 47$

$50$ までの素数を順に書き出す。

素数を小さい順に書くと

p_{1}, \dots, p_{5} = 2, 3, 5, 7, 11 p_{6}, \dots, p_{10} = 13, 17, 19, 23, 29 p_{11}, \dots, p_{15} = 31, 37, 41, 43, 47

である（ $2$ から $47$ までで、 $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, \dots$ は合成数として除く）。よって

p_{15} = 47

である。

$50$ 以下の素数は $15$ 個（ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$ ）である。 $p_{16} = 53$ なので「 $50$ 以下に $15$ 個」と覚えておくと速い。

計算機で素数を並べても $15$ 番目は $47$ だった。

$1$ は素数ではない。 $p_{1} = 2$ から数え始める。

$49 = 7^{2}$ は素数ではない。 $45, 49$ あたりで取り違えやすい。

(2) $n \geq 12$ のとき、不等式 $p_{n} > 3 n$ が成り立つことを示す

答 $n = 12$ で $p_{12} = 37 > 36$ 。 $p_{n} > 3 n$ を仮定すると、 $p_{n} \geq 3 n + 2$ なら $p_{n + 1} \geq p_{n} + 2 \geq 3 n + 4$ 、 $p_{n} = 3 n + 1$ なら $p_{n + 1} \geq 3 n + 3$ だが $3 n + 3$ は $3$ の倍数で素数でないので $p_{n + 1} \geq 3 n + 4$ 。どちらも $p_{n + 1} > 3 (n + 1)$

数学的帰納法。 $p_{n} = 3 n + 1$ のときだけ「 $3 n + 3$ は素数でない」を使う。

$n \geq 12$ についての数学的帰納法で示す。

出発点。(1) の並びより $p_{12} = 37$ で、 $3 \cdot 12 = 36$ だから

p_{12} = 37 > 36 = 3 \cdot 12

である。

引き継ぎ。 $n \geq 12$ で $p_{n} > 3 n$ が成り立つとする。 $p_{n}$ は整数なので

p_{n} \geq 3 n + 1

である。また $n \geq 12$ より $p_{n} \geq p_{12} = 37 > 2$ なので $p_{n}$ は奇数であり、 $p_{n + 1}$ も奇数で $p_{n + 1} > p_{n}$ だから

p_{n + 1} \geq p_{n} + 2

である。ここで $p_{n}$ の大きさで2つに分ける。

$p_{n} \geq 3 n + 2$ のとき。 $p_{n + 1} \geq p_{n} + 2 \geq 3 n + 4 > 3 n + 3 = 3 (n + 1)$ である。
$p_{n} = 3 n + 1$ のとき。 $p_{n + 1} \geq p_{n} + 2 = 3 n + 3$ である。ところが $3 n + 3 = 3 (n + 1)$ は $3$ の倍数で、 $n \geq 12$ より $3 n + 3 \geq 39 > 3$ だから素数ではない。よって $p_{n + 1} \neq = 3 n + 3$ であり $p_{n + 1} \geq 3 n + 4 > 3 (n + 1)$ である。

どちらの場合も $p_{n + 1} > 3 (n + 1)$ である。したがって帰納法により、 $n \geq 12$ のすべてで $p_{n} > 3 n$ が成り立つ。 $■$

$n = 12$ はちょうど $p_{12} = 37 = 3 \cdot 12 + 1$ で、2つめの場合にあたる。実際 $p_{13} = 41 = 3 \cdot 13 + 2$ で、 $3 \cdot 13 = 39$ は素数でないからひとつ飛ばされている。 $n \leq 11$ では $p_{n} > 3 n$ は1つも成り立たない（ $p_{11} = 31 < 33$ ）ので、 $12$ という境目は動かせない。

$n = 12$ から $3000$ まで直接確かめて、破れる $n$ は $1$ つもなかった。

$p_{n + 1} \geq p_{n} + 1$ では足りない。 $p_{n}$ が奇数であることから $+ 2$ を取るのが鍵。

$p_{n} \geq 3 n + 1$ だけから $p_{n + 1} \geq 3 n + 3$ しか出ず、 $> 3 n + 3$ には届かない。 $3 n + 3$ が素数でないことを使ってもう $1$ 押す。

$3 n + 3 > 3$ であることをことわる。 $n$ が小さければ $3 n + 3$ が $3$ そのもので素数になりうるからで、 $n \geq 12$ がここで効く。

▸ 別解：

6

で割った余りで押す

$5$ 以上の素数は $6$ で割ると $1$ か $5$ 余る。 $n \geq 12$ では $p_{n} \geq 37$ なので、 $p_{n}$ と $p_{n + 1}$ はこの形である。

$p_{n} \geq 3 n + 1$ とすると、 $p_{n + 1}$ は $p_{n}$ より大きい $6 k \pm 1$ の形の数なので、 $3 n + 1$ と $3 n + 3$ のあいだに「 $6$ で割って $1$ か $5$ 余る数」がどれだけあるかを数えればよい。 $3 n + 2$ と $3 n + 3$ のうち少なくとも一方は $6$ の倍数か $3$ の倍数になるため、結局 $p_{n + 1} \geq 3 n + 4$ が出る。