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神戸大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　文科系

神戸大文系 2025年度数学の解答・解説

神戸大学（神戸大文系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・文科系入試の数学全3問（第1問：微分法・高次方程式、第2問：数と式・論証、第3問：確率・三角関数）について、当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を大問ごとに掲載しています。

最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分法・高次方程式

3次方程式の解と因数定理・3次関数の極値・3次方程式の実数解の個数当サイトの体感難易度：標準

(1) $f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} - 1$ について、方程式 $f (x) = 0$ が $x = - 1$ を解にもつとき、実数 $a$ の値と $f (x) = 0$ のすべての解を求める

答 $a = 3$ 、解は $x = - 1, \frac{1}{2}$

$f (- 1) = 0$ から $a$ を定め、 $f (x)$ を $(x + 1)$ で因数分解する。

方程式 $f (x) = 0$ が $x = - 1$ を解にもつから

f (- 1) = 2 (- 1)^{3} + a (- 1)^{2} - 1 = a - 3 = 0 ⟺ a = 3

である。このとき $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ を因数分解すると

2 x^{3} + 3 x^{2} - 1 = (x + 1) (2 x^{2} + x - 1) = (x + 1)^{2} (2 x - 1) = 0

より、方程式 $f (x) = 0$ の解は $x = - 1, \frac{1}{2}$ である。

$x = - 1$ が重解となっており、(2) で $x = - 1$ が極値をとる点になることと対応している。

(2) $a = 3$ のとき、関数 $f (x)$ の極値を求める

答極大値 $0$ （ $x = - 1$ ）、極小値 $- 1$ （ $x = 0$ ）

$f^{'} (x) = 6 x (x + 1)$ の符号変化から増減を調べる。

$a = 3$ のとき $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ であり、微分すると

f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x = 6 x (x + 1)

となる。 $f^{'} (x) = 0$ とすると $x = - 1, 0$ であり、 $f (x)$ は $x ≦ - 1$ で増加、 $- 1 ≦ x ≦ 0$ で減少、 $x ≧ 0$ で増加する。よって

$x = - 1$ のとき 極大値 $f (- 1) = 0$
$x = 0$ のとき 極小値 $f (0) = - 1$

をとる。

a = 3

のときの

y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1

のグラフ。

x = - 1

で

x

軸に接して極大値

0

をとり、

x = 0

で極小値

- 1

をとる。(3) で

a > 3

にすると極大値が正となって

x

軸と3点で交わる。

$f (- 1) = 0$ で $x$ 軸に接するため、(1) で $x = - 1$ が重解になったことと一致する。

(3)方程式 $f (x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める

答 $a > 3$

$f^{'} (x) = 2 x (3 x + a)$ より、 $a \neq = 0$ のとき極値をとる $x$ は $0$ と $- \frac{a}{3}$ である。極大値と極小値が異符号になる条件 $f (0) \cdot f (- \frac{a}{3}) < 0$ を解く。

$f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} - 1$ を微分すると

f^{'} (x) = 6 x^{2} + 2 a x = 2 x (3 x + a)

である。 $a = 0$ のときは $f^{'} (x) = 6 x^{2} ≧ 0$ となって $f (x)$ は単調増加であるから、実数解は1個しか持たない。

$a \neq = 0$ のとき、 $f (x)$ は $x = 0$ と $x = - \frac{a}{3}$ で極値をとる。3次方程式 $f (x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつための必要十分条件は、極大値と極小値が異符号となること、すなわち

f (0) \cdot f (- \frac{a}{3}) < 0

である。ここで

f (0) = - 1 < 0, f (- \frac{a}{3}) = 2 (- \frac{a}{3})^{3} + a (- \frac{a}{3})^{2} - 1 = \frac{a ^{3}}{27} - 1

であるから、条件は

\frac{a ^{3}}{27} - 1 > 0 ⟺ a^{3} > 27 ⟺ a > 3

となる。

境界 $a = 3$ がちょうど (1)(2) で調べた「重解をもち共有点が2個になる場合」になっている。

▸ 別解：定数分離

a = - 2 x + df r a c 1 x^{2}

を用いる別解

$x = 0$ は $f (0) = - 1 \neq = 0$ より解ではないから、 $f (x) = 0$ は $a = - 2 x + \frac{1}{x ^{2}}$ と同値である。 $g (x) = - 2 x + \frac{1}{x ^{2}}$ とおくと $g^{'} (x) = - 2 - \frac{2}{x ^{3}} = \frac{- 2 ( x ^{3} + 1 )}{x ^{3}}$ より、 $x < 0$ では $x = - 1$ で極小値 $g (- 1) = 3$ をとり、 $x > 0$ では単調減少で $(- \infty, \infty)$ のすべての値を1回ずつとる。したがって水平線 $y = a$ が $y = g (x)$ と3点で交わる条件は $a > 3$ である。

第1問だけのページ

第2問　数と式・論証

根号を含む式の不等式評価・無理数の整数部分と小数部分・単調性による単射の証明当サイトの体感難易度：標準

(1) $n$ を自然数とし、 $a_{n} = n^{2} + 1$ とおくとき、 $a_{n} < n + 1$ が成り立つことを示す

答 $(n + 1)^{2} - a_{n}^{2} = 2 n > 0$ かつ $a_{n} > 0, n + 1 > 0$ より $a_{n} < n + 1$

両辺とも正なので、2乗の差 $(n + 1)^{2} - a_{n}^{2}$ が正であることを示す。

$n$ は自然数であるから $n ≧ 1$ であり、

(n + 1)^{2} - a_{n}^{2} = (n^{2} + 2 n + 1) - (n^{2} + 1) = 2 n > 0

より $a_{n}^{2} < (n + 1)^{2}$ である。 $a_{n} > 0, n + 1 > 0$ であるから、 $a_{n} < n + 1$ が成り立つ。 $■$

$n = 1$ のとき $2 < 2$ 、 $n = 2$ のとき $5 < 3$ 。

(2) $b_{n}$ を $a_{n}$ の小数部分とするとき、 $b_{n}$ を $n$ を用いて表す

答 $b_{n} = n^{2} + 1 - n$

(1) と $n^{2} < n^{2} + 1$ を合わせて $n < a_{n} < n + 1$ を示し、 $a_{n}$ の整数部分が $n$ であることを確定させる。

$n$ は自然数で $n^{2} < n^{2} + 1$ だから $n < n^{2} + 1 = a_{n}$ である。(1) の結果と合わせると

n < a_{n} < n + 1

が成り立つ。 $n$ は整数であるから、 $a_{n}$ を超えない最大の整数（整数部分）は $n$ である。よって $a_{n}$ の小数部分 $b_{n}$ は

b_{n} = a_{n} - n = n^{2} + 1 - n

である。

$n = 1$ のとき $b_{1} = 2 - 1 \approx 0.414$ で確かに $0 ≦ b_{1} < 1$ 。

(3) $m, n$ を異なる2つの自然数とするとき、 $b_{m} \neq = b_{n}$ であることを示す

答分子を有理化すると $b_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1 + n}$ となり、自然数 $n$ に関して狭義単調減少だから $m \neq = n ⟹ b_{m} \neq = b_{n}$

$b_{n} = n^{2} + 1 - n$ の分子を有理化して $b_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1 + n}$ と変形すると、数列 ${b_{n}}$ が単調減少であることが一目でわかる。

(2) より

b_{n} = n^{2} + 1 - n = \frac{( n ^{2} + 1 - n ) ( n ^{2} + 1 + n )}{n ^{2} + 1 + n} = \frac{1}{n ^{2} + 1 + n}

である。異なる2つの自然数 $m, n$ について、対称性より $1 ≦ m < n$ として一般性を失わない。このとき

0 < m^{2} + 1 + m < n^{2} + 1 + n

であるから、逆数をとると

b_{m} = \frac{1}{m ^{2} + 1 + m} > \frac{1}{n ^{2} + 1 + n} = b_{n}

となり、 $b_{m} \neq = b_{n}$ である。 $m > n$ のときも同様に $b_{m} < b_{n}$ となるから、異なる自然数 $m, n$ に対して $b_{m} \neq = b_{n}$ が成り立つ。 $■$

$b_{1} = 2 - 1 \approx 0.414, b_{2} = 5 - 2 \approx 0.236, b_{3} = 10 - 3 \approx 0.162$ と単調に減少している。

▸ 別解：背理法（

b_{m} = b_{n}

と仮定して2乗する）による別解

$b_{m} = b_{n}$ と仮定すると $m^{2} + 1 - m = n^{2} + 1 - n$ すなわち $m^{2} + 1 - n^{2} + 1 = m - n$ となる。このとき逆数をとっても等しいから $m^{2} + 1 + m = n^{2} + 1 + n$ すなわち $m^{2} + 1 - n^{2} + 1 = - (m - n)$ も成り立つ。2式を引くと $2 (m - n) = 0$ より $m = n$ となり、 $m \neq = n$ に矛盾する。

第2問だけのページ

第3問　確率・三角関数

反復試行の確率・単位円上の点と偏角・三角形の面積と余弦定理当サイトの体感難易度：標準

(1)さいころを2回投げて出た目を $a, b$ とし、 $A (cos \frac{a}{6} π, sin \frac{a}{6} π), B (cos \frac{b + 6}{6} π, sin \frac{b + 6}{6} π)$ とするとき、3点 $O, A, B$ が一直線上にある確率を求める

答 $\frac{1}{6}$

$A, B$ はともに単位円上の点であり、偏角の差 $Δ θ = \frac{b - a + 6}{6} π$ に着目すると見通しがよい。

さいころを2回投げたときの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りあり、同様に確からしい。

2点 $A, B$ はともに原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の単位円周上にあり、それぞれの偏角は $θ_{A} = \frac{a}{6} π, θ_{B} = \frac{b + 6}{6} π$ である。ここで整数 $k$ を

k = b - a + 6

とおくと、 $1 ≦ a ≦ 6, 1 ≦ b ≦ 6$ より $- 5 ≦ b - a ≦ 5$ であるから $1 ≦ k ≦ 11$ であり、偏角の差は

θ_{B} - θ_{A} = \frac{k}{6} π (k = 1, 2, \dots, 11)

と表される。3点 $O, A, B$ が一直線上にあるための必要十分条件は、 $θ_{B} - θ_{A}$ が $π$ の整数倍となること、すなわち $1 ≦ k ≦ 11$ の範囲で $k = 6$ （ $a = b$ ）となることである。

$a = b$ となる目の組は $(a, b) = (1, 1), (2, 2), \dots, (6, 6)$ の $6$ 通りあるから、求める確率は

\frac{6}{36} = \frac{1}{6}

である。

単位円上の12等分点。点

A

（

a = 1, \dots, 6

）は上半分（偏角

π /6 \sim π

）、点

B

（

b = 1, \dots, 6

）は下半分（偏角

7 π /6 \sim 2 π

）に配置される。

$A$ の偏角は $\frac{π}{6} \sim π$ 、 $B$ の偏角は $\frac{7}{6} π \sim 2 π$ なので、 $A$ と $B$ が一致することは決してなく、原点対称（ $a = b$ ）のときのみ一直線上に並ぶ。

(2)3点 $O, A, B$ が一直線上になく、かつ $△ OAB$ の面積が $\frac{1}{4}$ 以下である確率を求める

答 $\frac{1}{3}$

$OA = OB = 1$ より $△ OAB = \frac{1}{2} sin \frac{k}{6} π$ と表し、 $sin \frac{k}{6} π ≦ \frac{1}{2}$ （ $k \neq = 6$ ）を満たす $k$ を特定する。

3点 $O, A, B$ が一直線上にないとき（ $k \neq = 6$ ）、 $OA = OB = 1$ であるから、 $△ OAB$ の面積 $S$ は

S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot ∣ sin (θ_{B} - θ_{A}) ∣ = \frac{1}{2} sin \frac{k}{6} π

である。よって $S ≦ \frac{1}{4}$ となる条件は

sin \frac{k}{6} π ≦ \frac{1}{2} (1 ≦ k ≦ 11, k \neq = 6)

であり、これを満たす整数 $k$ は

k = 1, 5, 7, 11 ⟺ b - a = - 5, - 1, 1, 5

の4通りである。それぞれの $(a, b)$ の組の個数は：

$b - a = - 5$ のとき： $(a, b) = (6, 1)$ の 1通り
$b - a = - 1$ のとき： $(a, b) = (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5)$ の 5通り
$b - a = 1$ のとき： $(a, b) = (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)$ の 5通り
$b - a = 5$ のとき： $(a, b) = (1, 6)$ の 1通り

合計 $1 + 5 + 5 + 1 = 12$ 通りあるから、求める確率は

\frac{12}{36} = \frac{1}{3}

である。

$∠ AOB = 3 0^{\circ}$ または $15 0^{\circ}$ となる配置がちょうど12通りに対応する。

「3点 $O, A, B$ が一直線上になく」という条件から $k = 6$ （ $sin π = 0$ ）は除外されることに注意する。

(3)2点 $A, B$ 間の距離が $1$ より大きい確率を求める

答 $\frac{5}{6}$

余事象「 $AB ≦ 1$ （すなわち中心角が $6 0^{\circ}$ 以下）」となる組を数えて全体から引く。

$OA = OB = 1$ より、余弦定理（または2点間の距離）から

AB^{2} = 1^{2} + 1^{2} - 2 cos \frac{k}{6} π = 2 - 2 cos \frac{k}{6} π

である。よって $AB > 1$ となる条件は

2 - 2 cos \frac{k}{6} π > 1 ⟺ cos \frac{k}{6} π < \frac{1}{2}

である。 $1 ≦ k ≦ 11$ において、余事象 $cos \frac{k}{6} π ≧ \frac{1}{2}$ を満たす $k$ は

k = 1, 2, 10, 11 ⟺ b - a = - 5, - 4, 4, 5

であり、対応する $(a, b)$ は：

$b - a = - 5$ ： $(6, 1)$ の1通り
$b - a = - 4$ ： $(5, 1), (6, 2)$ の2通り
$b - a = 4$ ： $(1, 5), (2, 6)$ の2通り
$b - a = 5$ ： $(1, 6)$ の1通り

の計 $6$ 通りである。したがって $AB > 1$ となる確率は

1 - \frac{6}{36} = \frac{5}{6}

である。

半径 $1$ の円の弦の長さが $1$ になるのは中心角が $\frac{π}{3}$ （ $k = 2, 10$ ）のときで、それより中心角が大きければ弦は $1$ より長くなる。

第3問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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問題文について

(1)f(x)=2x3+ax2−1 について、方程式 f(x)=0 が x=−1 を解にもつとき、実数 a の値と f(x)=0 のすべての解を求める

(2)a=3 のとき、関数 f(x) の極値を求める

(3)方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつような a の値の範囲を求める

(1)n を自然数とし、an​=n2+1​ とおくとき、an​<n+1 が成り立つことを示す

(2)bn​ を an​ の小数部分とするとき、bn​ を n を用いて表す

(3)m,n を異なる2つの自然数とするとき、bm​=bn​ であることを示す

(1)さいころを2回投げて出た目を a,b とし、A(cos6a​π,sin6a​π), B(cos6b+6​π,sin6b+6​π) とするとき、3点 O,A,B が一直線上にある確率を求める

(2)3点 O,A,B が一直線上になく、かつ △OAB の面積が 41​ 以下である確率を求める

(3)2点 A,B 間の距離が 1 より大きい確率を求める

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(1) $f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} - 1$ について、方程式 $f (x) = 0$ が $x = - 1$ を解にもつとき、実数 $a$ の値と $f (x) = 0$ のすべての解を求める

(2) $a = 3$ のとき、関数 $f (x)$ の極値を求める

(3)方程式 $f (x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める

(1) $n$ を自然数とし、 $a_{n} = n^{2} + 1$ とおくとき、 $a_{n} < n + 1$ が成り立つことを示す

(2) $b_{n}$ を $a_{n}$ の小数部分とするとき、 $b_{n}$ を $n$ を用いて表す

(3) $m, n$ を異なる2つの自然数とするとき、 $b_{m} \neq = b_{n}$ であることを示す

(1)さいころを2回投げて出た目を $a, b$ とし、 $A (cos \frac{a}{6} π, sin \frac{a}{6} π), B (cos \frac{b + 6}{6} π, sin \frac{b + 6}{6} π)$ とするとき、3点 $O, A, B$ が一直線上にある確率を求める

(2)3点 $O, A, B$ が一直線上になく、かつ $△ OAB$ の面積が $\frac{1}{4}$ 以下である確率を求める

(3)2点 $A, B$ 間の距離が $1$ より大きい確率を求める

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