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神戸大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　文科系

神戸大文系 2025年度数学第3問（確率・三角関数）の解答・解説

神戸大学（神戸大文系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・文科系入試の数学第3問（分野：確率・三角関数）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「反復試行の確率・単位円上の点と偏角・三角形の面積と余弦定理」を扱います。

出題テーマ：反復試行の確率・単位円上の点と偏角・三角形の面積と余弦定理当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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神戸大文系 2025年度数学第3問の設問構成・解答方針（全3問）

(1)の解答・解説へ図解あり
さいころを2回投げて出た目を $a, b$ とし、 $A (cos \frac{a}{6} π, sin \frac{a}{6} π), B (cos \frac{b + 6}{6} π, sin \frac{b + 6}{6} π)$ とするとき、3点 $O, A, B$ が一直線上にある確率を求める
(2)の解答・解説へ
3点 $O, A, B$ が一直線上になく、かつ $△ OAB$ の面積が $\frac{1}{4}$ 以下である確率を求める
(3)の解答・解説へ
2点 $A, B$ 間の距離が $1$ より大きい確率を求める

(1)さいころを2回投げて出た目を $a, b$ とし、 $A (cos \frac{a}{6} π, sin \frac{a}{6} π), B (cos \frac{b + 6}{6} π, sin \frac{b + 6}{6} π)$ とするとき、3点 $O, A, B$ が一直線上にある確率を求める

答 $\frac{1}{6}$

$A, B$ はともに単位円上の点であり、偏角の差 $Δ θ = \frac{b - a + 6}{6} π$ に着目すると見通しがよい。

さいころを2回投げたときの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りあり、同様に確からしい。

2点 $A, B$ はともに原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の単位円周上にあり、それぞれの偏角は $θ_{A} = \frac{a}{6} π, θ_{B} = \frac{b + 6}{6} π$ である。ここで整数 $k$ を

k = b - a + 6

とおくと、 $1 ≦ a ≦ 6, 1 ≦ b ≦ 6$ より $- 5 ≦ b - a ≦ 5$ であるから $1 ≦ k ≦ 11$ であり、偏角の差は

θ_{B} - θ_{A} = \frac{k}{6} π (k = 1, 2, \dots, 11)

と表される。3点 $O, A, B$ が一直線上にあるための必要十分条件は、 $θ_{B} - θ_{A}$ が $π$ の整数倍となること、すなわち $1 ≦ k ≦ 11$ の範囲で $k = 6$ （ $a = b$ ）となることである。

$a = b$ となる目の組は $(a, b) = (1, 1), (2, 2), \dots, (6, 6)$ の $6$ 通りあるから、求める確率は

\frac{6}{36} = \frac{1}{6}

である。

単位円上の12等分点。点

A

（

a = 1, \dots, 6

）は上半分（偏角

π /6 \sim π

）、点

B

（

b = 1, \dots, 6

）は下半分（偏角

7 π /6 \sim 2 π

）に配置される。

$A$ の偏角は $\frac{π}{6} \sim π$ 、 $B$ の偏角は $\frac{7}{6} π \sim 2 π$ なので、 $A$ と $B$ が一致することは決してなく、原点対称（ $a = b$ ）のときのみ一直線上に並ぶ。

(2)3点 $O, A, B$ が一直線上になく、かつ $△ OAB$ の面積が $\frac{1}{4}$ 以下である確率を求める

答 $\frac{1}{3}$

$OA = OB = 1$ より $△ OAB = \frac{1}{2} sin \frac{k}{6} π$ と表し、 $sin \frac{k}{6} π ≦ \frac{1}{2}$ （ $k \neq = 6$ ）を満たす $k$ を特定する。

3点 $O, A, B$ が一直線上にないとき（ $k \neq = 6$ ）、 $OA = OB = 1$ であるから、 $△ OAB$ の面積 $S$ は

S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot ∣ sin (θ_{B} - θ_{A}) ∣ = \frac{1}{2} sin \frac{k}{6} π

である。よって $S ≦ \frac{1}{4}$ となる条件は

sin \frac{k}{6} π ≦ \frac{1}{2} (1 ≦ k ≦ 11, k \neq = 6)

であり、これを満たす整数 $k$ は

k = 1, 5, 7, 11 ⟺ b - a = - 5, - 1, 1, 5

の4通りである。それぞれの $(a, b)$ の組の個数は：

$b - a = - 5$ のとき： $(a, b) = (6, 1)$ の 1通り
$b - a = - 1$ のとき： $(a, b) = (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5)$ の 5通り
$b - a = 1$ のとき： $(a, b) = (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)$ の 5通り
$b - a = 5$ のとき： $(a, b) = (1, 6)$ の 1通り

合計 $1 + 5 + 5 + 1 = 12$ 通りあるから、求める確率は

\frac{12}{36} = \frac{1}{3}

である。

$∠ AOB = 3 0^{\circ}$ または $15 0^{\circ}$ となる配置がちょうど12通りに対応する。

「3点 $O, A, B$ が一直線上になく」という条件から $k = 6$ （ $sin π = 0$ ）は除外されることに注意する。

(3)2点 $A, B$ 間の距離が $1$ より大きい確率を求める

答 $\frac{5}{6}$

余事象「 $AB ≦ 1$ （すなわち中心角が $6 0^{\circ}$ 以下）」となる組を数えて全体から引く。

$OA = OB = 1$ より、余弦定理（または2点間の距離）から

AB^{2} = 1^{2} + 1^{2} - 2 cos \frac{k}{6} π = 2 - 2 cos \frac{k}{6} π

である。よって $AB > 1$ となる条件は

2 - 2 cos \frac{k}{6} π > 1 ⟺ cos \frac{k}{6} π < \frac{1}{2}

である。 $1 ≦ k ≦ 11$ において、余事象 $cos \frac{k}{6} π ≧ \frac{1}{2}$ を満たす $k$ は

k = 1, 2, 10, 11 ⟺ b - a = - 5, - 4, 4, 5

であり、対応する $(a, b)$ は：

$b - a = - 5$ ： $(6, 1)$ の1通り
$b - a = - 4$ ： $(5, 1), (6, 2)$ の2通り
$b - a = 4$ ： $(1, 5), (2, 6)$ の2通り
$b - a = 5$ ： $(1, 6)$ の1通り

の計 $6$ 通りである。したがって $AB > 1$ となる確率は

1 - \frac{6}{36} = \frac{5}{6}

である。

半径 $1$ の円の弦の長さが $1$ になるのは中心角が $\frac{π}{3}$ （ $k = 2, 10$ ）のときで、それより中心角が大きければ弦は $1$ より長くなる。

2025年度の全3問をまとめて読む

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問題文について

(1)さいころを2回投げて出た目を a,b とし、A(cos6a​π,sin6a​π), B(cos6b+6​π,sin6b+6​π) とするとき、3点 O,A,B が一直線上にある確率を求める

(2)3点 O,A,B が一直線上になく、かつ △OAB の面積が 41​ 以下である確率を求める

(3)2点 A,B 間の距離が 1 より大きい確率を求める

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(1)さいころを2回投げて出た目を $a, b$ とし、 $A (cos \frac{a}{6} π, sin \frac{a}{6} π), B (cos \frac{b + 6}{6} π, sin \frac{b + 6}{6} π)$ とするとき、3点 $O, A, B$ が一直線上にある確率を求める

(2)3点 $O, A, B$ が一直線上になく、かつ $△ OAB$ の面積が $\frac{1}{4}$ 以下である確率を求める

(3)2点 $A, B$ 間の距離が $1$ より大きい確率を求める

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