独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問3問・無料

東北大学　2025年度　前期日程　文系

第1問確率の解答・解説

反復試行・移動量の言い換え・二項分布・起こりえない事象当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1)原点を出発点として数直線上を動く点 $P$ について、試行 $(*)$ 「硬貨を1回投げ、表なら $P$ を正の向きに $1$ 進め、裏ならさいころを1回投げて奇数なら正の向きに $1$ 、偶数なら負の向きに $2$ 進める」を3回繰り返したとき、 $P$ が原点にもどっている確率を求める

答 $\frac{27}{64}$

1回の試行で実際に起こることは「 $+ 1$ 進む」か「 $- 2$ 進む」かの2通りしかない。まずその確率を出してしまえば、あとはふつうの反復試行である。

1回の試行。 移動量は $+ 1$ か $- 2$ のどちらかである。

$- 2$ 進むのは「裏」かつ「偶数の目」のときで、確率は $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
$+ 1$ 進むのはそれ以外で、確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

（ $+ 1$ は「表」の $\frac{1}{2}$ と「裏かつ奇数」の $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ を足して $\frac{3}{4}$ でもよい。さいころの目が $1$ から $6$ まで等確率なので、奇数・偶数はそれぞれ $\frac{1}{2}$ である。）

位置。 $n$ 回のうち $- 2$ 進んだ回数を $k$ とすると、位置は

(n - k) \cdot 1 + k \cdot (- 2) = n - 3 k

である。原点にもどっているのは $n - 3 k = 0$ 、つまり $k = \frac{n}{3}$ のときである。

$n = 3$ のとき。 $k = 1$ なので

_{3} C_{1} (\frac{3}{4})^{2} (\frac{1}{4}) = 3 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{27}{64}

である。

位置の分布を分数のまま3回ぶん計算すると、原点の確率はちょうど $\frac{27}{64} = 0.421875$ だった。

硬貨とさいころを別々に数えない。 $+ 1$ と $- 2$ の2通りにまとめてしまうのが早い。

$+ 1$ の確率は $\frac{1}{2}$ ではなく $\frac{3}{4}$ 。「裏かつ奇数」も $+ 1$ である。

(2)試行 $(*)$ を6回繰り返したとき、 $P$ が原点にもどっている確率を求める

答 $\frac{1215}{4096}$

(1) と同じで $k = \frac{n}{3}$ を使う。 $n = 6$ なら $k = 2$ である。

$n = 6$ のとき原点にもどるのは $k = 2$ のときなので

_{6} C_{2} (\frac{3}{4})^{4} (\frac{1}{4})^{2} = 15 \cdot \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1215}{4096}

である。

$\frac{1215}{4096} = 0.2966 \dots$ で、(1) の $0.4219$ より小さい。回数が増えるほど「ちょうど原点」にいる確率は下がっていく。

分布を6回ぶん計算すると $\frac{1215}{4096} = 0.29663086$ だった。

(3) $n$ を $3$ で割り切れない正の整数とするとき、試行 $(*)$ を $n$ 回繰り返して $P$ が原点にもどっている確率を求める

答 $0$

(1) で出した「位置 $= n - 3 k$ 」がそのまま効く。 $n - 3 k = 0$ には $n$ が $3$ の倍数であることが必要なので、そうでなければ起こりえない。

(1) より、 $n$ 回のうち $- 2$ 進んだ回数を $k$ （ $0 ≦ k ≦ n$ の整数）とすると、 $n$ 回後の位置は $n - 3 k$ である。原点にもどっているのは

n - 3 k = 0, すなわち n = 3 k

のときに限る。 $k$ は整数なので、これは $n$ が $3$ の倍数であることを意味する。 $n$ が $3$ で割り切れないとき、そのような $k$ は存在しないので、 $P$ が原点にもどることはない。よって求める確率は

0

である。

$n$ 回後の位置はつねに $n - 3 k$ 、つまり $n$ と $3$ を法として合同な整数しかとれない。 $3$ で割った余りが保存されるので、 $n \neq \equiv 0 (mod 3)$ なら位置も $0$ にならない、と見てもよい。

$n = 1, 2, 4, 5, 7$ で分布を計算すると、原点の確率はいずれもちょうど $0$ だった。

計算せずに「起こりえない」と言い切る問題である。 $k$ が整数であることを根拠に書く。

2025年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる東北大文系数学 2027

東北大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る収録内容を見る¥2,695・100ページ・2026年8月16日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(2)試行 (∗) を6回繰り返したとき、P が原点にもどっている確率を求める

(3)n を 3 で割り切れない正の整数とするとき、試行 (∗) を n 回繰り返して P が原点にもどっている確率を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(2)試行 $(*)$ を6回繰り返したとき、 $P$ が原点にもどっている確率を求める

(3) $n$ を $3$ で割り切れない正の整数とするとき、試行 $(*)$ を $n$ 回繰り返して $P$ が原点にもどっている確率を求める