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東北大学　2025年度　前期日程　文系

東北大文系 2025年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　確率

反復試行・移動量の言い換え・二項分布・起こりえない事象当サイトの体感難易度：標準

(1)原点を出発点として数直線上を動く点 $P$ について、試行 $(*)$ 「硬貨を1回投げ、表なら $P$ を正の向きに $1$ 進め、裏ならさいころを1回投げて奇数なら正の向きに $1$ 、偶数なら負の向きに $2$ 進める」を3回繰り返したとき、 $P$ が原点にもどっている確率を求める

答 $\frac{27}{64}$

1回の試行で実際に起こることは「 $+ 1$ 進む」か「 $- 2$ 進む」かの2通りしかない。まずその確率を出してしまえば、あとはふつうの反復試行である。

1回の試行。 移動量は $+ 1$ か $- 2$ のどちらかである。

$- 2$ 進むのは「裏」かつ「偶数の目」のときで、確率は $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
$+ 1$ 進むのはそれ以外で、確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

（ $+ 1$ は「表」の $\frac{1}{2}$ と「裏かつ奇数」の $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ を足して $\frac{3}{4}$ でもよい。さいころの目が $1$ から $6$ まで等確率なので、奇数・偶数はそれぞれ $\frac{1}{2}$ である。）

位置。 $n$ 回のうち $- 2$ 進んだ回数を $k$ とすると、位置は

(n - k) \cdot 1 + k \cdot (- 2) = n - 3 k

である。原点にもどっているのは $n - 3 k = 0$ 、つまり $k = \frac{n}{3}$ のときである。

$n = 3$ のとき。 $k = 1$ なので

_{3} C_{1} (\frac{3}{4})^{2} (\frac{1}{4}) = 3 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{27}{64}

である。

位置の分布を分数のまま3回ぶん計算すると、原点の確率はちょうど $\frac{27}{64} = 0.421875$ だった。

硬貨とさいころを別々に数えない。 $+ 1$ と $- 2$ の2通りにまとめてしまうのが早い。

$+ 1$ の確率は $\frac{1}{2}$ ではなく $\frac{3}{4}$ 。「裏かつ奇数」も $+ 1$ である。

(2)試行 $(*)$ を6回繰り返したとき、 $P$ が原点にもどっている確率を求める

答 $\frac{1215}{4096}$

(1) と同じで $k = \frac{n}{3}$ を使う。 $n = 6$ なら $k = 2$ である。

$n = 6$ のとき原点にもどるのは $k = 2$ のときなので

_{6} C_{2} (\frac{3}{4})^{4} (\frac{1}{4})^{2} = 15 \cdot \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1215}{4096}

である。

$\frac{1215}{4096} = 0.2966 \dots$ で、(1) の $0.4219$ より小さい。回数が増えるほど「ちょうど原点」にいる確率は下がっていく。

分布を6回ぶん計算すると $\frac{1215}{4096} = 0.29663086$ だった。

(3) $n$ を $3$ で割り切れない正の整数とするとき、試行 $(*)$ を $n$ 回繰り返して $P$ が原点にもどっている確率を求める

答 $0$

(1) で出した「位置 $= n - 3 k$ 」がそのまま効く。 $n - 3 k = 0$ には $n$ が $3$ の倍数であることが必要なので、そうでなければ起こりえない。

(1) より、 $n$ 回のうち $- 2$ 進んだ回数を $k$ （ $0 ≦ k ≦ n$ の整数）とすると、 $n$ 回後の位置は $n - 3 k$ である。原点にもどっているのは

n - 3 k = 0, すなわち n = 3 k

のときに限る。 $k$ は整数なので、これは $n$ が $3$ の倍数であることを意味する。 $n$ が $3$ で割り切れないとき、そのような $k$ は存在しないので、 $P$ が原点にもどることはない。よって求める確率は

0

である。

$n$ 回後の位置はつねに $n - 3 k$ 、つまり $n$ と $3$ を法として合同な整数しかとれない。 $3$ で割った余りが保存されるので、 $n \neq \equiv 0 (mod 3)$ なら位置も $0$ にならない、と見てもよい。

$n = 1, 2, 4, 5, 7$ で分布を計算すると、原点の確率はいずれもちょうど $0$ だった。

計算せずに「起こりえない」と言い切る問題である。 $k$ が整数であることを根拠に書く。

第1問だけのページ

第2問　数列

対数をとる・連立漸化式・等比数列になる条件・一般項当サイトの体感難易度：標準

(1) $x_{1} = 2$ 、 $y_{1} = \frac{1}{2}$ 、 $x_{n + 1} = x_{n}^{5} y_{n}^{2}$ 、 $y_{n + 1} = x_{n} y_{n}^{6}$ で定まる正の数列について、 $a_{n} = lo g_{2} x_{n}$ 、 $b_{n} = lo g_{2} y_{n}$ とするとき、 ${a_{n} + k b_{n}}$ が等比数列になる実数 $k$ をすべて求める

答 $k = 2, - 1$

積と累乗の漸化式なので、底 $2$ の対数をとれば和と定数倍の漸化式になる。 $a_{n + 1} + k b_{n + 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ で表し、「 $a_{n} + k b_{n}$ の定数倍になる」という条件を係数で比べる。

両辺の底 $2$ の対数をとると、 $lo g_{2} (x^{5} y^{2}) = 5 lo g_{2} x + 2 lo g_{2} y$ などから

a_{n + 1} = 5 a_{n} + 2 b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + 6 b_{n} \dots ①

である。初項は $a_{1} = lo g_{2} 2 = 1$ 、 $b_{1} = lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1$ である。

$c_{n} = a_{n} + k b_{n}$ とおくと ① より

c_{n + 1} = (5 a_{n} + 2 b_{n}) + k (a_{n} + 6 b_{n}) = (5 + k) a_{n} + (2 + 6 k) b_{n}

である。 ${c_{n}}$ が公比 $λ$ の等比数列になるには $c_{n + 1} = λ c_{n} = λ a_{n} + λk b_{n}$ であればよい。 $a_{n}, b_{n}$ の係数を比べて

5 + k = λ, 2 + 6 k = λk

である。第1式を第2式に入れると

2 + 6 k = (5 + k) k = k^{2} + 5 k, k^{2} - k - 2 = 0, (k - 2) (k + 1) = 0

なので $k = 2$ または $k = - 1$ である。それぞれ公比は $λ = 5 + k$ で

$k = 2$ ： $λ = 7$ 、 $c_{1} = a_{1} + 2 b_{1} = 1 - 2 = - 1 \neq = 0$
$k = - 1$ ： $λ = 4$ 、 $c_{1} = a_{1} - b_{1} = 1 + 1 = 2 \neq = 0$

で、どちらも初項が $0$ でないので確かに等比数列になる。よって

k = 2, k = - 1

である。

数値で回すと $a_{n} + 2 b_{n} = - 1, - 7, - 49, - 343, \dots$ （公比 $7$ ）、 $a_{n} - b_{n} = 2, 8, 32, 128, \dots$ （公比 $4$ ）になった。 $k = 0, 1, 3$ では比が一定にならなかった。

初項が $0$ だと「等比数列」にならない（公比が定まらない）。 $c_{1} \neq = 0$ の確認を入れる。

$a_{n}, b_{n}$ の係数を比べてよいのは、 $a_{n}$ と $b_{n}$ が独立に動くからである。実際に $(a_{1}, b_{1}) = (1, - 1)$ から ① で生成される列は $a_{n}$ と $b_{n}$ が比例しないので問題ない。

(2)数列 ${x_{n}}$ の一般項を求める

答 $x_{n} = 2^{\frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}}$

(1) で2本の等比数列が手に入ったので、連立して $a_{n}$ を取り出す。最後に $x_{n} = 2^{a_{n}}$ に戻す。

(1) より

a_{n} + 2 b_{n} = - 1 \cdot 7^{n - 1}, a_{n} - b_{n} = 2 \cdot 4^{n - 1}

である。第1式から第2式を引くと $3 b_{n} = - 7^{n - 1} - 2 \cdot 4^{n - 1}$ なので

b_{n} = - \frac{7 ^{n - 1} + 2 \cdot 4 ^{n - 1}}{3}

である。これを第2式に入れて

a_{n} = 2 \cdot 4^{n - 1} + b_{n} = \frac{6 \cdot 4 ^{n - 1} - 7 ^{n - 1} - 2 \cdot 4 ^{n - 1}}{3} = \frac{4 \cdot 4 ^{n - 1} - 7 ^{n - 1}}{3} = \frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}

である。 $x_{n} = 2^{a_{n}}$ だから

x_{n} = 2^{\frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}}

である。

$n = 1, 2, 3, 4$ で指数は $1, 3, 5, - 29$ となり、 $x_{1} = 2, x_{2} = 8, x_{3} = 32, x_{4} = 2^{- 29}$ である。 $4^{n}$ より $7^{n - 1}$ のほうが速く増えるので、 $n ≧ 4$ では指数が負、つまり $x_{n}$ は急速に $0$ に近づく。

漸化式を分数のまま回した $x_{1} \sim x_{5}$ と、この式の値が完全に一致した（ $x_{5} = 2^{- 459}$ ）。

指数が整数になることは、 $4^{n} - 7^{n - 1} \equiv 1 - 1 = 0 (mod 3)$ から分かる（ $4 \equiv 1$ 、 $7 \equiv 1$ ）。

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第3問　空間ベクトル

体積の比・ベクトルの分解・交点の決定・正四面体の内積当サイトの体感難易度：標準

(1)四面体 $OABC$ において $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $OC = c$ とし、点 $D$ は $AD = 3 AB + 2 AC$ を満たすとする。四面体 $OABC$ の体積を $V$ とするとき、四角錐 $OABDC$ の体積を $V$ を用いて表す

答 $5 V$

$D$ は平面 $ABC$ 上にある。頂点 $O$ は共通で高さも同じなので、体積の比は底面積の比に等しい。底面の比は平面 $ABC$ の中だけで計算できる。

$AD = 3 AB + 2 AC$ なので、 $D$ は平面 $ABC$ 上にある。そこで平面 $ABC$ の中で、 $A$ を原点、 $AB$ と $AC$ を座標軸の向きにとって考える。この座標では

A (0, 0), B (1, 0), C (0, 1), D (3, 2)

である。

平面 ABC を、AB と AC を基準にとって描いたところ（実際の角度や長さとは違うが、面積の比はこの図のとおりになる）。四角形 ABDC は三角形 ABC の 5 倍の広さをもつ。点 P は (3) で使う線分 AD と線分 BC の交点。

四角形 $ABDC$ の面積を求める。対角線 $AD$ で2つの三角形に分けると

$△ ABD$ ： $AB = (1, 0)$ 、 $AD = (3, 2)$ で面積は $\frac{1}{2} ∣ 1 \cdot 2 - 0 \cdot 3 ∣ = 1$
$△ ADC$ ： $AD = (3, 2)$ 、 $AC = (0, 1)$ で面積は $\frac{1}{2} ∣ 3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 ∣ = \frac{3}{2}$

なので、四角形 $ABDC$ の面積は $1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ である。一方、 $△ ABC$ の面積は $\frac{1}{2} ∣ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 ∣ = \frac{1}{2}$ である。よって

\frac{( 四角形 ABDC )}{( △ ABC )} = \frac{5/2}{1/2} = 5

である。四面体 $OABC$ と四角錐 $OABDC$ は、どちらも頂点が $O$ で底面が同じ平面 $ABC$ 上にあるから、高さは共通である。したがって体積の比も $5$ で

(四角錐 OABDC) = 5 V

である。

この「 $AB$ 、 $AC$ を軸にとる」やり方では長さや角度は変わってしまうが、面積の比だけは変わらない。比を聞かれている問題では、こうして計算しやすい座標に取りかえてよい。

1辺 $1$ の正四面体の座標で両方の体積を計算すると、比はちょうど $5.000000000$ だった。

四角形 $ABDC$ の頂点の順に注意する。 $A \to B \to D \to C$ の順で、 $A \to B \to C \to D$ ではない。

$D$ が平面 $ABC$ 上にあることを押さえてから、高さが共通だと言う。

(2) $OD$ を $a, b, c$ を用いて表す

答 $OD = - 4 a + 3 b + 2 c$

$AB = b - a$ のように始点を $O$ にそろえて代入するだけ。

$AD = OD - a$ 、 $AB = b - a$ 、 $AC = c - a$ なので

OD - a = 3 (b - a) + 2 (c - a) = - 5 a + 3 b + 2 c

である。両辺に $a$ を足して

OD = - 4 a + 3 b + 2 c

である。係数の和が $- 4 + 3 + 2 = 1$ になっているのは、 $D$ が平面 $ABC$ 上にあることの表れである。

乱数で200通りの $a, b, c$ をとって両辺を比べると、すべて一致した。

(3)線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、 $OP$ を $b, c$ を用いて表す

答 $OP = \frac{3}{5} b + \frac{2}{5} c$

$P$ を2通りに表して係数を比べる。 $a, b, c$ は1次独立（四面体の3辺なので）だから、係数は一意に決まる。

$P$ は線分 $AD$ 上にあるので、 $0 ≦ t ≦ 1$ を使って

OP = a + t AD = a + t (- 5 a + 3 b + 2 c) = (1 - 5 t) a + 3 t b + 2 t c

と書ける。また $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、 $0 ≦ s ≦ 1$ を使って

OP = (1 - s) b + s c

とも書ける。 $a, b, c$ は1次独立なので、両方の表しかたで係数が一致する。

$a$ の係数： $1 - 5 t = 0$ より $t = \frac{1}{5}$
$b$ の係数： $3 t = 1 - s$
$c$ の係数： $2 t = s$

$t = \frac{1}{5}$ より $s = \frac{2}{5}$ で、 $3 t = \frac{3}{5} = 1 - \frac{2}{5}$ も満たしている。 $0 ≦ t ≦ 1$ 、 $0 ≦ s ≦ 1$ なのでどちらも線分の内部にある。よって

OP = \frac{3}{5} b + \frac{2}{5} c

である。

$P$ は線分 $BC$ を $2 : 3$ に内分する点である。 $AD$ の係数 $3, 2$ が、そのまま逆の順で内分比に現れている。

乱数で200通りの $a, b, c$ をとると、 $t = \frac{1}{5}$ 、 $s = \frac{2}{5}$ の点が一致し、それが $\frac{3}{5} b + \frac{2}{5} c$ とも一致した。

$a$ の係数が $0$ になることが「 $P$ が平面 $OBC$ 上にある」、つまり直線 $BC$ 上にあることの条件になっている。ここから $t$ が決まる。

(4)四面体 $OABC$ が1辺の長さ $1$ の正四面体のとき、線分 $OD$ の長さを求める

答 $OD = 15$

(2) の式を2乗する。正四面体なので $∣ a ∣ = b = ∣ c ∣ = 1$ 、どの2つの内積も $\frac{1}{2}$ である。

正四面体なので $∣ a ∣ = b = ∣ c ∣ = 1$ で、どの2つのなす角も $6 0^{\circ}$ だから

a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 1 \cdot 1 \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

である。(2) より $OD = - 4 a + 3 b + 2 c$ なので

OD^{2} = 16 ∣ a ∣^{2} + 9 b^{2} + 4 ∣ c ∣^{2} + 2 {(- 4) \cdot 3 a \cdot b + 3 \cdot 2 b \cdot c + 2 \cdot (- 4) c \cdot a}

である。代入すると

= 16 + 9 + 4 + 2 {- 12 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} - 8 \cdot \frac{1}{2}} = 29 + 2 (- 6 + 3 - 4) = 29 - 14 = 15

なので

OD = 15

である。

1辺 $1$ の正四面体の座標で計算すると $3.872983346$ で、 $15 = 3.872983346$ と一致した。

展開するとき、交差項は $2 \times (係数の積) \times (内積)$ 。符号つきの係数をそのまま掛ける。

第3問だけのページ

第4問　積分法

3次曲線と放物線の交点・面積が等しい条件・定積分が0になる言いかえ・解と係数の関係当サイトの体感難易度：やや難

$k$ を正の実数とする。曲線 $y = x (x - 2)^{2}$ と放物線 $y = k x^{2}$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるような $k$ の値を求める

答 $k = 32 - 4$

面積を2つとも計算して引き算するのは大変である。差 $h (x)$ の定積分で考えると、「2つの面積が等しい」は「 $0$ から大きいほうの交点まで積分して $0$ 」と言いかえられる。

交点。 $x (x - 2)^{2} = k x^{2}$ を整理すると

x {(x - 2)^{2} - k x} = 0, x {x^{2} - (4 + k) x + 4} = 0

である。 $x^{2} - (4 + k) x + 4 = 0$ の判別式は $(4 + k)^{2} - 16 = k^{2} + 8 k > 0$ （ $k > 0$ ）なので、異なる2つの実数解 $α, β$ （ $α < β$ ）をもつ。解と係数の関係から

α + β = 4 + k > 0, α β = 4 > 0

なので $0 < α < β$ である。交点の $x$ 座標は $0, α, β$ の3つである。

差の関数。 $h (x) = x (x - 2)^{2} - k x^{2}$ とおくと

h (x) = x (x - α) (x - β)

である。 $0 < x < α$ では $x > 0$ 、 $x - α < 0$ 、 $x - β < 0$ なので $h (x) > 0$ 、 $α < x < β$ では $h (x) < 0$ である。したがって2つの部分の面積は

S_{1} = \int_{0}^{α} h (x) d x, S_{2} = - \int_{α}^{β} h (x) d x

である。 $S_{1} = S_{2}$ は

\int_{0}^{α} h (x) d x + \int_{α}^{β} h (x) d x = 0, \int_{0}^{β} h (x) d x = 0

と同値である。

k = 3√2 - 4 のとき。交点は x = 0, √2, 2√2 の3つで、網かけの2つの部分の面積は等しくなる（どちらも 1）。左の部分は3次曲線が上、右の部分は放物線が上。

計算。 $h (x) = x^{3} - (4 + k) x^{2} + 4 x$ なので

\int_{0}^{β} h (x) d x = \frac{β ^{4}}{4} - \frac{( 4 + k ) β ^{3}}{3} + 2 β^{2}

である。 $β > 0$ なので $β^{2}$ で割って $12$ 倍すると、条件は

3 β^{2} - 4 (4 + k) β + 24 = 0

となる。ここで $β$ は $x^{2} - (4 + k) x + 4 = 0$ の解だから $(4 + k) β = β^{2} + 4$ である。これを代入すると

3 β^{2} - 4 (β^{2} + 4) + 24 = 0, - β^{2} + 8 = 0, β = 22

である（ $β > 0$ ）。 $(4 + k) β = β^{2} + 4 = 12$ より

4 + k = \frac{12}{2 2} = \frac{6}{2} = 32, k = 32 - 4

である。 $32 = 4.242 \dots > 4$ なので $k > 0$ を満たしている。よって

k = 32 - 4

である。

このとき $α = \frac{4}{β} = \frac{4}{2 2} = 2$ で、交点は $x = 0, 2, 22$ と等比数列になる。2つの部分の面積はどちらも $1$ である。

$k = 32 - 4 = 0.242640687$ で数値積分すると、2つの部分の面積はどちらも $1.000000000$ だった。

$\int_{0}^{β} h = 0$ に言いかえるのが要点。 $S_{1}, S_{2}$ を別々に $α, β$ で書き下すと式が膨れ上がる。

$β$ は2次方程式の解なので $β^{2} = (4 + k) β - 4$ と次数を下げられる。これを使うと一気に $β$ が決まる。

最後に $k > 0$ を満たしているか確かめる。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(2)試行 (∗) を6回繰り返したとき、P が原点にもどっている確率を求める

(3)n を 3 で割り切れない正の整数とするとき、試行 (∗) を n 回繰り返して P が原点にもどっている確率を求める

(1)x1​=2、y1​=21​、xn+1​=xn5​yn2​、yn+1​=xn​yn6​ で定まる正の数列について、an​=log2​xn​、bn​=log2​yn​ とするとき、{an​+kbn​} が等比数列になる実数 k をすべて求める

(2)数列 {xn​} の一般項を求める

(1)四面体 OABC において OA=a、OB=b、OC=c とし、点 D は AD=3AB+2AC を満たすとする。四面体 OABC の体積を V とするとき、四角錐 OABDC の体積を V を用いて表す

(2)OD を a,b,c を用いて表す

(3)線分 AD と線分 BC の交点を P とするとき、OP を b,c を用いて表す

(4)四面体 OABC が1辺の長さ 1 の正四面体のとき、線分 OD の長さを求める

k を正の実数とする。曲線 y=x(x−2)2 と放物線 y=kx2 で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるような k の値を求める

同じ形式の問題を、5回分

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(2)試行 $(*)$ を6回繰り返したとき、 $P$ が原点にもどっている確率を求める

(3) $n$ を $3$ で割り切れない正の整数とするとき、試行 $(*)$ を $n$ 回繰り返して $P$ が原点にもどっている確率を求める

(2)数列 ${x_{n}}$ の一般項を求める

(1)四面体 $OABC$ において $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $OC = c$ とし、点 $D$ は $AD = 3 AB + 2 AC$ を満たすとする。四面体 $OABC$ の体積を $V$ とするとき、四角錐 $OABDC$ の体積を $V$ を用いて表す

(2) $OD$ を $a, b, c$ を用いて表す

(3)線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、 $OP$ を $b, c$ を用いて表す

(4)四面体 $OABC$ が1辺の長さ $1$ の正四面体のとき、線分 $OD$ の長さを求める

$k$ を正の実数とする。曲線 $y = x (x - 2)^{2}$ と放物線 $y = k x^{2}$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるような $k$ の値を求める