第4問 積分法の解答・解説

交点。 $x{\left(x-2\right)}^2=k{x}^2$ を整理すると

である。$x^2-\left(4+k\right)x+4=0$ の判別式は ${\left(4+k\right)}^2-16=k^2+8k>0$（$k>0$）なので、異なる2つの実数解 $\alpha ,\beta$（$\alpha <\beta$）をもつ。解と係数の関係から

なので $0<\alpha <\beta$ である。交点の $x$ 座標は $0,\alpha ,\beta$ の3つである。

差の関数。 $h(x)=x{\left(x-2\right)}^2-k{x}^2$ とおくと

である。$0<x<\alpha$ では $x>0$、$x-\alpha <0$、$x-\beta <0$ なので $h(x)>0$、$\alpha <x<\beta$ では $h(x)<0$ である。したがって2つの部分の面積は

である。$S_1=S_2$ は

と同値である。

計算。 $h(x)=x^3-\left(4+k\right)x^2+4x$ なので

である。$\beta >0$ なので ${\beta }^2$ で割って $12$ 倍すると、条件は

となる。ここで $\beta$ は $x^2-\left(4+k\right)x+4=0$ の解だから $\left(4+k\right)\beta ={\beta }^2+4$ である。これを代入すると

である（$\beta >0$）。$\left(4+k\right)\beta ={\beta }^2+4=12$ より

である。$3\sqrt{2}=4.242\cdots >4$ なので $k>0$ を満たしている。よって

である。

このとき $\alpha =\frac{4}{\beta }=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ で、交点は $x=0,\sqrt{2},2\sqrt{2}$ と等比数列になる。2つの部分の面積はどちらも $1$ である。