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東北大学　2025年度　前期日程　文系

第3問空間ベクトルの解答・解説

体積の比・ベクトルの分解・交点の決定・正四面体の内積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)四面体 $OABC$ において $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $OC = c$ とし、点 $D$ は $AD = 3 AB + 2 AC$ を満たすとする。四面体 $OABC$ の体積を $V$ とするとき、四角錐 $OABDC$ の体積を $V$ を用いて表す

答 $5 V$

$D$ は平面 $ABC$ 上にある。頂点 $O$ は共通で高さも同じなので、体積の比は底面積の比に等しい。底面の比は平面 $ABC$ の中だけで計算できる。

$AD = 3 AB + 2 AC$ なので、 $D$ は平面 $ABC$ 上にある。そこで平面 $ABC$ の中で、 $A$ を原点、 $AB$ と $AC$ を座標軸の向きにとって考える。この座標では

A (0, 0), B (1, 0), C (0, 1), D (3, 2)

である。

平面 ABC を、AB と AC を基準にとって描いたところ（実際の角度や長さとは違うが、面積の比はこの図のとおりになる）。四角形 ABDC は三角形 ABC の 5 倍の広さをもつ。点 P は (3) で使う線分 AD と線分 BC の交点。

四角形 $ABDC$ の面積を求める。対角線 $AD$ で2つの三角形に分けると

$△ ABD$ ： $AB = (1, 0)$ 、 $AD = (3, 2)$ で面積は $\frac{1}{2} ∣ 1 \cdot 2 - 0 \cdot 3 ∣ = 1$
$△ ADC$ ： $AD = (3, 2)$ 、 $AC = (0, 1)$ で面積は $\frac{1}{2} ∣ 3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 ∣ = \frac{3}{2}$

なので、四角形 $ABDC$ の面積は $1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ である。一方、 $△ ABC$ の面積は $\frac{1}{2} ∣ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 ∣ = \frac{1}{2}$ である。よって

\frac{( 四角形 ABDC )}{( △ ABC )} = \frac{5/2}{1/2} = 5

である。四面体 $OABC$ と四角錐 $OABDC$ は、どちらも頂点が $O$ で底面が同じ平面 $ABC$ 上にあるから、高さは共通である。したがって体積の比も $5$ で

(四角錐 OABDC) = 5 V

である。

この「 $AB$ 、 $AC$ を軸にとる」やり方では長さや角度は変わってしまうが、面積の比だけは変わらない。比を聞かれている問題では、こうして計算しやすい座標に取りかえてよい。

1辺 $1$ の正四面体の座標で両方の体積を計算すると、比はちょうど $5.000000000$ だった。

四角形 $ABDC$ の頂点の順に注意する。 $A \to B \to D \to C$ の順で、 $A \to B \to C \to D$ ではない。

$D$ が平面 $ABC$ 上にあることを押さえてから、高さが共通だと言う。

(2) $OD$ を $a, b, c$ を用いて表す

答 $OD = - 4 a + 3 b + 2 c$

$AB = b - a$ のように始点を $O$ にそろえて代入するだけ。

$AD = OD - a$ 、 $AB = b - a$ 、 $AC = c - a$ なので

OD - a = 3 (b - a) + 2 (c - a) = - 5 a + 3 b + 2 c

である。両辺に $a$ を足して

OD = - 4 a + 3 b + 2 c

である。係数の和が $- 4 + 3 + 2 = 1$ になっているのは、 $D$ が平面 $ABC$ 上にあることの表れである。

乱数で200通りの $a, b, c$ をとって両辺を比べると、すべて一致した。

(3)線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、 $OP$ を $b, c$ を用いて表す

答 $OP = \frac{3}{5} b + \frac{2}{5} c$

$P$ を2通りに表して係数を比べる。 $a, b, c$ は1次独立（四面体の3辺なので）だから、係数は一意に決まる。

$P$ は線分 $AD$ 上にあるので、 $0 ≦ t ≦ 1$ を使って

OP = a + t AD = a + t (- 5 a + 3 b + 2 c) = (1 - 5 t) a + 3 t b + 2 t c

と書ける。また $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、 $0 ≦ s ≦ 1$ を使って

OP = (1 - s) b + s c

とも書ける。 $a, b, c$ は1次独立なので、両方の表しかたで係数が一致する。

$a$ の係数： $1 - 5 t = 0$ より $t = \frac{1}{5}$
$b$ の係数： $3 t = 1 - s$
$c$ の係数： $2 t = s$

$t = \frac{1}{5}$ より $s = \frac{2}{5}$ で、 $3 t = \frac{3}{5} = 1 - \frac{2}{5}$ も満たしている。 $0 ≦ t ≦ 1$ 、 $0 ≦ s ≦ 1$ なのでどちらも線分の内部にある。よって

OP = \frac{3}{5} b + \frac{2}{5} c

である。

$P$ は線分 $BC$ を $2 : 3$ に内分する点である。 $AD$ の係数 $3, 2$ が、そのまま逆の順で内分比に現れている。

乱数で200通りの $a, b, c$ をとると、 $t = \frac{1}{5}$ 、 $s = \frac{2}{5}$ の点が一致し、それが $\frac{3}{5} b + \frac{2}{5} c$ とも一致した。

$a$ の係数が $0$ になることが「 $P$ が平面 $OBC$ 上にある」、つまり直線 $BC$ 上にあることの条件になっている。ここから $t$ が決まる。

(4)四面体 $OABC$ が1辺の長さ $1$ の正四面体のとき、線分 $OD$ の長さを求める

答 $OD = 15$

(2) の式を2乗する。正四面体なので $∣ a ∣ = b = ∣ c ∣ = 1$ 、どの2つの内積も $\frac{1}{2}$ である。

正四面体なので $∣ a ∣ = b = ∣ c ∣ = 1$ で、どの2つのなす角も $6 0^{\circ}$ だから

a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 1 \cdot 1 \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

である。(2) より $OD = - 4 a + 3 b + 2 c$ なので

OD^{2} = 16 ∣ a ∣^{2} + 9 b^{2} + 4 ∣ c ∣^{2} + 2 {(- 4) \cdot 3 a \cdot b + 3 \cdot 2 b \cdot c + 2 \cdot (- 4) c \cdot a}

である。代入すると

= 16 + 9 + 4 + 2 {- 12 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} - 8 \cdot \frac{1}{2}} = 29 + 2 (- 6 + 3 - 4) = 29 - 14 = 15

なので

OD = 15

である。

1辺 $1$ の正四面体の座標で計算すると $3.872983346$ で、 $15 = 3.872983346$ と一致した。

展開するとき、交差項は $2 \times (係数の積) \times (内積)$ 。符号つきの係数をそのまま掛ける。

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問題文について

(1)四面体 OABC において OA=a、OB=b、OC=c とし、点 D は AD=3AB+2AC を満たすとする。四面体 OABC の体積を V とするとき、四角錐 OABDC の体積を V を用いて表す

(2)OD を a,b,c を用いて表す

(3)線分 AD と線分 BC の交点を P とするとき、OP を b,c を用いて表す

(4)四面体 OABC が1辺の長さ 1 の正四面体のとき、線分 OD の長さを求める

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(2) $OD$ を $a, b, c$ を用いて表す

(3)線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、 $OP$ を $b, c$ を用いて表す

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