第3問確率の解答・解説

余事象・包除原理・倍数判定・反復試行当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $Y = X_{1} X_{2} \dots X_{n}$ が $5$ で割り切れる確率を求める

答 $1 - (\frac{5}{6})^{n}$

$5$ は素数で、 $1$ から $6$ のうち $5$ の倍数は $5$ だけである。積が $5$ で割り切れるのは「少なくとも1回 $5$ が出る」ときなので、余事象が速い。

$5$ は素数なので、 $Y$ が $5$ で割り切れるのは $X_{1}, \dots, X_{n}$ のどれかが $5$ の倍数のときである。 $1$ から $6$ のうち $5$ の倍数は $5$ だけだから、条件は「少なくとも1回 $5$ が出る」である。

余事象「1回も $5$ が出ない」の確率は $(\frac{5}{6})^{n}$ なので

P = 1 - (\frac{5}{6})^{n}

である。

$n = 2$ なら $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ で、 $36$ 通りの全探索でも $\frac{11}{36}$ である。 $n = 1, \dots, 7$ のすべてで一致した。

$5$ が素数であることが効いている。「 $4$ で割り切れる」なら $2$ が2回出る場合なども要るので、余事象だけでは済まない。

(2) $Y$ が $15$ で割り切れる確率を求める

答 $1 - (\frac{5}{6})^{n} - (\frac{2}{3})^{n} + (\frac{1}{2})^{n}$

$15 = 3 \times 5$ なので「 $5$ の倍数が1回は出る」かつ「 $3$ の倍数が1回は出る」である。2つの条件のどちらも成り立つ確率なので、余事象（どちらかが成り立たない）に包除原理を使う。

$15 = 3 \cdot 5$ で $3, 5$ は相異なる素数だから、 $Y$ が $15$ で割り切れるのは

事象 $A$ ： $5$ が少なくとも1回出る（ $Y$ が $5$ の倍数）
事象 $B$ ： $3$ または $6$ が少なくとも1回出る（ $Y$ が $3$ の倍数）

がともに起こるときである。余事象をとって包除原理を使うと

P (A \cap B) = 1 - P (\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 - P (\overline{A}) - P (\overline{B}) + P (\overline{A} \cap \overline{B})

である。それぞれ

$\overline{A}$ ：毎回 $5$ 以外（ $5$ 通り）。 $P (\overline{A}) = (\frac{5}{6})^{n}$ 。
$\overline{B}$ ：毎回 $3, 6$ 以外（ $1, 2, 4, 5$ の $4$ 通り）。 $P (\overline{B}) = (\frac{4}{6})^{n} = (\frac{2}{3})^{n}$ 。
$\overline{A} \cap \overline{B}$ ：毎回 $3, 5, 6$ 以外（ $1, 2, 4$ の $3$ 通り）。 $P = (\frac{3}{6})^{n} = (\frac{1}{2})^{n}$ 。

なので

P = 1 - (\frac{5}{6})^{n} - (\frac{2}{3})^{n} + (\frac{1}{2})^{n}

である。

$n = 1$ では $1 - \frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 0$ で、1回では $15$ の倍数になりえないことと合う。 $n = 2$ では $\frac{1}{9}$ で、 $(5, 3), (5, 6), (3, 5), (6, 5)$ の $4$ 通り $/36$ と一致する。