第5問空間図形・積分法の解答・解説

線分の通過範囲・包絡線・回転体の体積・断面積当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

$P$ が $x$ 軸上、 $Q$ が $y z$ 平面上、 $OP + OQ = 1$ を保って動くとき、線分 $PQ$ が通過してできる立体の体積を求める

答 $\frac{2 π}{15}$

$Q$ は $y z$ 平面上を自由に回せるので、立体は $x$ 軸まわりの回転体である。だから $x$ 軸からの距離 $r = y^{2} + z^{2}$ だけを見ればよく、問題は「 $(x, r)$ 平面で、両軸の切片の和が $1$ の線分の族が覆う範囲」という平面の問題に落ちる。

$OP = a$ 、 $OQ = b$ とすると $a, b \geq 0$ 、 $a + b = 1$ である。 $P = (\pm a, 0, 0)$ 、 $Q = (0, b cos φ, b sin φ)$ と書ける。

$φ$ は自由に動くので、立体は $x$ 軸のまわりの回転体である。また $P$ の符号も自由なので $x \to - x$ について対称である。そこで $x \geq 0$ 、 $r = y^{2} + z^{2} \geq 0$ の $(x, r)$ 平面で考える。

線分の族。 $P = (a, 0)$ 、 $Q = (0, b) = (0, 1 - a)$ を結ぶ線分は

\frac{x}{a} + \frac{r}{1 - a} = 1 (0 \leq x \leq a)

である（ $0 < a < 1$ ）。 $a$ を $0$ から $1$ まで動かしたときの線分の和集合を求める。

覆う範囲。 $x, r > 0$ を固定し $φ (a) = \frac{x}{a} + \frac{r}{1 - a}$ （ $0 < a < 1$ ）を考える。 $φ$ は両端で $+ \infty$ に発散し、

φ^{'} (a) = - \frac{x}{a ^{2}} + \frac{r}{( 1 - a ) ^{2}} = 0 ⟺ \frac{a}{1 - a} = \frac{x}{r}

で最小になる。このとき $a = \frac{x}{x + r}$ で、最小値は

φ_{m i n} = x (x + r) + r (x + r) = (x + r)^{2}

である。したがって $φ (a) = 1$ をみたす $a$ が存在することは $φ_{m i n} \leq 1$ 、すなわち

x + r \leq 1

と同値である。境界 $x + r = 1$ はこの線分族の包絡線である。

体積。 $x \geq 0$ の断面は半径 $r (x) = (1 - x)^{2}$ の円で、 $0 \leq x \leq 1$ である。 $x \to - x$ の対称性から

V = 2 \int_{0}^{1} π {(1 - x)^{2}}^{2} d x = 2 π \int_{0}^{1} (1 - x)^{4} d x

である。 $u = x$ （ $x = u^{2}$ 、 $d x = 2 u d u$ ）とおくと

\int_{0}^{1} (1 - x)^{4} d x = \int_{0}^{1} (1 - u)^{4} \cdot 2 u d u

で、さらに $v = 1 - u$ とすると

2 \int_{0}^{1} v^{4} (1 - v) d v = 2 (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{15}

である。よって

V = 2 π \cdot \frac{1}{15} = \frac{2 π}{15}

である（ $0.4189$ ほど）。

x

軸を含む平面での断面。輪郭は

∣ x ∣ + ∣ r ∣ = 1

で、細い線は

a = 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9

に対する線分

PQ

。これらの線分が包絡線としてこの輪郭を作る。立体はこれを

x

軸のまわりに回したもの。

条件をみたす $P, Q$ と $t$ を $20$ 万組ランダムにとって線分上の点を作ると、すべて $∣ x ∣ + r \leq 1$ をみたした。 $∣ x ∣ + r \leq 1$ の体積を $400$ 万点のモンテカルロ法で求めると $0.41824$ で、 $\frac{2 π}{15} = 0.41888$ とよく合う。