第2問空間ベクトルの解答・解説

1次独立・共線条件・係数比較・内分点当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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直線 $QR$ と直線 $PC$ が交点をもつように $R$ を直線 $OD$ 上にとるとき、 $OR : RD$ を求める

答 $OR : RD = 1 : 9$

$OA, OB, OC$ は1次独立なので、これを「座標軸」だと思って係数を比べればよい。 $OR = k OD$ とおき、2直線上の点を媒介変数で書いて一致させると、3本の式から $k$ が決まる。

$O, A, B, C$ は同一平面上にないので、 $a = OA$ 、 $b = OB$ 、 $c = OC$ は1次独立である。条件より

OD = a + 2 b + 3 c, OP = \frac{1}{3} a, OQ = \frac{1}{2} b

である（ $P$ は $OA$ を $1 : 2$ に内分、 $Q$ は $OB$ の中点）。 $R$ は直線 $OD$ 上なので

OR = k OD = k a + 2 k b + 3 k c

とおける。

2直線上の点を書く。 直線 $QR$ 上の点は、実数 $s$ を使って

OQ + s (OR - OQ) = s k a + {\frac{1}{2} + s (2 k - \frac{1}{2})} b + 3 s k c

である。直線 $PC$ 上の点は、実数 $u$ を使って

OP + u (c - OP) = \frac{1 - u}{3} a + 0 \cdot b + u c

である。

係数を比べる。 1次独立だから、交点をもつことは次の3式が同時に成り立つ $s, u, k$ があることと同値である。

⎩ ⎨ ⎧ s k = \frac{1 - u}{3} \frac{1}{2} + s (2 k - \frac{1}{2}) = 0 3 s k = u \dots a \dots b \dots c

$c$ の式を $a$ の式に入れると $s k = \frac{1 - 3 s k}{3}$ 、つまり $3 s k = 1 - 3 s k$ より

s k = \frac{1}{6}, u = \frac{1}{2}

である。 $b$ の式に $s k = \frac{1}{6}$ を入れると

\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{6} - \frac{s}{2} = 0 ⟹ \frac{s}{2} = \frac{5}{6} ⟹ s = \frac{5}{3}

となり、 $k = \frac{1/6}{5/3} = \frac{1}{10}$ である。よって

OR = \frac{1}{10} OD, OR : RD = 1 : 9

である。

交点は $\frac{1}{6} a + \frac{1}{2} c$ にあたる点である。 $b$ の係数が $0$ になっているので、この点は平面 $OAC$ 上にある。

$a, b, c$ を基本ベクトルにとった座標で計算すると、 $s = \frac{5}{3}$ 、 $k = \frac{1}{10}$ のとき直線 $QR$ 上の点は $(\frac{1}{6}, 0, \frac{1}{2})$ 、 $u = \frac{1}{2}$ のとき直線 $PC$ 上の点も $(\frac{1}{6}, 0, \frac{1}{2})$ で一致する。