京都大学　2023年度　前期日程　理系

第1問積分法／整式の解答・解説

部分積分・対数の性質・多項式の割り算・x⁵=1当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

答 $\frac{64}{3} lo g 2 - \frac{56}{9}$

$lo g (x^{2}) = 2 lo g x$ と外に出してから部分積分する。 $x$ の原始関数が $\frac{2}{3} x^{3/2}$ なので、 $lo g x$ を微分する側に回すときれいに片づく。

$1 \leq x \leq 4$ では $x > 0$ なので $lo g (x^{2}) = 2 lo g x$ である。よって

I = \int_{1}^{4} x lo g (x^{2}) d x = 2 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} lo g x d x

である。部分積分すると

\int x^{\frac{1}{2}} lo g x d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} lo g x - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} lo g x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}

である。 $x = 4$ では $x^{3/2} = 8$ 、 $lo g 4 = 2 lo g 2$ なので

[\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} lo g x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} = (\frac{16}{3} \cdot 2 lo g 2 - \frac{32}{9}) - (0 - \frac{4}{9}) = \frac{32}{3} lo g 2 - \frac{28}{9}

である。 $2$ 倍して

I = \frac{64}{3} lo g 2 - \frac{56}{9}

である（ $8.5649$ ほど）。

$\frac{64}{3} lo g 2 = 14.787135$ 、 $\frac{56}{9} = 6.222222$ で、差は $8.564913$ 。 $400$ 万点の数値積分でも $8.564918$ になり一致する。

$lo g (x^{2}) = 2 lo g x$ が使えるのは $x > 0$ のときである。積分区間が $1 \leq x \leq 4$ なので問題ない。

$lo g 4 = 2 lo g 2$ に直してから計算する。 $lo g 4$ のまま残すと答えの形が揃わない。

$x^{3/2}$ の値を $x = 4$ で $8$ 、 $x = 1$ で $1$ と押さえる。 $4^{3/2} = (4^{1/2})^{3} = 2^{3}$ である。

答 $x^{3} - 1$

$x^{5} - 1 = (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$ なので、割る式を法として $x^{5} \equiv 1$ が使える。あとは $2023$ を $5$ で割った余りを見るだけである。

$D (x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ とおく。

x^{5} - 1 = (x - 1) D (x)

なので、 $D (x)$ を法として $x^{5} \equiv 1$ である。 $2023 = 5 \cdot 404 + 3$ だから

x^{2023} = (x^{5})^{404} \cdot x^{3} \equiv 1^{404} \cdot x^{3} = x^{3} (mod D (x))

である。したがって

x^{2023} - 1 \equiv x^{3} - 1 (mod D (x))

で、 $x^{3} - 1$ の次数 $3$ は $D$ の次数 $4$ より小さいから、これがそのまま余りである。

きちんと書くなら、 $x^{2023} - x^{3} = x^{3} (x^{2020} - 1)$ で、 $x^{2020} - 1 = (x^{5})^{404} - 1$ は $x^{5} - 1$ で割り切れ、 $x^{5} - 1$ は $D (x)$ で割り切れる、という形になる。

$x^{2023} - 1$ を $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ で整数係数のまま多項式除算すると、余りの係数は $x^{0}$ から順に $(- 1, 0, 0, 1)$ 、すなわち $x^{3} - 1$ になる。

$D (x)$ は $x^{5} - 1$ の因数であって $x^{5} - 1$ そのものではない。 $x^{5} \equiv 1$ が使えるのは、 $x^{5} - 1$ が $D$ で割り切れるからである。

$2023$ を $5$ で割った余りは $3$ である。 $2023 = 2020 + 3$ と見れば速い。

余りの次数が $3$ 以下であることを確かめる。 $x^{3} - 1$ はそのまま答えになる。

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

合格答案をつくる京大理系数学 2027

京大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・112ページ・2026年8月2日発売

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。