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京都大学　2023年度　前期日程　理系

第6問三角関数・整数の解答・解説

3倍角・4倍角・漸化式・合同式・背理法当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $cos 3 θ$ と $cos 4 θ$ を $cos θ$ の式で表す

答 $cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ 、 $cos 4 θ = 8 cos^{4} θ - 8 cos^{2} θ + 1$

$cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1$ から順に積み上げる。 $cos 4 θ$ は $cos 2 (2 θ)$ と見るのがいちばん速い。

$c = cos θ$ とおく。まず $cos 2 θ = 2 c^{2} - 1$ である。

cos 3 θ = cos (2 θ + θ) = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = (2 c^{2} - 1) c - 2 (1 - c^{2}) c = 4 c^{3} - 3 c

である。 $cos 4 θ$ は $2 θ$ の2倍角と見て

cos 4 θ = 2 cos^{2} 2 θ - 1 = 2 (2 c^{2} - 1)^{2} - 1 = 8 c^{4} - 8 c^{2} + 1

である。

$θ = 6 0^{\circ}$ （ $c = \frac{1}{2}$ ）なら $4 c^{3} - 3 c = - 1 = cos 18 0^{\circ}$ 、 $8 c^{4} - 8 c^{2} + 1 = \frac{1}{2} - 2 + 1 = - \frac{1}{2} = cos 24 0^{\circ}$ で合っている。

$cos 4 θ$ を $cos (3 θ + θ)$ として出すと $sin 3 θ sin θ$ が現れて手間が増える。 $2 θ$ の2倍角と見る。

(2) $cos θ = \frac{1}{p}$ （ $p$ は $3$ 以上の素数）のとき、 $θ = \frac{m}{n} π$ となる正の整数 $m, n$ が存在するか判定する

答存在しない

(1) の形を一般化する。 $cos θ = \frac{1}{p}$ のとき $p^{k} cos k θ$ が整数になり、しかも $p$ で割り切れないことを漸化式で示す。もし $θ = \frac{m}{n} π$ なら $cos 2 n θ = 1$ となり、 $p^{2 n} cos 2 n θ = p^{2 n}$ は $p$ で割り切れるので矛盾する。

$c_{k} = p^{k} cos k θ$ とおく。積和の公式 $cos (k + 1) θ + cos (k - 1) θ = 2 cos θ cos k θ$ から

cos (k + 1) θ = \frac{2}{p} cos k θ - cos (k - 1) θ

で、両辺を $p^{k + 1}$ 倍すると

c_{k + 1} = 2 c_{k} - p^{2} c_{k - 1} (k \geq 1)

となる。 $c_{0} = 1$ 、 $c_{1} = p \cdot \frac{1}{p} = 1$ だから、帰納的に $c_{k}$ はすべて整数である。

実際に書き下すと $c_{2} = 2 - p^{2}$ 、 $c_{3} = 4 - 3 p^{2}$ 、 $c_{4} = 8 - 8 p^{2} + p^{4}$ で、これは (1) の式 $p^{3} (4 c^{3} - 3 c)$ 、 $p^{4} (8 c^{4} - 8 c^{2} + 1)$ に $c = \frac{1}{p}$ を入れたものと一致する。

$p$ で割り切れない。 漸化式を $p$ を法として見ると $c_{k + 1} \equiv 2 c_{k} (mod p)$ なので、 $k \geq 1$ で

c_{k} \equiv 2^{k - 1} c_{1} = 2^{k - 1} (mod p)

である。 $p$ は $3$ 以上の素数だから奇数で、 $p ∤ 2^{k - 1}$ である。したがって

p ∤ c_{k} (k \geq 1)

である。

背理法。 $θ = \frac{m}{n} π$ （ $m, n$ は正の整数）とする。 $2 n θ = 2 mπ$ なので $cos 2 n θ = 1$ 、したがって

c_{2 n} = p^{2 n} cos 2 n θ = p^{2 n}

である。 $2 n \geq 2 \geq 1$ なので上の結果より $p ∤ c_{2 n}$ のはずだが、 $p^{2 n}$ は $p$ で割り切れる。矛盾である。

よって、そのような正の整数 $m, n$ は

存在しない

。

$p = 3, 5, 7, 11, 13$ について $c_{0} = c_{1} = 1$ 、 $c_{k + 1} = 2 c_{k} - p^{2} c_{k - 1}$ で定めた整数は、 $p^{k} cos k θ$ （ $cos θ = \frac{1}{p}$ ）と $k \leq 8$ で小数6桁まで一致した。また $c_{k} mod p$ は $2^{k - 1} mod p$ と完全に一致し、どれも $0$ にならなかった。

$c_{k}$ が整数であることと、 $p$ で割り切れないことの両方が要る。整数であるだけでは矛盾が出ない。

$p$ が奇素数であることは $p ∤ 2^{k - 1}$ のところで効く。 $p = 2$ だと議論が崩れる（実際 $cos θ = \frac{1}{2}$ なら $θ = \frac{π}{3}$ で、 $m, n$ は存在する）。

$θ = \frac{m}{n} π$ から $cos (2 n θ) = 1$ を作る。 $cos (n θ) = \pm 1$ でもよいが、 $2 n$ にしておけば符号を気にしなくてよい。

(1) はこの漸化式の $k = 3, 4$ の場合を具体的に見せる誘導である。 $c_{3} = 4 - 3 p^{2}$ 、 $c_{4} = 8 - 8 p^{2} + p^{4}$ が $p$ で割ると $4, 8$ 余ることを確かめておくと、一般の形が見える。

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(1)cos3θ と cos4θ を cosθ の式で表す

(2)cosθ=p1​（p は 3 以上の素数）のとき、θ=nm​π となる正の整数 m,n が存在するか判定する

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