第4問 微分法の解答・解説

$t=g(x)=e^{-x^2}+\frac{x^2}{4}+1$ とおくと $f(x)=t+\frac{1}{t}$ である。

$t>1$ である。 $e^{-x^2}>0$、$\frac{x^2}{4}\ge 0$ なので $t>1$ である。${\left(t+\frac{1}{t}\right)}^{\prime }=1-\frac{1}{t^2}>0$（$t>1$）だから、$t+\frac{1}{t}$ は $t>1$ で増加する。したがって

である。

$g$ の値域。 $u=x^2$ とおくと $-1\le x\le 1$ は $0\le u\le 1$ に対応し

である。

で、$0\le u\le 1$ では $e^{-u}\ge e^{-1}=0.367\cdots >\frac{1}{4}$ だから $h^{\prime }(u)<0$、つまり $h$ は減少する。よって

である。最大 $2$ は $u=0$、すなわち $x=0$ のとき、最小 $m=\frac{5}{4}+\frac{1}{e}$ は $u=1$、すなわち $x=\pm 1$ のときである。

答え。

である（最小値は $2.2360$ ほど）。