神戸大文系 2025年度数学第2問（数と式・論証）の解答・解説

神戸大学（神戸大文系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・文科系入試の数学第2問（分野：数と式・論証）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解・別解です。本問では「根号を含む式の不等式評価・無理数の整数部分と小数部分・単調性による単射の証明」を扱います。

出題テーマ：根号を含む式の不等式評価・無理数の整数部分と小数部分・単調性による単射の証明当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $n$ を自然数とし、 $a_{n} = n^{2} + 1$ とおくとき、 $a_{n} < n + 1$ が成り立つことを示す

答 $(n + 1)^{2} - a_{n}^{2} = 2 n > 0$ かつ $a_{n} > 0, n + 1 > 0$ より $a_{n} < n + 1$

両辺とも正なので、2乗の差 $(n + 1)^{2} - a_{n}^{2}$ が正であることを示す。

$n$ は自然数であるから $n ≧ 1$ であり、

(n + 1)^{2} - a_{n}^{2} = (n^{2} + 2 n + 1) - (n^{2} + 1) = 2 n > 0

より $a_{n}^{2} < (n + 1)^{2}$ である。 $a_{n} > 0, n + 1 > 0$ であるから、 $a_{n} < n + 1$ が成り立つ。 $■$

$n = 1$ のとき $2 < 2$ 、 $n = 2$ のとき $5 < 3$ 。

(2) $b_{n}$ を $a_{n}$ の小数部分とするとき、 $b_{n}$ を $n$ を用いて表す

答 $b_{n} = n^{2} + 1 - n$

(1) と $n^{2} < n^{2} + 1$ を合わせて $n < a_{n} < n + 1$ を示し、 $a_{n}$ の整数部分が $n$ であることを確定させる。

$n$ は自然数で $n^{2} < n^{2} + 1$ だから $n < n^{2} + 1 = a_{n}$ である。(1) の結果と合わせると

n < a_{n} < n + 1

が成り立つ。 $n$ は整数であるから、 $a_{n}$ を超えない最大の整数（整数部分）は $n$ である。よって $a_{n}$ の小数部分 $b_{n}$ は

b_{n} = a_{n} - n = n^{2} + 1 - n

である。

$n = 1$ のとき $b_{1} = 2 - 1 \approx 0.414$ で確かに $0 ≦ b_{1} < 1$ 。

(3) $m, n$ を異なる2つの自然数とするとき、 $b_{m} \neq = b_{n}$ であることを示す

答分子を有理化すると $b_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1 + n}$ となり、自然数 $n$ に関して狭義単調減少だから $m \neq = n ⟹ b_{m} \neq = b_{n}$

$b_{n} = n^{2} + 1 - n$ の分子を有理化して $b_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1 + n}$ と変形すると、数列 ${b_{n}}$ が単調減少であることが一目でわかる。

(2) より

b_{n} = n^{2} + 1 - n = \frac{( n ^{2} + 1 - n ) ( n ^{2} + 1 + n )}{n ^{2} + 1 + n} = \frac{1}{n ^{2} + 1 + n}

である。異なる2つの自然数 $m, n$ について、対称性より $1 ≦ m < n$ として一般性を失わない。このとき

0 < m^{2} + 1 + m < n^{2} + 1 + n

であるから、逆数をとると

b_{m} = \frac{1}{m ^{2} + 1 + m} > \frac{1}{n ^{2} + 1 + n} = b_{n}

となり、 $b_{m} \neq = b_{n}$ である。 $m > n$ のときも同様に $b_{m} < b_{n}$ となるから、異なる自然数 $m, n$ に対して $b_{m} \neq = b_{n}$ が成り立つ。 $■$

$b_{1} = 2 - 1 \approx 0.414, b_{2} = 5 - 2 \approx 0.236, b_{3} = 10 - 3 \approx 0.162$ と単調に減少している。

▸ 別解：背理法（

b_{m} = b_{n}

と仮定して2乗する）による別解

$b_{m} = b_{n}$ と仮定すると $m^{2} + 1 - m = n^{2} + 1 - n$ すなわち $m^{2} + 1 - n^{2} + 1 = m - n$ となる。このとき逆数をとっても等しいから $m^{2} + 1 + m = n^{2} + 1 + n$ すなわち $m^{2} + 1 - n^{2} + 1 = - (m - n)$ も成り立つ。2式を引くと $2 (m - n) = 0$ より $m = n$ となり、 $m \neq = n$ に矛盾する。