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名古屋大学　2024年度　前期日程　文科系

第1問整式の解答・解説

3次方程式の因数分解・対称式・解と係数の関係当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)方程式 $x^{3} - 3 x^{2} - 50 = 0$ の実数解をすべて求める

答 $x = 5$

整数係数の3次方程式なので、有理数解があるなら定数項 $- 50$ の約数。 $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \dots$ を順に入れて1つ見つけ、因数分解してから残りの2次式の判別式を見る。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 50$ とおく。 $x = 5$ を入れると

f (5) = 125 - 75 - 50 = 0

なので $x - 5$ で割り切れる。実際に割ると

x^{3} - 3 x^{2} - 50 = (x - 5) (x^{2} + 2 x + 10)

である。2次因子の判別式は

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = - 36 < 0

なので、 $x^{2} + 2 x + 10 = 0$ は実数解をもたない。よって実数解は

x = 5

だけである。

$x^{2} + 2 x + 10 = (x + 1)^{2} + 9 > 0$ と平方完成で言ってもよい。

$(x - 5) (x^{2} + 2 x + 10)$ を展開すると $x^{3} + 2 x^{2} + 10 x - 5 x^{2} - 10 x - 50 = x^{3} - 3 x^{2} - 50$ で戻る。

「実数解をすべて」と言われているので、2次因子が実数解をもたないことを判別式か平方完成で示す。

(2)実数 $p, q$ が $p + q = pq$ を満たすとき、 $X = pq$ として $p^{3} + q^{3}$ を $X$ で表す

答 $p^{3} + q^{3} = X^{3} - 3 X^{2}$

$p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)$ という基本対称式での表し方を使う。条件 $p + q = pq = X$ から、両方とも $X$ に置き換わる。

恒等式

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)

を使う。条件 $p + q = pq$ と $X = pq$ から $p + q = X$ でもあるので

p^{3} + q^{3} = X^{3} - 3 X \cdot X = X^{3} - 3 X^{2}

である。

$X = 5$ なら $125 - 75 = 50$ 。(3) の $p^{3} + q^{3} = 50$ と合う。

$p^{3} + q^{3} = (p + q) (p^{2} - pq + q^{2})$ から始めてもよいが、 $(p + q)^{3}$ の展開を使うほうが対称式の形に直しやすい。

(3) $p^{3} + q^{3} = 50$ 、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 、 $p < q$ を満たす $0$ でない実数の組 $(p, q)$ をすべて求める

答 $(p, q) = (\frac{5 - 5}{2}, \frac{5 + 5}{2})$

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{p + q}{pq}$ なので、2つめの条件はちょうど $p + q = pq$ である。これで (2) が使えて、 $X$ の3次方程式が (1) そのものになる。

$p, q$ はどちらも $0$ でないので

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{p + q}{pq} = 1, すなわち p + q = pq

である。 $X = pq$ とおくと (2) より $p^{3} + q^{3} = X^{3} - 3 X^{2}$ なので、条件 $p^{3} + q^{3} = 50$ は

X^{3} - 3 X^{2} - 50 = 0

となる。 $X$ は実数なので、(1) より

X = 5

である。つまり $p + q = 5$ 、 $pq = 5$ で、 $p, q$ は2次方程式

z^{2} - 5 z + 5 = 0

の2解である。判別式は $25 - 20 = 5 > 0$ なので実数解が2つあり

z = \frac{5 \pm 5}{2}

である。どちらも $0$ ではない（積が $5 \neq = 0$ ）。 $p < q$ だから

(p, q) = (\frac{5 - 5}{2}, \frac{5 + 5}{2})

が答えである。

$p = 1.381966011, q = 3.618033989$ で $p + q = pq = 5.000000000$ 、 $p^{3} + q^{3} = 50.000000000$ 、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.000000000$ になった。

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ を通分して $p + q = pq$ に直すところが出発点。ここで (2) の条件とつながる。

$X$ は実数なので (1) の実数解だけを使えばよい。虚数解まで拾わない。

最後に $p < q$ で順序を決める。 $5 \approx 2.236$ なので $p \approx 1.382, q \approx 3.618$ である。

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問題文について

(1)方程式 x3−3x2−50=0 の実数解をすべて求める

(2)実数 p,q が p+q=pq を満たすとき、X=pq として p3+q3 を X で表す

(3)p3+q3=50、p1​+q1​=1、p<q を満たす 0 でない実数の組 (p,q) をすべて求める

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(3) $p^{3} + q^{3} = 50$ 、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 、 $p < q$ を満たす $0$ でない実数の組 $(p, q)$ をすべて求める