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名古屋大学　2024年度　前期日程　文科系

第2問 2次関数の解答・解説

平方完成・解と係数の関係・2点間の距離・2次不等式当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $t \neq = 0$ に対し $y = - x^{2} + t x + t$ のグラフを $C$ とするとき、 $C$ 上で $y$ 座標が最大となる点 $P$ の座標を求める

答 $P (\frac{t}{2}, \frac{t ^{2}}{4} + t)$

$x^{2}$ の係数が $- 1 < 0$ なので上に凸。頂点が最大点なので、平方完成するだけである。

平方完成すると

y = - (x^{2} - t x) + t = - (x - \frac{t}{2})^{2} + \frac{t ^{2}}{4} + t

である。 $x^{2}$ の係数が負なので上に凸で、 $x = \frac{t}{2}$ のとき最大値 $\frac{t ^{2}}{4} + t$ をとる。よって

P (\frac{t}{2}, \frac{t ^{2}}{4} + t)

である。

この $\frac{t ^{2}}{4} + t$ が (3) の $X$ である。先に名前を付けておくと後が楽になる。

$t = - 3$ なら $P (- 1.5, - 0.75)$ で、 $y = - x^{2} - 3 x - 3$ に $x = - 1.5$ を入れると $- 2.25 + 4.5 - 3 = - 0.75$ になる。

(2) $P$ と $O (0, 0)$ を通る直線を $ℓ$ とするとき、 $ℓ$ と $C$ が $P$ 以外の共有点 $Q$ をもつための $t$ の条件と、そのときの $Q$ の座標を求める

答条件は $t \neq = - 4$ 。このとき $Q (- 2, - t - 4)$

$ℓ$ と $C$ の共有点の $x$ 座標は2次方程式の解で、一方が $x = \frac{t}{2}$ だと分かっている。解と係数の関係（積）を使うともう一方が即座に出る。実際に計算すると $t$ によらず $x = - 2$ になる。

$t \neq = 0$ より $P$ の $x$ 座標 $\frac{t}{2}$ は $0$ でないので、 $ℓ$ は $y$ 軸に平行でなく、傾きは

m = \frac{\frac{t ^{2}}{4} + t}{\frac{t}{2}} = \frac{t}{2} + 2 = \frac{t + 4}{2}

である。 $ℓ : y = m x$ と $C : y = - x^{2} + t x + t$ を連立すると

- x^{2} + t x + t = m x, すなわち x^{2} + (m - t) x - t = 0 \dots ①

である。① の2解を $α, β$ とすると、一方は $P$ の $x$ 座標 $\frac{t}{2}$ である。解と係数の関係から

α β = - t

なので、もう一方は

\frac{- t}{\frac{t}{2}} = - 2

である（ $t \neq = 0$ なので割れる）。つまり $ℓ$ と $C$ のもう1つの共有点の $x$ 座標は、 $t$ によらず $- 2$ である。

これが $P$ と異なるのは

- 2 \neq = \frac{t}{2}, すなわち t \neq = - 4

のときである。このとき $y$ 座標は $ℓ$ の式から

y = m \cdot (- 2) = - (t + 4)

なので

Q (- 2, - t - 4)

である。

$C$ は $t$ の値によらず $x = - 2$ では $y = - 4 - 2 t + t = - t - 4$ を通る。 $ℓ$ のほうも $x = - 2$ で $y = - t - 4$ になるので、 $Q$ はいつでも共有点になっている。

$t = 3.5$ で ① を数値で解くと解は $- 2$ と $1.75 = \frac{t}{2}$ の2つで、 $Q = (- 2, - 7.5)$ は $C$ と $ℓ$ の両方にのっていた。

① を解の公式で解くと根号が出て見通しが悪い。「片方の解が分かっている」状況なので、解と係数の関係（積）を使う。

$t = - 4$ では $P$ と $Q$ が一致してしまう（ $ℓ$ が $C$ に接する）。「 $P$ 以外の」という条件がこれを除く。

(3) $t$ が (2) の条件を満たすとし、 $A (- 1, - 2)$ 、 $X = \frac{1}{4} t^{2} + t$ とするとき、 $AP^{2} - AQ^{2}$ を $X$ で表し、 $AP < AQ$ となる $t$ の条件を求める

答 $AP^{2} - AQ^{2} = X^{2} + X$ 。 $AP < AQ$ となるのは $- 4 < t < 0$ かつ $t \neq = - 2$

$P$ の $y$ 座標がちょうど $X$ で、 $\frac{t ^{2}}{4} + t = X$ という関係が $AP^{2}$ の $x$ 成分にもそのまま現れる。 $AQ^{2}$ も $t^{2} + 4 t = 4 X$ で書けるので、両方 $X$ だけの式になる。

t = -3 のときの様子。C は上に凸の放物線で、頂点が P。原点 O と P を通る直線 ℓ は C ともう1点 Q(-2, -t-4) で交わる。A(-1, -2) からの距離は AP < AQ。

$AP^{2}$ 。 (1) より $P (\frac{t}{2}, X)$ である。 $A (- 1, - 2)$ だから

AP^{2} = (\frac{t}{2} + 1)^{2} + (X + 2)^{2}

で、最初の括弧を展開すると

(\frac{t}{2} + 1)^{2} = \frac{t ^{2}}{4} + t + 1 = X + 1

である（ $X = \frac{t ^{2}}{4} + t$ そのもの）。よって

AP^{2} = (X + 1) + (X + 2)^{2} = X^{2} + 5 X + 5

である。

$AQ^{2}$ 。 (2) より $Q (- 2, - t - 4)$ なので

AQ^{2} = (- 2 + 1)^{2} + (- t - 4 + 2)^{2} = 1 + (t + 2)^{2} = t^{2} + 4 t + 5

である。 $t^{2} + 4 t = 4 (\frac{t ^{2}}{4} + t) = 4 X$ だから

AQ^{2} = 4 X + 5

である。したがって

AP^{2} - AQ^{2} = (X^{2} + 5 X + 5) - (4 X + 5) = X^{2} + X

である。

$AP < AQ$ の条件。 $AP, AQ$ はどちらも $0$ 以上なので、 $AP < AQ$ は $AP^{2} < AQ^{2}$ と同値である。すなわち

X^{2} + X < 0 ⟺ X (X + 1) < 0 ⟺ - 1 < X < 0

である。 $X = \frac{t ^{2} + 4 t}{4} = \frac{t ( t + 4 )}{4}$ だから、2つの不等式に分けて

$X < 0$ ： $t (t + 4) < 0$ より $- 4 < t < 0$
$X > - 1$ ： $t^{2} + 4 t > - 4$ より $(t + 2)^{2} > 0$ 、すなわち $t \neq = - 2$

である。この2つを合わせた $- 4 < t < 0$ かつ $t \neq = - 2$ は、 $t \neq = 0$ も $t \neq = - 4$ も満たしているので、(2) の条件と矛盾しない。よって求める条件は

- 4 < t < 0 かつ t \neq = - 2

である。

$t = - 2$ では $X = - 1$ となり $AP = AQ$ （ $AP^{2} - AQ^{2} = 0$ ）である。等号を除く点がこの小問のポイントになっている。

$t = - 3$ では $X = - 0.75$ 、 $AP^{2} = 1.8125$ 、 $AQ^{2} = 2$ で $AP < AQ$ 、 $AP^{2} - AQ^{2} = - 0.1875 = X^{2} + X$ だった。 $t$ を細かく走査しても $AP < AQ$ は $- 4 < t < 0$ 、 $t \neq = - 2$ のときだけだった。

$(\frac{t}{2} + 1)^{2} = X + 1$ に気づくかどうかで式の重さが変わる。 $X$ の定義をそのまま使う。

$(t + 2)^{2} > 0$ は「 $t \neq = - 2$ 」であって「つねに成り立つ」ではない。等号の除外を忘れない。

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問題文について

(1)t=0 に対し y=−x2+tx+t のグラフを C とするとき、C 上で y 座標が最大となる点 P の座標を求める

(2)P と O(0,0) を通る直線を ℓ とするとき、ℓ と C が P 以外の共有点 Q をもつための t の条件と、そのときの Q の座標を求める

(3)t が (2) の条件を満たすとし、A(−1,−2)、X=41​t2+t とするとき、AP2−AQ2 を X で表し、AP<AQ となる t の条件を求める

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