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名古屋大学　2024年度　前期日程　文科系

第3問確率の解答・解説

反復試行・和の言い換え・組合せの数え上げ・偶奇当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)表・裏が確率 $\frac{1}{2}$ ずつのコインを $n$ 回投げ、表なら $+ 2$ 、裏なら $+ 3$ だけ原点から正の向きに石を動かす。 $k$ 回後の位置を $a_{k}$ とするとき、 $n$ 回のうち裏の出る回数を $r$ として $a_{n}$ を求める

答 $a_{n} = 2 n + r$

$n$ 回すべてが表なら $2 n$ 進む。裏が1回あるたびに $3 - 2 = 1$ だけ余分に進む、と考えるのがいちばん速い。

表が $n - r$ 回、裏が $r$ 回出るので

a_{n} = 2 (n - r) + 3 r = 2 n + r

である。

$0 ≦ r ≦ n$ なので $2 n ≦ a_{n} ≦ 3 n$ である。得点が $0$ にならない条件 $a_{n} = 2 n + 2$ は $r = 2$ と同じことで、 $n ≧ 2$ でないと起こらない。

$n ≦ 8$ の全パターンで位置を直接計算し、 $2 n + r$ と一致することを確かめた。

(2) $a_{n} \neq = 2 n + 2$ のとき得点 $0$ 、 $a_{n} = 2 n + 2$ のとき得点 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ とする。 $n = 4$ のとき、得点が $0$ でない確率と得点が $25$ である確率を求める

答得点が $0$ でない確率は $\frac{3}{8}$ 、得点が $25$ である確率は $\frac{1}{8}$

(1) より $a_{n} = 2 n + 2$ は「裏がちょうど2回」と同じ。得点のほうは、 $a_{k} = 2 k + (最初の k 回の裏の数)$ と書いて和を取り替えると、裏が出た回の番号だけで決まる式になる。

得点が $0$ でない確率。 (1) の考え方を $k$ 回目までに使うと、最初の $k$ 回に裏が $c_{k}$ 回あるとして

a_{k} = 2 k + c_{k}

である。得点が $0$ でないのは $a_{4} = 2 \cdot 4 + 2 = 10$ 、つまり $c_{4} = r = 2$ のときで、その確率は

\frac{_{4} C _{2}}{2 ^{4}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

である。

得点の式。 裏が出た回の番号の集合を $T$ とすると

k = 1 \sum 4 a_{k} = k = 1 \sum 4 (2 k + c_{k}) = 2 (1 + 2 + 3 + 4) + k = 1 \sum 4 c_{k} = 20 + k = 1 \sum 4 c_{k}

である。 $k = 1 \sum 4 c_{k}$ は「 $j$ 回目の裏が $c_{k}$ に数えられる回数」を $j$ ごとに足したものだから、 $j$ 回目の裏は $k = j, j + 1, \dots, 4$ の $5 - j$ 個に効いて

k = 1 \sum 4 c_{k} = j \in T \sum (5 - j)

である。 $T = {j_{1}, j_{2}}$ （ $j_{1} < j_{2}$ ）のとき、得点は

20 + (5 - j_{1}) + (5 - j_{2}) = 30 - (j_{1} + j_{2})

となる。

得点 $25$ 。 $30 - (j_{1} + j_{2}) = 25$ より $j_{1} + j_{2} = 5$ で、 $1 ≦ j_{1} < j_{2} ≦ 4$ を満たすのは

(j_{1}, j_{2}) = (1, 4), (2, 3)

の2通りである。よって確率は

\frac{2}{2 ^{4}} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}

である。

$n = 4$ の $16$ 通りを全列挙すると、得点が $0$ でないのは $6$ 通り、得点が $25$ なのは $2$ 通りだった。

得点は「裏が何回出たか」だけでなく「何回目に出たか」で変わる。 $a_{1}$ から $a_{n}$ までの和なので、早く裏が出るほど得点が高い。

$\sum_{k} c_{k}$ を $\sum_{j \in T}$ に取り替える（数える順番を入れ替える）のがこの問題のかなめである。

(3) $n = 9$ のとき、得点が $100$ である確率と得点が奇数である確率を求める

答得点が $100$ である確率は $\frac{1}{128}$ 、得点が奇数である確率は $\frac{5}{128}$

(2) と同じ式変形を $n = 9$ でやる。得点は $110 - (j_{1} + j_{2})$ になるので、 $100$ になるのも奇数になるのも「2つの番号の和」の条件に翻訳できる。

$a_{9} = 2 \cdot 9 + 2 = 20$ 、つまり裏がちょうど2回のときだけ得点が $0$ でない。裏の出た回の番号を $j_{1} < j_{2}$ とすると、(2) と同じ計算で

k = 1 \sum 9 a_{k} = 2 (1 + 2 + \dots + 9) + j \in T \sum (10 - j) = 90 + 20 - (j_{1} + j_{2})

すなわち得点は

110 - (j_{1} + j_{2}) (1 ≦ j_{1} < j_{2} ≦ 9)

である。

得点 $100$ 。 $j_{1} + j_{2} = 10$ となる組は

(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6)

の4通りである（ $(5, 5)$ は $j_{1} < j_{2}$ を満たさない）。よって確率は

\frac{4}{2 ^{9}} = \frac{4}{512} = \frac{1}{128}

である。

得点が奇数。 得点が $0$ のときは偶数なので、奇数になるのは裏がちょうど2回で、かつ $110 - (j_{1} + j_{2})$ が奇数、つまり $j_{1} + j_{2}$ が奇数のときである。これは $j_{1}, j_{2}$ の一方が奇数、他方が偶数ということである。

$1$ から $9$ までの奇数は $1, 3, 5, 7, 9$ の5個、偶数は $2, 4, 6, 8$ の4個なので、そのような組は

5 \times 4 = 20 通り

である。よって確率は

\frac{20}{2 ^{9}} = \frac{20}{512} = \frac{5}{128}

である。

$j_{1} + j_{2}$ は $1 + 2 = 3$ から $8 + 9 = 17$ まで動くので、 $0$ 以外の得点は $93$ から $107$ までのすべての整数をとる。

$n = 9$ の $512$ 通りを全列挙すると、得点 $100$ は $4$ 通り、得点が奇数は $20$ 通りだった。

「得点が奇数」に得点 $0$ の場合を混ぜない。 $0$ は偶数なので、裏がちょうど2回の場合だけを数える。

$j_{1} + j_{2} = 10$ で $(5, 5)$ を数えない。裏が出るのは異なる2回である。

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問題文について

(1)表・裏が確率 21​ ずつのコインを n 回投げ、表なら +2、裏なら +3 だけ原点から正の向きに石を動かす。k 回後の位置を ak​ とするとき、n 回のうち裏の出る回数を r として an​ を求める

(2)an​=2n+2 のとき得点 0、an​=2n+2 のとき得点 a1​+a2​+⋯+an​ とする。n=4 のとき、得点が 0 でない確率と得点が 25 である確率を求める

(3)n=9 のとき、得点が 100 である確率と得点が奇数である確率を求める

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(2) $a_{n} \neq = 2 n + 2$ のとき得点 $0$ 、 $a_{n} = 2 n + 2$ のとき得点 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ とする。 $n = 4$ のとき、得点が $0$ でない確率と得点が $25$ である確率を求める

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