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全3問・無料

名古屋大学　2024年度　前期日程　文科系

名大文系 2024年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　整式

3次方程式の因数分解・対称式・解と係数の関係当サイトの体感難易度：標準

(1)方程式 $x^{3} - 3 x^{2} - 50 = 0$ の実数解をすべて求める

答 $x = 5$

整数係数の3次方程式なので、有理数解があるなら定数項 $- 50$ の約数。 $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \dots$ を順に入れて1つ見つけ、因数分解してから残りの2次式の判別式を見る。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 50$ とおく。 $x = 5$ を入れると

f (5) = 125 - 75 - 50 = 0

なので $x - 5$ で割り切れる。実際に割ると

x^{3} - 3 x^{2} - 50 = (x - 5) (x^{2} + 2 x + 10)

である。2次因子の判別式は

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = - 36 < 0

なので、 $x^{2} + 2 x + 10 = 0$ は実数解をもたない。よって実数解は

x = 5

だけである。

$x^{2} + 2 x + 10 = (x + 1)^{2} + 9 > 0$ と平方完成で言ってもよい。

$(x - 5) (x^{2} + 2 x + 10)$ を展開すると $x^{3} + 2 x^{2} + 10 x - 5 x^{2} - 10 x - 50 = x^{3} - 3 x^{2} - 50$ で戻る。

「実数解をすべて」と言われているので、2次因子が実数解をもたないことを判別式か平方完成で示す。

(2)実数 $p, q$ が $p + q = pq$ を満たすとき、 $X = pq$ として $p^{3} + q^{3}$ を $X$ で表す

答 $p^{3} + q^{3} = X^{3} - 3 X^{2}$

$p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)$ という基本対称式での表し方を使う。条件 $p + q = pq = X$ から、両方とも $X$ に置き換わる。

恒等式

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)

を使う。条件 $p + q = pq$ と $X = pq$ から $p + q = X$ でもあるので

p^{3} + q^{3} = X^{3} - 3 X \cdot X = X^{3} - 3 X^{2}

である。

$X = 5$ なら $125 - 75 = 50$ 。(3) の $p^{3} + q^{3} = 50$ と合う。

$p^{3} + q^{3} = (p + q) (p^{2} - pq + q^{2})$ から始めてもよいが、 $(p + q)^{3}$ の展開を使うほうが対称式の形に直しやすい。

(3) $p^{3} + q^{3} = 50$ 、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 、 $p < q$ を満たす $0$ でない実数の組 $(p, q)$ をすべて求める

答 $(p, q) = (\frac{5 - 5}{2}, \frac{5 + 5}{2})$

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{p + q}{pq}$ なので、2つめの条件はちょうど $p + q = pq$ である。これで (2) が使えて、 $X$ の3次方程式が (1) そのものになる。

$p, q$ はどちらも $0$ でないので

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{p + q}{pq} = 1, すなわち p + q = pq

である。 $X = pq$ とおくと (2) より $p^{3} + q^{3} = X^{3} - 3 X^{2}$ なので、条件 $p^{3} + q^{3} = 50$ は

X^{3} - 3 X^{2} - 50 = 0

となる。 $X$ は実数なので、(1) より

X = 5

である。つまり $p + q = 5$ 、 $pq = 5$ で、 $p, q$ は2次方程式

z^{2} - 5 z + 5 = 0

の2解である。判別式は $25 - 20 = 5 > 0$ なので実数解が2つあり

z = \frac{5 \pm 5}{2}

である。どちらも $0$ ではない（積が $5 \neq = 0$ ）。 $p < q$ だから

(p, q) = (\frac{5 - 5}{2}, \frac{5 + 5}{2})

が答えである。

$p = 1.381966011, q = 3.618033989$ で $p + q = pq = 5.000000000$ 、 $p^{3} + q^{3} = 50.000000000$ 、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.000000000$ になった。

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ を通分して $p + q = pq$ に直すところが出発点。ここで (2) の条件とつながる。

$X$ は実数なので (1) の実数解だけを使えばよい。虚数解まで拾わない。

最後に $p < q$ で順序を決める。 $5 \approx 2.236$ なので $p \approx 1.382, q \approx 3.618$ である。

第1問だけのページ

第2問　2次関数

平方完成・解と係数の関係・2点間の距離・2次不等式当サイトの体感難易度：標準

(1) $t \neq = 0$ に対し $y = - x^{2} + t x + t$ のグラフを $C$ とするとき、 $C$ 上で $y$ 座標が最大となる点 $P$ の座標を求める

答 $P (\frac{t}{2}, \frac{t ^{2}}{4} + t)$

$x^{2}$ の係数が $- 1 < 0$ なので上に凸。頂点が最大点なので、平方完成するだけである。

平方完成すると

y = - (x^{2} - t x) + t = - (x - \frac{t}{2})^{2} + \frac{t ^{2}}{4} + t

である。 $x^{2}$ の係数が負なので上に凸で、 $x = \frac{t}{2}$ のとき最大値 $\frac{t ^{2}}{4} + t$ をとる。よって

P (\frac{t}{2}, \frac{t ^{2}}{4} + t)

である。

この $\frac{t ^{2}}{4} + t$ が (3) の $X$ である。先に名前を付けておくと後が楽になる。

$t = - 3$ なら $P (- 1.5, - 0.75)$ で、 $y = - x^{2} - 3 x - 3$ に $x = - 1.5$ を入れると $- 2.25 + 4.5 - 3 = - 0.75$ になる。

(2) $P$ と $O (0, 0)$ を通る直線を $ℓ$ とするとき、 $ℓ$ と $C$ が $P$ 以外の共有点 $Q$ をもつための $t$ の条件と、そのときの $Q$ の座標を求める

答条件は $t \neq = - 4$ 。このとき $Q (- 2, - t - 4)$

$ℓ$ と $C$ の共有点の $x$ 座標は2次方程式の解で、一方が $x = \frac{t}{2}$ だと分かっている。解と係数の関係（積）を使うともう一方が即座に出る。実際に計算すると $t$ によらず $x = - 2$ になる。

$t \neq = 0$ より $P$ の $x$ 座標 $\frac{t}{2}$ は $0$ でないので、 $ℓ$ は $y$ 軸に平行でなく、傾きは

m = \frac{\frac{t ^{2}}{4} + t}{\frac{t}{2}} = \frac{t}{2} + 2 = \frac{t + 4}{2}

である。 $ℓ : y = m x$ と $C : y = - x^{2} + t x + t$ を連立すると

- x^{2} + t x + t = m x, すなわち x^{2} + (m - t) x - t = 0 \dots ①

である。① の2解を $α, β$ とすると、一方は $P$ の $x$ 座標 $\frac{t}{2}$ である。解と係数の関係から

α β = - t

なので、もう一方は

\frac{- t}{\frac{t}{2}} = - 2

である（ $t \neq = 0$ なので割れる）。つまり $ℓ$ と $C$ のもう1つの共有点の $x$ 座標は、 $t$ によらず $- 2$ である。

これが $P$ と異なるのは

- 2 \neq = \frac{t}{2}, すなわち t \neq = - 4

のときである。このとき $y$ 座標は $ℓ$ の式から

y = m \cdot (- 2) = - (t + 4)

なので

Q (- 2, - t - 4)

である。

$C$ は $t$ の値によらず $x = - 2$ では $y = - 4 - 2 t + t = - t - 4$ を通る。 $ℓ$ のほうも $x = - 2$ で $y = - t - 4$ になるので、 $Q$ はいつでも共有点になっている。

$t = 3.5$ で ① を数値で解くと解は $- 2$ と $1.75 = \frac{t}{2}$ の2つで、 $Q = (- 2, - 7.5)$ は $C$ と $ℓ$ の両方にのっていた。

① を解の公式で解くと根号が出て見通しが悪い。「片方の解が分かっている」状況なので、解と係数の関係（積）を使う。

$t = - 4$ では $P$ と $Q$ が一致してしまう（ $ℓ$ が $C$ に接する）。「 $P$ 以外の」という条件がこれを除く。

(3) $t$ が (2) の条件を満たすとし、 $A (- 1, - 2)$ 、 $X = \frac{1}{4} t^{2} + t$ とするとき、 $AP^{2} - AQ^{2}$ を $X$ で表し、 $AP < AQ$ となる $t$ の条件を求める

答 $AP^{2} - AQ^{2} = X^{2} + X$ 。 $AP < AQ$ となるのは $- 4 < t < 0$ かつ $t \neq = - 2$

$P$ の $y$ 座標がちょうど $X$ で、 $\frac{t ^{2}}{4} + t = X$ という関係が $AP^{2}$ の $x$ 成分にもそのまま現れる。 $AQ^{2}$ も $t^{2} + 4 t = 4 X$ で書けるので、両方 $X$ だけの式になる。

t = -3 のときの様子。C は上に凸の放物線で、頂点が P。原点 O と P を通る直線 ℓ は C ともう1点 Q(-2, -t-4) で交わる。A(-1, -2) からの距離は AP < AQ。

$AP^{2}$ 。 (1) より $P (\frac{t}{2}, X)$ である。 $A (- 1, - 2)$ だから

AP^{2} = (\frac{t}{2} + 1)^{2} + (X + 2)^{2}

で、最初の括弧を展開すると

(\frac{t}{2} + 1)^{2} = \frac{t ^{2}}{4} + t + 1 = X + 1

である（ $X = \frac{t ^{2}}{4} + t$ そのもの）。よって

AP^{2} = (X + 1) + (X + 2)^{2} = X^{2} + 5 X + 5

である。

$AQ^{2}$ 。 (2) より $Q (- 2, - t - 4)$ なので

AQ^{2} = (- 2 + 1)^{2} + (- t - 4 + 2)^{2} = 1 + (t + 2)^{2} = t^{2} + 4 t + 5

である。 $t^{2} + 4 t = 4 (\frac{t ^{2}}{4} + t) = 4 X$ だから

AQ^{2} = 4 X + 5

である。したがって

AP^{2} - AQ^{2} = (X^{2} + 5 X + 5) - (4 X + 5) = X^{2} + X

である。

$AP < AQ$ の条件。 $AP, AQ$ はどちらも $0$ 以上なので、 $AP < AQ$ は $AP^{2} < AQ^{2}$ と同値である。すなわち

X^{2} + X < 0 ⟺ X (X + 1) < 0 ⟺ - 1 < X < 0

である。 $X = \frac{t ^{2} + 4 t}{4} = \frac{t ( t + 4 )}{4}$ だから、2つの不等式に分けて

$X < 0$ ： $t (t + 4) < 0$ より $- 4 < t < 0$
$X > - 1$ ： $t^{2} + 4 t > - 4$ より $(t + 2)^{2} > 0$ 、すなわち $t \neq = - 2$

である。この2つを合わせた $- 4 < t < 0$ かつ $t \neq = - 2$ は、 $t \neq = 0$ も $t \neq = - 4$ も満たしているので、(2) の条件と矛盾しない。よって求める条件は

- 4 < t < 0 かつ t \neq = - 2

である。

$t = - 2$ では $X = - 1$ となり $AP = AQ$ （ $AP^{2} - AQ^{2} = 0$ ）である。等号を除く点がこの小問のポイントになっている。

$t = - 3$ では $X = - 0.75$ 、 $AP^{2} = 1.8125$ 、 $AQ^{2} = 2$ で $AP < AQ$ 、 $AP^{2} - AQ^{2} = - 0.1875 = X^{2} + X$ だった。 $t$ を細かく走査しても $AP < AQ$ は $- 4 < t < 0$ 、 $t \neq = - 2$ のときだけだった。

$(\frac{t}{2} + 1)^{2} = X + 1$ に気づくかどうかで式の重さが変わる。 $X$ の定義をそのまま使う。

$(t + 2)^{2} > 0$ は「 $t \neq = - 2$ 」であって「つねに成り立つ」ではない。等号の除外を忘れない。

第2問だけのページ

第3問　確率

反復試行・和の言い換え・組合せの数え上げ・偶奇当サイトの体感難易度：やや難

(1)表・裏が確率 $\frac{1}{2}$ ずつのコインを $n$ 回投げ、表なら $+ 2$ 、裏なら $+ 3$ だけ原点から正の向きに石を動かす。 $k$ 回後の位置を $a_{k}$ とするとき、 $n$ 回のうち裏の出る回数を $r$ として $a_{n}$ を求める

答 $a_{n} = 2 n + r$

$n$ 回すべてが表なら $2 n$ 進む。裏が1回あるたびに $3 - 2 = 1$ だけ余分に進む、と考えるのがいちばん速い。

表が $n - r$ 回、裏が $r$ 回出るので

a_{n} = 2 (n - r) + 3 r = 2 n + r

である。

$0 ≦ r ≦ n$ なので $2 n ≦ a_{n} ≦ 3 n$ である。得点が $0$ にならない条件 $a_{n} = 2 n + 2$ は $r = 2$ と同じことで、 $n ≧ 2$ でないと起こらない。

$n ≦ 8$ の全パターンで位置を直接計算し、 $2 n + r$ と一致することを確かめた。

(2) $a_{n} \neq = 2 n + 2$ のとき得点 $0$ 、 $a_{n} = 2 n + 2$ のとき得点 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ とする。 $n = 4$ のとき、得点が $0$ でない確率と得点が $25$ である確率を求める

答得点が $0$ でない確率は $\frac{3}{8}$ 、得点が $25$ である確率は $\frac{1}{8}$

(1) より $a_{n} = 2 n + 2$ は「裏がちょうど2回」と同じ。得点のほうは、 $a_{k} = 2 k + (最初の k 回の裏の数)$ と書いて和を取り替えると、裏が出た回の番号だけで決まる式になる。

得点が $0$ でない確率。 (1) の考え方を $k$ 回目までに使うと、最初の $k$ 回に裏が $c_{k}$ 回あるとして

a_{k} = 2 k + c_{k}

である。得点が $0$ でないのは $a_{4} = 2 \cdot 4 + 2 = 10$ 、つまり $c_{4} = r = 2$ のときで、その確率は

\frac{_{4} C _{2}}{2 ^{4}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

である。

得点の式。 裏が出た回の番号の集合を $T$ とすると

k = 1 \sum 4 a_{k} = k = 1 \sum 4 (2 k + c_{k}) = 2 (1 + 2 + 3 + 4) + k = 1 \sum 4 c_{k} = 20 + k = 1 \sum 4 c_{k}

である。 $k = 1 \sum 4 c_{k}$ は「 $j$ 回目の裏が $c_{k}$ に数えられる回数」を $j$ ごとに足したものだから、 $j$ 回目の裏は $k = j, j + 1, \dots, 4$ の $5 - j$ 個に効いて

k = 1 \sum 4 c_{k} = j \in T \sum (5 - j)

である。 $T = {j_{1}, j_{2}}$ （ $j_{1} < j_{2}$ ）のとき、得点は

20 + (5 - j_{1}) + (5 - j_{2}) = 30 - (j_{1} + j_{2})

となる。

得点 $25$ 。 $30 - (j_{1} + j_{2}) = 25$ より $j_{1} + j_{2} = 5$ で、 $1 ≦ j_{1} < j_{2} ≦ 4$ を満たすのは

(j_{1}, j_{2}) = (1, 4), (2, 3)

の2通りである。よって確率は

\frac{2}{2 ^{4}} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}

である。

$n = 4$ の $16$ 通りを全列挙すると、得点が $0$ でないのは $6$ 通り、得点が $25$ なのは $2$ 通りだった。

得点は「裏が何回出たか」だけでなく「何回目に出たか」で変わる。 $a_{1}$ から $a_{n}$ までの和なので、早く裏が出るほど得点が高い。

$\sum_{k} c_{k}$ を $\sum_{j \in T}$ に取り替える（数える順番を入れ替える）のがこの問題のかなめである。

(3) $n = 9$ のとき、得点が $100$ である確率と得点が奇数である確率を求める

答得点が $100$ である確率は $\frac{1}{128}$ 、得点が奇数である確率は $\frac{5}{128}$

(2) と同じ式変形を $n = 9$ でやる。得点は $110 - (j_{1} + j_{2})$ になるので、 $100$ になるのも奇数になるのも「2つの番号の和」の条件に翻訳できる。

$a_{9} = 2 \cdot 9 + 2 = 20$ 、つまり裏がちょうど2回のときだけ得点が $0$ でない。裏の出た回の番号を $j_{1} < j_{2}$ とすると、(2) と同じ計算で

k = 1 \sum 9 a_{k} = 2 (1 + 2 + \dots + 9) + j \in T \sum (10 - j) = 90 + 20 - (j_{1} + j_{2})

すなわち得点は

110 - (j_{1} + j_{2}) (1 ≦ j_{1} < j_{2} ≦ 9)

である。

得点 $100$ 。 $j_{1} + j_{2} = 10$ となる組は

(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6)

の4通りである（ $(5, 5)$ は $j_{1} < j_{2}$ を満たさない）。よって確率は

\frac{4}{2 ^{9}} = \frac{4}{512} = \frac{1}{128}

である。

得点が奇数。 得点が $0$ のときは偶数なので、奇数になるのは裏がちょうど2回で、かつ $110 - (j_{1} + j_{2})$ が奇数、つまり $j_{1} + j_{2}$ が奇数のときである。これは $j_{1}, j_{2}$ の一方が奇数、他方が偶数ということである。

$1$ から $9$ までの奇数は $1, 3, 5, 7, 9$ の5個、偶数は $2, 4, 6, 8$ の4個なので、そのような組は

5 \times 4 = 20 通り

である。よって確率は

\frac{20}{2 ^{9}} = \frac{20}{512} = \frac{5}{128}

である。

$j_{1} + j_{2}$ は $1 + 2 = 3$ から $8 + 9 = 17$ まで動くので、 $0$ 以外の得点は $93$ から $107$ までのすべての整数をとる。

$n = 9$ の $512$ 通りを全列挙すると、得点 $100$ は $4$ 通り、得点が奇数は $20$ 通りだった。

「得点が奇数」に得点 $0$ の場合を混ぜない。 $0$ は偶数なので、裏がちょうど2回の場合だけを数える。

$j_{1} + j_{2} = 10$ で $(5, 5)$ を数えない。裏が出るのは異なる2回である。

第3問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)方程式 x3−3x2−50=0 の実数解をすべて求める

(2)実数 p,q が p+q=pq を満たすとき、X=pq として p3+q3 を X で表す

(3)p3+q3=50、p1​+q1​=1、p<q を満たす 0 でない実数の組 (p,q) をすべて求める

(1)t=0 に対し y=−x2+tx+t のグラフを C とするとき、C 上で y 座標が最大となる点 P の座標を求める

(2)P と O(0,0) を通る直線を ℓ とするとき、ℓ と C が P 以外の共有点 Q をもつための t の条件と、そのときの Q の座標を求める

(3)t が (2) の条件を満たすとし、A(−1,−2)、X=41​t2+t とするとき、AP2−AQ2 を X で表し、AP<AQ となる t の条件を求める

(1)表・裏が確率 21​ ずつのコインを n 回投げ、表なら +2、裏なら +3 だけ原点から正の向きに石を動かす。k 回後の位置を ak​ とするとき、n 回のうち裏の出る回数を r として an​ を求める

(2)an​=2n+2 のとき得点 0、an​=2n+2 のとき得点 a1​+a2​+⋯+an​ とする。n=4 のとき、得点が 0 でない確率と得点が 25 である確率を求める

(3)n=9 のとき、得点が 100 である確率と得点が奇数である確率を求める

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(1)方程式 $x^{3} - 3 x^{2} - 50 = 0$ の実数解をすべて求める

(2)実数 $p, q$ が $p + q = pq$ を満たすとき、 $X = pq$ として $p^{3} + q^{3}$ を $X$ で表す

(3) $p^{3} + q^{3} = 50$ 、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 、 $p < q$ を満たす $0$ でない実数の組 $(p, q)$ をすべて求める

(1) $t \neq = 0$ に対し $y = - x^{2} + t x + t$ のグラフを $C$ とするとき、 $C$ 上で $y$ 座標が最大となる点 $P$ の座標を求める

(2) $P$ と $O (0, 0)$ を通る直線を $ℓ$ とするとき、 $ℓ$ と $C$ が $P$ 以外の共有点 $Q$ をもつための $t$ の条件と、そのときの $Q$ の座標を求める

(3) $t$ が (2) の条件を満たすとし、 $A (- 1, - 2)$ 、 $X = \frac{1}{4} t^{2} + t$ とするとき、 $AP^{2} - AQ^{2}$ を $X$ で表し、 $AP < AQ$ となる $t$ の条件を求める

(1)表・裏が確率 $\frac{1}{2}$ ずつのコインを $n$ 回投げ、表なら $+ 2$ 、裏なら $+ 3$ だけ原点から正の向きに石を動かす。 $k$ 回後の位置を $a_{k}$ とするとき、 $n$ 回のうち裏の出る回数を $r$ として $a_{n}$ を求める

(2) $a_{n} \neq = 2 n + 2$ のとき得点 $0$ 、 $a_{n} = 2 n + 2$ のとき得点 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ とする。 $n = 4$ のとき、得点が $0$ でない確率と得点が $25$ である確率を求める

(3) $n = 9$ のとき、得点が $100$ である確率と得点が奇数である確率を求める