独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問2問・無料

名古屋大学　2022年度　前期日程　文科系

第1問整式の解答・解説

剰余の定理・重解と微分・3次関数の増減・解の個数当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1)整式 $x^{3}$ を2次式 $(x - a)^{2}$ で割ったときの余りを求める

答 $3 a^{2} x - 2 a^{3}$

余りを $p x + q$ とおき、 $x = a$ の代入と、両辺を微分してからの $x = a$ の代入の2本で決める。重解で割るときの定石である。

商を $Q (x)$ 、余りを $p x + q$ とすると

x^{3} = (x - a)^{2} Q (x) + p x + q

である。 $x = a$ を代入すると

a^{3} = p a + q \dots ①

である。次に両辺を $x$ で微分する。右辺の第1項の導関数は

2 (x - a) Q (x) + (x - a)^{2} Q^{'} (x)

で、どちらの項も $x - a$ を因数にもつので $x = a$ で $0$ になる。よって

3 a^{2} = p \dots ②

である。② を ① に入れて

q = a^{3} - 3 a^{3} = - 2 a^{3}

だから、求める余りは

3 a^{2} x - 2 a^{3}

である。

$x = (x - a) + a$ として $x^{3} = {(x - a) + a}^{3}$ を二項展開してもよい。 $(x - a)^{2}$ を含まない項は $3 a^{2} (x - a) + a^{3} = 3 a^{2} x - 2 a^{3}$ で同じになる。商は $x + 2 a$ である。

$x^{3} - (3 a^{2} x - 2 a^{3})$ を $(x - a)^{2}$ で割ると、いつも商が $x + 2 a$ でちょうど割り切れた。

$(x - a)^{2}$ は2次式なので余りは1次以下。 $p x + q$ とおく。

重解で割るときは「代入」だけでは式が1本しか出ない。微分してもう1本作る。

(2)実数係数の2次式 $f (x) = x^{2} + α x + β$ で $x^{3}$ を割ったときの余りが $3 x + b$ であるとき、 $b$ の値に応じてこのような $f (x)$ が何個あるかを求める

答 $∣ b ∣ < 2$ のとき3個、 $∣ b ∣ = 2$ のとき2個、 $∣ b ∣ > 2$ のとき1個

$x^{3}$ を $x^{2} + α x + β$ で割った余りを $α, β$ で表し、 $3 x + b$ と係数比較する。 $β$ を消すと $α$ の3次方程式になる。

実際に割り算をすると

x^{3} = (x^{2} + α x + β) (x - α) + (α^{2} - β) x + α β

である（右辺を展開すると $x^{3} + (β - α^{2}) x - α β + (α^{2} - β) x + α β = x^{3}$ ）。よって余りは $(α^{2} - β) x + α β$ である。

これが $3 x + b$ に等しいので

α^{2} - β = 3 \dots ①, α β = b \dots ②

である。① より $β = α^{2} - 3$ 、これを ② に入れて

α (α^{2} - 3) = b, すなわち α^{3} - 3 α = b

である。 $f$ は $α$ で決まる（ $β = α^{2} - 3$ ）ので、求める個数は $α^{3} - 3 α = b$ の実数解の個数である。

増減。 $g (α) = α^{3} - 3 α$ とおくと

g^{'} (α) = 3 α^{2} - 3 = 3 (α + 1) (α - 1)

なので、 $α = - 1$ で極大値 $g (- 1) = - 1 + 3 = 2$ 、 $α = 1$ で極小値 $g (1) = 1 - 3 = - 2$ をとる。

水平線 $y = b$ との交点の個数を数えると

$b < - 2$ または $b > 2$ ：1個
$b = - 2$ または $b = 2$ ：2個（極値のところで接する）
$- 2 < b < 2$ ：3個

である。

y = α^{3} - 3 α

。極大値

2

（

α = - 1

）と極小値

- 2

（

α = 1

）をもつ。水平線

y = b

との交点の個数がそのまま

f (x)

の個数で、

- 2 < b < 2

で3個、

b = \pm 2

で2個、それ以外で1個になる。

$α^{3} - 3 α - b = 0$ の判別式 $108 - 27 b^{2}$ の符号で数えると、 $b = \pm 2.5, \pm 5$ で1個、 $b = \pm 2$ で2個、 $b = 0, \pm 1, \pm 1.9999$ で3個となり、予想と一致した。

$f$ は $(α, β)$ の組で決まるが、 $β = α^{2} - 3$ と $α$ から定まるので、数えるのは $α$ の個数でよい。

$b = \pm 2$ のときは重解が1つと別の解が1つで2個。3個でも1個でもない。

「余りが $3 x + b$ 」なので $x$ の係数が $3$ に固定される。ここから $β = α^{2} - 3$ が出る。

2022年度の全3問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる名大文系数学 2027

名大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る収録内容を見る¥2,695・110ページ・2026年8月9日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)整式 x3 を2次式 (x−a)2 で割ったときの余りを求める

(2)実数係数の2次式 f(x)=x2+αx+β で x3 を割ったときの余りが 3x+b であるとき、b の値に応じてこのような f(x) が何個あるかを求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1)整式 $x^{3}$ を2次式 $(x - a)^{2}$ で割ったときの余りを求める

(2)実数係数の2次式 $f (x) = x^{2} + α x + β$ で $x^{3}$ を割ったときの余りが $3 x + b$ であるとき、 $b$ の値に応じてこのような $f (x)$ が何個あるかを求める