第2問 確率の解答・解説

$ab+2c\ge abc$ を $ab(1-c)+2c\ge 0$ と書き直す。

$c=1$ のとき。 左辺は $0+2=2\ge 0$ でつねに成り立つ。$(a,b)$ は自由なので $6\times 6=36$ 通り。

$c\ge 2$ のとき。 $c-1>0$ で割って

である。右辺を計算すると

なので、$ab$（整数）の条件はそれぞれ $ab\le 4$、$ab\le 3$、$ab\le 2$、$ab\le 2$、$ab\le 2$ である。

$(a,b)$ を数える。

1. $ab\le 2$：$(1,1),(1,2),(2,1)$ の3通り
2. $ab\le 3$：上に $(1,3),(3,1)$ を加えて5通り
3. $ab\le 4$：さらに $(1,4),(4,1),(2,2)$ を加えて8通り

したがって

で

である（$0.269$ ほど）。

$a,b$ は奇数。 $2abc$ は偶数なので、互いに素であるためには $ab+2c$ が奇数、すなわち $ab$ が奇数、つまり $a$ も $b$ も奇数（$1,3,5$）でなければならない。

このとき $ab+2c$ は奇数なので $2$ とは互いに素であり、条件は

と同じになる。素数 $p$ が両方を割るとすると

1. $p\mid a$ のとき：$p\mid ab+2c$ と $p\mid ab$ から $p\mid 2c$。$p$ は奇数（$a$ が奇数）なので $p\mid c$
2. $p\mid b$ のとき：同様に $p\mid c$
3. $p\mid c$ のとき：$p\mid ab+2c$ と $p\mid 2c$ から $p\mid ab$、よって $p\mid a$ または $p\mid b$

つまり条件は「$a$ と $c$ が互いに素、かつ $b$ と $c$ が互いに素」、まとめると $\gcd (ab,c)=1$ である。

数える。 $a,b\in \{1,3,5\}$、$c\in \{1,\dots ,6\}$ で $\gcd (ab,c)=1$ を数える。

合計すると

で

である（$0.181$ ほど）。

$\gcd (ab,c)=1$ は「$ab$ の素因数（$3$ か $5$ だけ）が $c$ を割らない」ということ。$ab$ が $3$ の倍数なら $c\ne 3,6$、$5$ の倍数なら $c\ne 5$、と読める。