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名古屋大学　2022年度　前期日程　文科系

名大文系 2022年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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第1問　整式

剰余の定理・重解と微分・3次関数の増減・解の個数当サイトの体感難易度：標準

(1)整式 $x^{3}$ を2次式 $(x - a)^{2}$ で割ったときの余りを求める

答 $3 a^{2} x - 2 a^{3}$

余りを $p x + q$ とおき、 $x = a$ の代入と、両辺を微分してからの $x = a$ の代入の2本で決める。重解で割るときの定石である。

商を $Q (x)$ 、余りを $p x + q$ とすると

x^{3} = (x - a)^{2} Q (x) + p x + q

である。 $x = a$ を代入すると

a^{3} = p a + q \dots ①

である。次に両辺を $x$ で微分する。右辺の第1項の導関数は

2 (x - a) Q (x) + (x - a)^{2} Q^{'} (x)

で、どちらの項も $x - a$ を因数にもつので $x = a$ で $0$ になる。よって

3 a^{2} = p \dots ②

である。② を ① に入れて

q = a^{3} - 3 a^{3} = - 2 a^{3}

だから、求める余りは

3 a^{2} x - 2 a^{3}

である。

$x = (x - a) + a$ として $x^{3} = {(x - a) + a}^{3}$ を二項展開してもよい。 $(x - a)^{2}$ を含まない項は $3 a^{2} (x - a) + a^{3} = 3 a^{2} x - 2 a^{3}$ で同じになる。商は $x + 2 a$ である。

$x^{3} - (3 a^{2} x - 2 a^{3})$ を $(x - a)^{2}$ で割ると、いつも商が $x + 2 a$ でちょうど割り切れた。

$(x - a)^{2}$ は2次式なので余りは1次以下。 $p x + q$ とおく。

重解で割るときは「代入」だけでは式が1本しか出ない。微分してもう1本作る。

(2)実数係数の2次式 $f (x) = x^{2} + α x + β$ で $x^{3}$ を割ったときの余りが $3 x + b$ であるとき、 $b$ の値に応じてこのような $f (x)$ が何個あるかを求める

答 $∣ b ∣ < 2$ のとき3個、 $∣ b ∣ = 2$ のとき2個、 $∣ b ∣ > 2$ のとき1個

$x^{3}$ を $x^{2} + α x + β$ で割った余りを $α, β$ で表し、 $3 x + b$ と係数比較する。 $β$ を消すと $α$ の3次方程式になる。

実際に割り算をすると

x^{3} = (x^{2} + α x + β) (x - α) + (α^{2} - β) x + α β

である（右辺を展開すると $x^{3} + (β - α^{2}) x - α β + (α^{2} - β) x + α β = x^{3}$ ）。よって余りは $(α^{2} - β) x + α β$ である。

これが $3 x + b$ に等しいので

α^{2} - β = 3 \dots ①, α β = b \dots ②

である。① より $β = α^{2} - 3$ 、これを ② に入れて

α (α^{2} - 3) = b, すなわち α^{3} - 3 α = b

である。 $f$ は $α$ で決まる（ $β = α^{2} - 3$ ）ので、求める個数は $α^{3} - 3 α = b$ の実数解の個数である。

増減。 $g (α) = α^{3} - 3 α$ とおくと

g^{'} (α) = 3 α^{2} - 3 = 3 (α + 1) (α - 1)

なので、 $α = - 1$ で極大値 $g (- 1) = - 1 + 3 = 2$ 、 $α = 1$ で極小値 $g (1) = 1 - 3 = - 2$ をとる。

水平線 $y = b$ との交点の個数を数えると

$b < - 2$ または $b > 2$ ：1個
$b = - 2$ または $b = 2$ ：2個（極値のところで接する）
$- 2 < b < 2$ ：3個

である。

y = α^{3} - 3 α

。極大値

2

（

α = - 1

）と極小値

- 2

（

α = 1

）をもつ。水平線

y = b

との交点の個数がそのまま

f (x)

の個数で、

- 2 < b < 2

で3個、

b = \pm 2

で2個、それ以外で1個になる。

$α^{3} - 3 α - b = 0$ の判別式 $108 - 27 b^{2}$ の符号で数えると、 $b = \pm 2.5, \pm 5$ で1個、 $b = \pm 2$ で2個、 $b = 0, \pm 1, \pm 1.9999$ で3個となり、予想と一致した。

$f$ は $(α, β)$ の組で決まるが、 $β = α^{2} - 3$ と $α$ から定まるので、数えるのは $α$ の個数でよい。

$b = \pm 2$ のときは重解が1つと別の解が1つで2個。3個でも1個でもない。

「余りが $3 x + b$ 」なので $x$ の係数が $3$ に固定される。ここから $β = α^{2} - 3$ が出る。

第1問だけのページ

第2問　確率

不等式の場合分け・積の大小・互いに素・数え上げ当サイトの体感難易度：やや難

(1) $ab + 2 c \geq ab c$ となる確率を求める

答 $\frac{29}{108}$

$c$ で場合を分ける。 $c = 1$ なら恒等的に成り立ち、 $c \geq 2$ なら $ab \leq \frac{2 c}{c - 1}$ という $ab$ の上限になる。

$ab + 2 c \geq ab c$ を $ab (1 - c) + 2 c \geq 0$ と書き直す。

$c = 1$ のとき。 左辺は $0 + 2 = 2 \geq 0$ でつねに成り立つ。 $(a, b)$ は自由なので $6 \times 6 = 36$ 通り。

$c \geq 2$ のとき。 $c - 1 > 0$ で割って

ab \leq \frac{2 c}{c - 1}

である。右辺を計算すると

c = 2 : 4, c = 3 : 3, c = 4 : \frac{8}{3}, c = 5 : \frac{5}{2}, c = 6 : \frac{12}{5}

なので、 $ab$ （整数）の条件はそれぞれ $ab \leq 4$ 、 $ab \leq 3$ 、 $ab \leq 2$ 、 $ab \leq 2$ 、 $ab \leq 2$ である。

$(a, b)$ を数える。

$ab \leq 2$ ： $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$ の3通り
$ab \leq 3$ ：上に $(1, 3), (3, 1)$ を加えて5通り
$ab \leq 4$ ：さらに $(1, 4), (4, 1), (2, 2)$ を加えて8通り

したがって

36 + 8 + 5 + 3 + 3 + 3 = 58 通り

で

P = \frac{58}{216} = \frac{29}{108}

である（ $0.269$ ほど）。

$216$ 通りを全列挙すると $58$ 通りで、 $\frac{58}{216} = \frac{29}{108}$ だった。

$c = 1$ を別扱いにする。 $c - 1 = 0$ で割れないし、このとき全部成り立つ。

$\frac{2 c}{c - 1}$ は $c$ が大きいほど小さくなり、 $c \geq 4$ では $3$ を下回る。 $ab \leq 2$ に落ち着く。

$ab \leq 4$ に $(1, 4), (4, 1), (2, 2)$ を数え落とさない。 $(2, 2)$ を忘れやすい。

(2) $ab + 2 c$ と $2 ab c$ が互いに素となる確率を求める

答 $\frac{13}{72}$

$2 ab c$ は偶数なので、まず $ab + 2 c$ が奇数、つまり $ab$ が奇数（ $a, b$ がともに奇数）でなければならない。あとは $ab + 2 c$ と $a$ 、 $b$ 、 $c$ それぞれの共通因数を見る。

$a, b$ は奇数。 $2 ab c$ は偶数なので、互いに素であるためには $ab + 2 c$ が奇数、すなわち $ab$ が奇数、つまり $a$ も $b$ も奇数（ $1, 3, 5$ ）でなければならない。

このとき $ab + 2 c$ は奇数なので $2$ とは互いに素であり、条件は

g cd (ab + 2 c, ab c) = 1

と同じになる。素数 $p$ が両方を割るとすると

$p ∣ a$ のとき： $p ∣ ab + 2 c$ と $p ∣ ab$ から $p ∣ 2 c$ 。 $p$ は奇数（ $a$ が奇数）なので $p ∣ c$
$p ∣ b$ のとき：同様に $p ∣ c$
$p ∣ c$ のとき： $p ∣ ab + 2 c$ と $p ∣ 2 c$ から $p ∣ ab$ 、よって $p ∣ a$ または $p ∣ b$

つまり条件は「 $a$ と $c$ が互いに素、かつ $b$ と $c$ が互いに素」、まとめると $g cd (ab, c) = 1$ である。

数える。 $a, b \in {1, 3, 5}$ 、 $c \in {1, \dots, 6}$ で $g cd (ab, c) = 1$ を数える。

(a, b) (1, 1) (1, 3), (3, 1) (1, 5), (5, 1) (3, 3) (3, 5), (5, 3) (5, 5) ab 13591525 g cd (ab, c) = 1 となる c 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6) 1, 2, 4, 5 (4) 1, 2, 3, 4, 6 (5) 1, 2, 4, 5 (4) 1, 2, 4 (3) 1, 2, 3, 4, 6 (5)

合計すると

6 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 4 + 2 \cdot 3 + 5 = 6 + 8 + 10 + 4 + 6 + 5 = 39 通り

で

P = \frac{39}{216} = \frac{13}{72}

である（ $0.181$ ほど）。

$g cd (ab, c) = 1$ は「 $ab$ の素因数（ $3$ か $5$ だけ）が $c$ を割らない」ということ。 $ab$ が $3$ の倍数なら $c \neq = 3, 6$ 、 $5$ の倍数なら $c \neq = 5$ 、と読める。

$216$ 通りを全列挙して $g cd (ab + 2 c, 2 ab c) = 1$ を直接判定すると $39$ 通りで、 $\frac{39}{216} = \frac{13}{72}$ だった。

$2 ab c$ の $2$ が効いて、まず $ab$ が奇数に絞られる。ここを落とすと数が合わない。

$ab + 2 c$ と $ab c$ の共通素因数は $a, b, c$ のどれかを割る。 $p ∣ c$ と $p ∣ ab$ が同値になることを押さえる。

$a, b$ が奇数なので、 $p ∣ a$ なら $p$ は奇数。 $p ∣ 2 c$ から $p ∣ c$ が言える。

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第3問　2次関数・積分法

2次方程式の判別式・1/6公式・解の差・2次関数の最大当サイトの体感難易度：標準

(1) $a, b$ を実数とし、 $C_{1} : y = \frac{1}{2} x^{2}$ 、 $C_{2} : y = - (x - a)^{2} + b$ とするとき、 $C_{1}$ と $C_{2}$ が異なる2点で交わるための $a, b$ の条件を求める

答 $b > \frac{a ^{2}}{3}$

2式を連立して $x$ の2次方程式にし、判別式が正であればよい。 $x^{2}$ の係数がそろわないので、係数を整数にしてから判別式を取ると計算が軽い。

$y$ を消去すると

\frac{1}{2} x^{2} = - (x - a)^{2} + b

で、整理して両辺を2倍すると

3 x^{2} - 4 a x + 2 (a^{2} - b) = 0 \dots ①

となる。 $x$ が決まれば交点は1つに決まるので、異なる2点で交わるのは ① が異なる2つの実数解をもつときである。判別式を4で割ったものは

\frac{D}{4} = (2 a)^{2} - 3 \cdot 2 (a^{2} - b) = 4 a^{2} - 6 a^{2} + 6 b = - 2 a^{2} + 6 b

なので、条件は $- 2 a^{2} + 6 b > 0$ 、すなわち

b > \frac{a ^{2}}{3}

である。

$(a, b) = (3, 2)$ では $- 2 \cdot 9 + 12 = - 6 < 0$ で交点がなく、 $(a, b) = (2, 3)$ では $- 8 + 18 = 10 > 0$ で交点が2つあった。

$\frac{1}{2} x^{2}$ のまま判別式を取ると分数が残る。両辺を2倍して整数係数にしてから進める。

(2) $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれた図形の面積を $S$ とするとき、 $S = 16$ となるための $a, b$ の条件を求める

答 $3 b - a^{2} = 18$ （すなわち $b = \frac{a ^{2}}{3} + 6$ ）

$S$ は2曲線の差の積分で、差は $x^{2}$ の係数が $- \frac{3}{2}$ の2次式になる。いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式 $\int_{α}^{β} ∣ k (x - α) (x - β) ∣ d x = \frac{∣ k ∣}{6} (β - α)^{3}$ を使えば、解の差だけ分かればよい。

① の2解を $α < β$ とする。 $α ≦ x ≦ β$ では $C_{2}$ が上なので

S = \int_{α}^{β} {(- (x - a)^{2} + b) - \frac{1}{2} x^{2}} d x

である。被積分関数は ① の左辺の $- \frac{1}{2}$ 倍なので

(- (x - a)^{2} + b) - \frac{1}{2} x^{2} = - \frac{3}{2} (x - α) (x - β)

と書ける。 $\frac{1}{6}$ 公式から

S = \frac{3}{2} \cdot \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{( β - α ) ^{3}}{4}

である。解と係数の関係から $α + β = \frac{4 a}{3}$ 、 $α β = \frac{2 ( a ^{2} - b )}{3}$ なので

(β - α)^{2} = \frac{16 a ^{2}}{9} - \frac{8 ( a ^{2} - b )}{3} = \frac{16 a ^{2} - 24 a ^{2} + 24 b}{9} = \frac{8 ( 3 b - a ^{2} )}{9}

である。 $u = 3 b - a^{2}$ とおくと (1) の条件は $u > 0$ で

β - α = \frac{2 2}{3} u, (β - α)^{3} = \frac{16 2}{27} u^{\frac{3}{2}}

だから

S = \frac{4 2}{27} (3 b - a^{2})^{\frac{3}{2}} \dots ②

である。 $S = 16$ とすると

u^{\frac{3}{2}} = 16 \cdot \frac{27}{4 2} = \frac{108}{2} = 542

で、両辺を2乗して

u^{3} = (542)^{2} = 2916 \cdot 2 = 5832 = 1 8^{3}

である。 $u > 0$ より $u = 18$ 、すなわち

3 b - a^{2} = 18 (b = \frac{a ^{2}}{3} + 6)

が条件である（このとき $b = \frac{a ^{2}}{3} + 6 > \frac{a ^{2}}{3}$ なので (1) の条件も満たしている）。

$3 b - a^{2} = 18$ となる $(a, b) = (0, 6), (1, \frac{19}{3}), (- 2.5, \frac{97}{12}), (3, 9)$ のどれでも、数値積分した面積がちょうど $16.0000000000$ になった。

$\frac{1}{6}$ 公式の $k$ は $x^{2}$ の係数の絶対値。ここでは $\frac{3}{2}$ であって $1$ でも $\frac{1}{2}$ でもない。

$u^{3} = 5832$ から $u = 18$ を出すには $1 8^{3} = 5832$ に気づく。 $5832 = 8 \cdot 729 = 2^{3} \cdot 3^{6}$ と素因数分解すれば $u = 2 \cdot 3^{2} = 18$ と分かる。

(3) $a, b$ が $b ≦ a + 3$ を満たすとき、 $S$ の最大値を求める

答 $\frac{5 10}{2}$ （ $a = \frac{3}{2}, b = \frac{9}{2}$ のとき）

② より $S$ は $u = 3 b - a^{2}$ の増加関数なので、 $u$ を最大にすればよい。 $b ≦ a + 3$ を使うと $u$ は $a$ の2次式で上から押さえられ、平方完成で終わる。

S が最大になる a = 3/2, b = 9/2 のとき。C1 は下に凸、C2 は上に凸で、網かけが囲む部分。交点の x 座標は 1 ± √10/2。

$u = 3 b - a^{2}$ とおく。② より

S = \frac{4 2}{27} u^{\frac{3}{2}}

で、これは $u > 0$ の範囲で $u$ について増加する。よって $u$ の最大を求めればよい。

$b ≦ a + 3$ より $3 b ≦ 3 a + 9$ だから

u = 3 b - a^{2} ≦ 3 a + 9 - a^{2} = - (a - \frac{3}{2})^{2} + \frac{45}{4}

である。右辺は $a = \frac{3}{2}$ のとき最大値 $\frac{45}{4}$ をとり、そのとき等号が成り立つのは $b = a + 3 = \frac{9}{2}$ のときである。この $(a, b)$ は $u = \frac{45}{4} > 0$ なので (1) の条件も満たす。

よって $u$ の最大値は $\frac{45}{4}$ で、そのときの $S$ は

S = \frac{4 2}{27} (\frac{45}{4})^{\frac{3}{2}} = \frac{4 2}{27} \cdot \frac{45 45}{8} = \frac{4 2}{27} \cdot \frac{135 5}{8}

である（ $45 = 35$ より $4545 = 1355$ ）。整理すると

S = \frac{540 10}{216} = \frac{5 10}{2}

である。数値では $7.9057 \dots$ である。

$b = a + 3$ の上で $a$ を $1 0^{- 5}$ 刻みに動かすと、 $S$ の最大は $a = 1.50000$ での $7.905694150$ で、 $\frac{5 10}{2} = 7.905694150$ と一致した。 $(a, b) = (1.5, 4.5)$ で数値積分しても同じ値になった。

$S$ を $a, b$ の2変数で直接扱わない。 $u = 3 b - a^{2}$ ひとつにまとめてしまえば1変数の最大問題になる。

$b ≦ a + 3$ は不等式なので、 $u$ を最大にするには $b$ を上限 $a + 3$ まで上げる。そのうえで $a$ を動かす。

$(\frac{45}{4})^{3/2} = \frac{4 5 ^{3/2}}{8}$ 。分母の $4$ も $\frac{3}{2}$ 乗する。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)整式 x3 を2次式 (x−a)2 で割ったときの余りを求める

(2)実数係数の2次式 f(x)=x2+αx+β で x3 を割ったときの余りが 3x+b であるとき、b の値に応じてこのような f(x) が何個あるかを求める

(1)ab+2c≥abc となる確率を求める

(2)ab+2c と 2abc が互いに素となる確率を求める

(1)a,b を実数とし、C1​:y=21​x2、C2​:y=−(x−a)2+b とするとき、C1​ と C2​ が異なる2点で交わるための a,b の条件を求める

(2)C1​ と C2​ で囲まれた図形の面積を S とするとき、S=16 となるための a,b の条件を求める

(3)a,b が b≦a+3 を満たすとき、S の最大値を求める

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(1) $a, b$ を実数とし、 $C_{1} : y = \frac{1}{2} x^{2}$ 、 $C_{2} : y = - (x - a)^{2} + b$ とするとき、 $C_{1}$ と $C_{2}$ が異なる2点で交わるための $a, b$ の条件を求める

(2) $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれた図形の面積を $S$ とするとき、 $S = 16$ となるための $a, b$ の条件を求める

(3) $a, b$ が $b ≦ a + 3$ を満たすとき、 $S$ の最大値を求める