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名古屋大学　2022年度　前期日程　文科系

第3問 2次関数・積分法の解答・解説

2次方程式の判別式・1/6公式・解の差・2次関数の最大当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $a, b$ を実数とし、 $C_{1} : y = \frac{1}{2} x^{2}$ 、 $C_{2} : y = - (x - a)^{2} + b$ とするとき、 $C_{1}$ と $C_{2}$ が異なる2点で交わるための $a, b$ の条件を求める

答 $b > \frac{a ^{2}}{3}$

2式を連立して $x$ の2次方程式にし、判別式が正であればよい。 $x^{2}$ の係数がそろわないので、係数を整数にしてから判別式を取ると計算が軽い。

$y$ を消去すると

\frac{1}{2} x^{2} = - (x - a)^{2} + b

で、整理して両辺を2倍すると

3 x^{2} - 4 a x + 2 (a^{2} - b) = 0 \dots ①

となる。 $x$ が決まれば交点は1つに決まるので、異なる2点で交わるのは ① が異なる2つの実数解をもつときである。判別式を4で割ったものは

\frac{D}{4} = (2 a)^{2} - 3 \cdot 2 (a^{2} - b) = 4 a^{2} - 6 a^{2} + 6 b = - 2 a^{2} + 6 b

なので、条件は $- 2 a^{2} + 6 b > 0$ 、すなわち

b > \frac{a ^{2}}{3}

である。

$(a, b) = (3, 2)$ では $- 2 \cdot 9 + 12 = - 6 < 0$ で交点がなく、 $(a, b) = (2, 3)$ では $- 8 + 18 = 10 > 0$ で交点が2つあった。

$\frac{1}{2} x^{2}$ のまま判別式を取ると分数が残る。両辺を2倍して整数係数にしてから進める。

(2) $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれた図形の面積を $S$ とするとき、 $S = 16$ となるための $a, b$ の条件を求める

答 $3 b - a^{2} = 18$ （すなわち $b = \frac{a ^{2}}{3} + 6$ ）

$S$ は2曲線の差の積分で、差は $x^{2}$ の係数が $- \frac{3}{2}$ の2次式になる。いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式 $\int_{α}^{β} ∣ k (x - α) (x - β) ∣ d x = \frac{∣ k ∣}{6} (β - α)^{3}$ を使えば、解の差だけ分かればよい。

① の2解を $α < β$ とする。 $α ≦ x ≦ β$ では $C_{2}$ が上なので

S = \int_{α}^{β} {(- (x - a)^{2} + b) - \frac{1}{2} x^{2}} d x

である。被積分関数は ① の左辺の $- \frac{1}{2}$ 倍なので

(- (x - a)^{2} + b) - \frac{1}{2} x^{2} = - \frac{3}{2} (x - α) (x - β)

と書ける。 $\frac{1}{6}$ 公式から

S = \frac{3}{2} \cdot \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{( β - α ) ^{3}}{4}

である。解と係数の関係から $α + β = \frac{4 a}{3}$ 、 $α β = \frac{2 ( a ^{2} - b )}{3}$ なので

(β - α)^{2} = \frac{16 a ^{2}}{9} - \frac{8 ( a ^{2} - b )}{3} = \frac{16 a ^{2} - 24 a ^{2} + 24 b}{9} = \frac{8 ( 3 b - a ^{2} )}{9}

である。 $u = 3 b - a^{2}$ とおくと (1) の条件は $u > 0$ で

β - α = \frac{2 2}{3} u, (β - α)^{3} = \frac{16 2}{27} u^{\frac{3}{2}}

だから

S = \frac{4 2}{27} (3 b - a^{2})^{\frac{3}{2}} \dots ②

である。 $S = 16$ とすると

u^{\frac{3}{2}} = 16 \cdot \frac{27}{4 2} = \frac{108}{2} = 542

で、両辺を2乗して

u^{3} = (542)^{2} = 2916 \cdot 2 = 5832 = 1 8^{3}

である。 $u > 0$ より $u = 18$ 、すなわち

3 b - a^{2} = 18 (b = \frac{a ^{2}}{3} + 6)

が条件である（このとき $b = \frac{a ^{2}}{3} + 6 > \frac{a ^{2}}{3}$ なので (1) の条件も満たしている）。

$3 b - a^{2} = 18$ となる $(a, b) = (0, 6), (1, \frac{19}{3}), (- 2.5, \frac{97}{12}), (3, 9)$ のどれでも、数値積分した面積がちょうど $16.0000000000$ になった。

$\frac{1}{6}$ 公式の $k$ は $x^{2}$ の係数の絶対値。ここでは $\frac{3}{2}$ であって $1$ でも $\frac{1}{2}$ でもない。

$u^{3} = 5832$ から $u = 18$ を出すには $1 8^{3} = 5832$ に気づく。 $5832 = 8 \cdot 729 = 2^{3} \cdot 3^{6}$ と素因数分解すれば $u = 2 \cdot 3^{2} = 18$ と分かる。

(3) $a, b$ が $b ≦ a + 3$ を満たすとき、 $S$ の最大値を求める

答 $\frac{5 10}{2}$ （ $a = \frac{3}{2}, b = \frac{9}{2}$ のとき）

② より $S$ は $u = 3 b - a^{2}$ の増加関数なので、 $u$ を最大にすればよい。 $b ≦ a + 3$ を使うと $u$ は $a$ の2次式で上から押さえられ、平方完成で終わる。

S が最大になる a = 3/2, b = 9/2 のとき。C1 は下に凸、C2 は上に凸で、網かけが囲む部分。交点の x 座標は 1 ± √10/2。

$u = 3 b - a^{2}$ とおく。② より

S = \frac{4 2}{27} u^{\frac{3}{2}}

で、これは $u > 0$ の範囲で $u$ について増加する。よって $u$ の最大を求めればよい。

$b ≦ a + 3$ より $3 b ≦ 3 a + 9$ だから

u = 3 b - a^{2} ≦ 3 a + 9 - a^{2} = - (a - \frac{3}{2})^{2} + \frac{45}{4}

である。右辺は $a = \frac{3}{2}$ のとき最大値 $\frac{45}{4}$ をとり、そのとき等号が成り立つのは $b = a + 3 = \frac{9}{2}$ のときである。この $(a, b)$ は $u = \frac{45}{4} > 0$ なので (1) の条件も満たす。

よって $u$ の最大値は $\frac{45}{4}$ で、そのときの $S$ は

S = \frac{4 2}{27} (\frac{45}{4})^{\frac{3}{2}} = \frac{4 2}{27} \cdot \frac{45 45}{8} = \frac{4 2}{27} \cdot \frac{135 5}{8}

である（ $45 = 35$ より $4545 = 1355$ ）。整理すると

S = \frac{540 10}{216} = \frac{5 10}{2}

である。数値では $7.9057 \dots$ である。

$b = a + 3$ の上で $a$ を $1 0^{- 5}$ 刻みに動かすと、 $S$ の最大は $a = 1.50000$ での $7.905694150$ で、 $\frac{5 10}{2} = 7.905694150$ と一致した。 $(a, b) = (1.5, 4.5)$ で数値積分しても同じ値になった。