第1問 微分法の解答・解説

まず差を整理すると

である。これを $h(x)$ とおく。$x=-1$ を代入すると

なので、$h(x)$ は $x+1$ で割り切れる。実際に割ると

である。2次因子は、和が $a+2$、積が $2a$ になる2数が $2$ と $a$ なので

と分解できる。よって

である。

$a$ について整理して $x^3-x^2-2x-a\left(x^2-x-2\right)=\left(x^2-x-2\right)\left(x-a\right)$ と見てもよい。$x^2-x-2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)$ である。

共有点の $x$ 座標は $f(x)-g(x)=0$、すなわち

の解である。解は $x=-1,2,a$ で、$x$ が決まれば共有点は1つに決まるから、共有点の個数は相異なる解の個数である。

$-1\ne 2$ なので、相異なる解が2個になるのは $a$ が $-1$ か $2$ に一致するとき、つまり

のときである（それ以外の $a$ では3個）。

$a=-1$ の場合。 $f(x)=x^3-x^2-3x-1$ で

である。$f^{\prime }(x)=0$ の解は $x=\frac{1\pm \sqrt{10}}{3}$ で、極大を与えるのは小さいほう $x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}=-0.7208\cdots$ である。このとき

なので条件を満たさない。（$f(-1)=-1-1+3-1=0$ と $f(0)=-1$ から、極大値が $0$ と $1$ のあいだの小さな値になることは、値を出さなくても $f(-1)=0$、$f(0)=-1$ と増減表から見当がつく。）

$a=2$ の場合。 $f(x)=x^3-4x^2+0\cdot x+5=x^3-4x^2+5$ で

である。$f^{\prime }(x)=0$ の解は $x=0,\frac{8}{3}$ で、$x<0$ で $f^{\prime }>0$、$0<x<\frac{8}{3}$ で $f^{\prime }<0$、$x>\frac{8}{3}$ で $f^{\prime }>0$ だから

1. $x=0$ で極大、極大値 $f(0)=5$
2. $x=\frac{8}{3}$ で極小、極小値 $f\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{512}{27}-\frac{256}{9}+5=-\frac{121}{27}$

である。極大値 $5>1$ なので条件を満たす。よって

である。

2つのグラフの位置関係。 このとき (1) より

である。${\left(x-2\right)}^2\geqq 0$ なので、$x<-1$ では $f<g$、$x>-1$ では $f\geqq g$（等号は $x=2$）。つまり $x=-1$ で交わって上下が入れ替わり、$x=2$ では接する（重解なので交わらずに触れる）。交点は

である。$y=g(x)=-x^2+1$ は上に凸で頂点 $(0,1)$ の放物線である。以上をまとめると次の図になる。