独自の解答・詳解
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全3問・無料

名古屋大学　2023年度　前期日程　文科系

名大文系 2023年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分法

因数分解・共有点の個数・3次関数の極値・グラフの図示当サイトの体感難易度：標準

(1) $a$ を実数、 $f (x) = x^{3} - (a + 2) x^{2} + (a - 2) x + 2 a + 1$ 、 $g (x) = - x^{2} + 1$ とするとき、 $f (x) - g (x)$ を因数分解する

答 $f (x) - g (x) = (x + 1) (x - 2) (x - a)$

$a$ が文字のまま入っているので、 $a$ を含まない因数を探す。 $x = - 1$ を入れると $a$ の項が打ち消し合って $0$ になるので、 $x + 1$ が因数である。あとは割って2次式を因数分解する。

まず差を整理すると

f (x) - g (x) = x^{3} - (a + 2) x^{2} + (a - 2) x + 2 a + 1 + x^{2} - 1 = x^{3} - (a + 1) x^{2} + (a - 2) x + 2 a

である。これを $h (x)$ とおく。 $x = - 1$ を代入すると

h (- 1) = - 1 - (a + 1) - (a - 2) + 2 a = - 1 - a - 1 - a + 2 + 2 a = 0

なので、 $h (x)$ は $x + 1$ で割り切れる。実際に割ると

h (x) = (x + 1) (x^{2} - (a + 2) x + 2 a)

である。2次因子は、和が $a + 2$ 、積が $2 a$ になる2数が $2$ と $a$ なので

x^{2} - (a + 2) x + 2 a = (x - 2) (x - a)

と分解できる。よって

f (x) - g (x) = (x + 1) (x - 2) (x - a)

である。

$a$ について整理して $x^{3} - x^{2} - 2 x - a (x^{2} - x - 2) = (x^{2} - x - 2) (x - a)$ と見てもよい。 $x^{2} - x - 2 = (x + 1) (x - 2)$ である。

$a = 5, x = 3.7$ で両辺を計算すると一致した。 $a$ を5通り、 $x$ を4通り試しても一致した。

$a$ が入ったままの3次式でも、 $a$ の係数でくくると共通因数が見える。 $a$ について整理するのが定石である。

(2) $y = f (x)$ と $y = g (x)$ のグラフの共有点が2個となるような $a$ を求める

答 $a = - 1$ または $a = 2$

共有点の $x$ 座標は $f (x) - g (x) = 0$ の解。(1) の因数分解から解は $- 1, 2, a$ の3つで、共有点が2個になるのは、このうち2つが一致するときである。

共有点の $x$ 座標は $f (x) - g (x) = 0$ 、すなわち

(x + 1) (x - 2) (x - a) = 0

の解である。解は $x = - 1, 2, a$ で、 $x$ が決まれば共有点は1つに決まるから、共有点の個数は相異なる解の個数である。

$- 1 \neq = 2$ なので、相異なる解が2個になるのは $a$ が $- 1$ か $2$ に一致するとき、つまり

a = - 1 または a = 2

のときである（それ以外の $a$ では3個）。

$a = - 3, 0, 5$ では解が3個、 $a = - 1, 2$ では2個になった。

「共有点が2個」は「方程式の解が2個」ではなく「相異なる解が2個」。重解を1個と数える。

(3) $a$ が (2) の条件を満たし、さらに $f (x)$ の極大値が $1$ より大きいとき、 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ のグラフを同じ座標平面に図示する

答 $a = 2$ 。 $y = f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5$ は $(0, 5)$ で極大、 $(\frac{8}{3}, - \frac{121}{27})$ で極小。 $y = g (x) = - x^{2} + 1$ とは $x = - 1$ で交わり、 $x = 2$ で接する

(2) の2つの候補について、それぞれ $f^{'}$ を計算して極大値を求め、 $1$ より大きいほうを選ぶ。 $a = 2$ なら $f^{'}$ が因数分解できて極値が暗算で出る。

$a = - 1$ の場合。 $f (x) = x^{3} - x^{2} - 3 x - 1$ で

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 3

である。 $f^{'} (x) = 0$ の解は $x = \frac{1 \pm 10}{3}$ で、極大を与えるのは小さいほう $x = \frac{1 - 10}{3} = - 0.7208 \dots$ である。このとき

f (\frac{1 - 10}{3}) = 0.2683 \dots < 1

なので条件を満たさない。（ $f (- 1) = - 1 - 1 + 3 - 1 = 0$ と $f (0) = - 1$ から、極大値が $0$ と $1$ のあいだの小さな値になることは、値を出さなくても $f (- 1) = 0$ 、 $f (0) = - 1$ と増減表から見当がつく。）

$a = 2$ の場合。 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 0 \cdot x + 5 = x^{3} - 4 x^{2} + 5$ で

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 x = x (3 x - 8)

である。 $f^{'} (x) = 0$ の解は $x = 0, \frac{8}{3}$ で、 $x < 0$ で $f^{'} > 0$ 、 $0 < x < \frac{8}{3}$ で $f^{'} < 0$ 、 $x > \frac{8}{3}$ で $f^{'} > 0$ だから

$x = 0$ で極大、極大値 $f (0) = 5$
$x = \frac{8}{3}$ で極小、極小値 $f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} + 5 = - \frac{121}{27}$

である。極大値 $5 > 1$ なので条件を満たす。よって

a = 2

である。

2つのグラフの位置関係。 このとき (1) より

f (x) - g (x) = (x + 1) (x - 2)^{2}

である。 $(x - 2)^{2} ≧ 0$ なので、 $x < - 1$ では $f < g$ 、 $x > - 1$ では $f ≧ g$ （等号は $x = 2$ ）。つまり $x = - 1$ で交わって上下が入れ替わり、 $x = 2$ では接する（重解なので交わらずに触れる）。交点は

(- 1, 0), (2, - 3)

である。 $y = g (x) = - x^{2} + 1$ は上に凸で頂点 $(0, 1)$ の放物線である。以上をまとめると次の図になる。

a = 2 のときの y = f(x) = x³ - 4x² + 5（3次曲線）と y = g(x) = -x² + 1（上に凸の放物線）。x = -1 で交わり、x = 2 で接する。f は (0, 5) で極大、(8/3, -121/27) で極小。

$f (- 1) = - 1 - 4 + 5 = 0 = g (- 1)$ 、 $f (2) = 8 - 16 + 5 = - 3 = g (2)$ で、交点の座標が合う。 $f^{'} (2) = 12 - 16 = - 4$ 、 $g^{'} (2) = - 4$ で接線の傾きも一致し、確かに接している。

$a = - 1$ を「極大値が $1$ 以下だから」ときちんと外す。2つの候補のうち片方を選ぶのがこの小問の主眼である。

$x = 2$ は重解なので接する。図でここを「交差」に描かない。

$f$ の極小値 $- \frac{121}{27}$ は $g$ の値 $- (\frac{8}{3})^{2} + 1 = - \frac{55}{9} = - \frac{165}{27}$ より上にある。極小点が放物線より上にくることも図に反映させる。

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第2問　空間図形

断面への帰着・相似比・四面体の体積・相加平均と相乗平均当サイトの体感難易度：やや難

(1)1辺 $1$ の立方体 $ABCD$ – $EFGH$ の辺 $AD$ 上に $AP = p$ となる点 $P$ をとると、線分 $AG$ と線分 $FP$ は四角形 $ADGF$ 上で交わる。その交点を $X$ として $AX$ を $p$ で表す

答 $AX = \frac{3 p}{1 + p}$

$A, D, G, F$ は同一平面上にあり、 $AD ∥ FG$ 、 $AD = 1$ 、 $FG = 1$ 、 $AF = DG = 2$ なので、四角形 $ADGF$ は長方形である。 $AG$ も $FP$ もこの長方形の中にあるので、空間の問題を平面の問題に落として相似で片づく。

解くために取り出した断面。四角形 ADGF は AD = FG = 1、AF = DG = √2 の長方形で、AG と FP はその中で交わる。図は p = 1/2 のとき。網かけは (2) の三角形 APX。

長方形に直す。 $AD$ と $FG$ はどちらも立方体の辺で、平行で長さが $1$ である。よって $ADGF$ は平行四辺形、とくに $AF$ は正方形 $ABFE$ の対角線で $AF = 2$ 、 $AD ⊥ AF$ （ $AD$ は面 $ABFE$ に垂直）だから、 $ADGF$ は

AD = FG = 1, AF = DG = 2

の長方形である。 $P$ は $AD$ 上、 $G$ は長方形の頂点なので、 $AG$ も $FP$ もこの長方形の中にある。

相似。 $AP ∥ FG$ で、 $X$ は $AG$ と $FP$ の交点だから、 $△ XAP$ と $△ XGF$ は相似である（錯角が等しい）。相似比は

AP : GF = p : 1

なので

AX : XG = p : 1, AX = \frac{p}{p + 1} AG

である。 $AG$ は1辺 $1$ の立方体の対角線なので $AG = 3$ である。よって

AX = \frac{3 p}{1 + p}

である。

$p = 0$ のとき $X = A$ 、 $p = 1$ のとき（ $P = D$ ） $AX = \frac{3}{2}$ で $X$ は $AG$ の中点。長方形の対角線どうしの交点になるので、確かに中点である。

$p = 0.5$ で座標計算すると $AX = 0.577350269$ 、 $\frac{3 \cdot 0.5}{1.5} = \frac{1}{3} = 0.577350269$ で一致した。

立方体のまま考えずに、 $A, D, G, F$ が同一平面にあることを使って平面図形に落とす。ここがこの大問の設計である。

$AG = 3$ （空間対角線）、 $AF = 2$ （面の対角線）を取り違えない。

(2)三角形 $APX$ の面積を $p$ で表す

答 $\frac{2 p ^{2}}{2 ( 1 + p )}$

底辺を $AP = p$ とすると、高さは $X$ から直線 $AD$ までの距離である。長方形の中で $X$ は $AG$ を $p : 1$ に内分するので、高さは $DG = 2$ の $\frac{p}{1 + p}$ 倍になる。

長方形 $ADGF$ の中で考える。 $X$ は $AG$ を $p : 1$ に内分する点なので、 $X$ から辺 $AD$ に下ろした距離は、 $G$ から $AD$ までの距離 $DG = 2$ の $\frac{p}{1 + p}$ 倍である。つまり高さは

h = \frac{2 p}{1 + p}

である。底辺は $AP = p$ なので

△ APX = \frac{1}{2} \cdot p \cdot \frac{2 p}{1 + p} = \frac{2 p ^{2}}{2 ( 1 + p )}

である。

$p = 0.9$ で座標から外積で面積を出すと $0.301450786$ 、式の値も $0.301450786$ だった。

高さは $AX$ ではない。 $AD$ を底辺に見たときの $X$ の「高さ」で、長方形の縦の長さ $2$ の $\frac{p}{1 + p}$ 倍である。

(3)四面体 $ABPX$ と四面体 $EFGX$ の体積の和を $V$ とするとき、 $V$ を $p$ で表す

答 $V = \frac{p ^{2} + 1}{6 ( 1 + p )}$

2つの四面体それぞれで「底面 $\times$ 高さ」の組を選びやすい向きを探す。 $ABPX$ は $△ APX$ を底面にすると高さが $AB$ に一致し、 $EFGX$ は $△ EFG$ を底面にすると高さが $X$ の「高さ」になる。

四面体 $ABPX$ 。 $A, P, X$ はいずれも平面 $ADGF$ 上にある。辺 $AB$ はこの平面に垂直である（ $AB ⊥ AD$ かつ $AB ⊥ AF$ ではないので、正確には次のように見る）。

座標を $A (0, 0, 1), B (1, 0, 1), C (1, 1, 1), D (0, 1, 1), E (0, 0, 0), F (1, 0, 0), G (1, 1, 0), H (0, 1, 0)$ ととる。このとき $P (0, p, 1)$ で、(1) より

X = A + \frac{p}{1 + p} AG = (t, t, 1 - t), t = \frac{p}{1 + p}

である。四面体 $ABPX$ の体積は、 $AB = (1, 0, 0)$ 、 $AP = (0, p, 0)$ 、 $AX = (t, t, - t)$ から

\frac{1}{6} det 10 t 0 p t 00 - t = \frac{1}{6} ∣ 1 \cdot (p \cdot (- t) - 0 \cdot t) ∣ = \frac{pt}{6}

である。 $t = \frac{p}{1 + p}$ を入れて

(四面体 ABPX) = \frac{p ^{2}}{6 ( 1 + p )}

である。

四面体 $EFGX$ 。 $△ EFG$ は底面（ $z = 0$ の平面）にあり、 $EF = FG = 1$ 、 $EF ⊥ FG$ なので面積は $\frac{1}{2}$ である。高さは $X$ の $z$ 座標

1 - t = 1 - \frac{p}{1 + p} = \frac{1}{1 + p}

である。したがって

(四面体 EFGX) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + p} = \frac{1}{6 ( 1 + p )}

である。2つを足して

V = \frac{p ^{2}}{6 ( 1 + p )} + \frac{1}{6 ( 1 + p )} = \frac{p ^{2} + 1}{6 ( 1 + p )}

である。

$△ APX$ を底面にすると、(2) の面積 $\frac{2 p ^{2}}{2 ( 1 + p )}$ に、 $B$ から平面 $ADGF$ までの距離 $\frac{1}{2}$ （正方形 $ABFE$ の1辺 $1$ に対する対角線までの距離）を掛けて $\frac{1}{3}$ 倍しても同じ値になる。

$p = 0.2$ で座標から行列式で計算すると $V = 0.144444444$ 、式の値も $0.144444444$ だった。

座標を入れてしまえば四面体の体積は行列式で一発。空間図形で迷ったら座標を置く。

$X$ の $z$ 座標がそのまま $EFGX$ の高さになる。底面が $z = 0$ の平面にあるからである。

(4)点 $P$ を辺 $AD$ 上で動かすときの $V$ の最小値を求める

答 $\frac{2 - 1}{3}$ （ $p = 2 - 1$ のとき）

$u = p + 1$ と置き換えると $V = \frac{1}{6} (u + \frac{2}{u} - 2)$ となり、相加平均と相乗平均の関係がそのまま使える形になる。等号成立の $u = 2$ が範囲に入っていることを確かめる。

$P$ は辺 $AD$ 上なので $0 ≦ p ≦ 1$ である。 $u = p + 1$ とおくと $1 ≦ u ≦ 2$ で、 $p = u - 1$ より

p^{2} + 1 = (u - 1)^{2} + 1 = u^{2} - 2 u + 2

だから

V = \frac{u ^{2} - 2 u + 2}{6 u} = \frac{1}{6} (u + \frac{2}{u} - 2)

である。 $u > 0$ なので相加平均と相乗平均の関係から

u + \frac{2}{u} ≧ 2 u \cdot \frac{2}{u} = 22

で、等号は $u = \frac{2}{u}$ 、すなわち $u = 2$ のときである。 $1 < 2 < 2$ なので $u = 2$ は範囲内で、そのとき

p = 2 - 1 (0 < 2 - 1 < 1)

である。よって最小値は

V = \frac{1}{6} (22 - 2) = \frac{2 - 1}{3}

である。

両端では $p = 0$ でも $p = 1$ でも $V = \frac{1}{6} = 0.1667$ で、最小値 $\frac{2 - 1}{3} = 0.1381$ より大きい。 $P$ が $A$ にも $D$ にも寄りすぎない位置で $V$ が最小になる。

$p$ を $1 0^{- 5}$ 刻みで $0$ から $1$ まで動かすと、最小は $p = 0.41421$ での $0.138071187$ で、 $\frac{2 - 1}{3} = 0.138071187$ と一致した。

$u = p + 1$ と置き換えずに $\frac{p ^{2} + 1}{6 ( p + 1 )}$ のまま微分してもよいが、相加・相乗が使える形に直すほうが文系の範囲でも速い。

相加・相乗の等号成立 $u = 2$ が $1 ≦ u ≦ 2$ に入ることを確かめる。入らなければ端点で最小になる。

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第3問　確率

状態の推移・条件つき確率・非復元抽出・末尾の条件当サイトの体感難易度：やや難

(1) $1, 2, 3, 4$ の数字が2個ずつ計8個の球が袋に入っている。カードを8枚用意し、「球を1個取り出して数字が $k$ のとき、残りのカードが $k$ 枚以上なら1枚取り除き、 $k$ 枚未満なら取り除かない」という試行を8回行う。球を毎回袋に戻すとき、8回のあとでカードが1枚だけ残っている確率を求める

答 $\frac{9}{16}$

どの数字も確率 $\frac{1}{4}$ で出る。残りカードが $4$ 枚以上あるうちは必ず1枚減るので、最初の5回は自動的に減って残り $3$ 枚になる。残り3回だけを場合分けすればよい。

数字の確率。 各数字の球は2個ずつで計8個なので、1回の試行で数字 $k$ が出る確率はどれも $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ である。

最初の5回は必ず減る。 残りカードが $c$ 枚のとき、 $k ≦ c$ なら1枚減る。 $k ≦ 4$ なので、 $c ≧ 4$ のあいだはどんな $k$ でも必ず減る。はじめは $c = 8$ だから

8 \to 7 \to 6 \to 5 \to 4 \to 3

と、1回目から5回目まではかならず1枚ずつ減り、5回目のあとは確実に $c = 3$ である。

残り3回。 8回終えて $c = 1$ になるには、残りの3回でちょうど2枚減ればよい。 $c = 3$ のとき減る確率は $k ≦ 3$ で $\frac{3}{4}$ 、 $c = 2$ のときは $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 、 $c = 1$ のときは $\frac{1}{4}$ である。減ることを $R$ 、減らないことを $S$ と書くと、2回減るのは次の3通りである。

$RRS$ ： $c = 3 \to 2 \to 1 \to 1$ 。 $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{32}$
$RSR$ ： $c = 3 \to 2 \to 2 \to 1$ 。 $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{32}$
$SRR$ ： $c = 3 \to 3 \to 2 \to 1$ 。 $\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{32}$

（ $c = 1$ で減らない確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 、 $c = 2$ で減らない確率は $\frac{1}{2}$ 、 $c = 3$ で減らない確率は $\frac{1}{4}$ である。）足して

\frac{9}{32} + \frac{6}{32} + \frac{3}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}

である。

同じやり方で $0$ 枚が $\frac{3}{32}$ 、 $2$ 枚が $\frac{21}{64}$ 、 $3$ 枚が $\frac{1}{64}$ と出て、4つを足すとちょうど $1$ になる。よい検算になる。

残り枚数の分布を分数のまま8回ぶん計算すると $(0, 1, 2, 3)$ 枚が $\frac{3}{32}, \frac{9}{16}, \frac{21}{64}, \frac{1}{64}$ で、和が $1$ になった。40万回のシミュレーションでも $0.56306$ だった。

「残りのカードが $k$ 枚以上」なので、 $c = k$ のときは減る。 $c = 3, k = 3$ は減るほうである。

最初の5回で確実に $c = 3$ になることに気づけば、場合分けは3回ぶんで済む。8回ぶん場合分けしない。

(2)取り出した球を袋に戻さないとき、8回の試行のあとでカードが残っていない確率を求める

答 $\frac{1}{14}$

8回で8枚すべてなくなるには、毎回必ず1枚減らなければならない。(1) と同じ理由で最初の5回は自動的に減るので、条件は「6回目に $3$ 以下」「7回目に $2$ 以下」「8回目に $1$ 」だけである。非復元なので、球の並び方（順列）の問題になる。

条件の言い換え。 カードが8枚あり試行が8回なので、全部なくなるのは毎回1枚ずつ減るときだけである。 $j$ 回目の直前の残り枚数は $9 - j$ なので、条件は

k_{j} ≦ 9 - j (j = 1, 2, \dots, 8)

である。 $k_{j} ≦ 4$ なので $j ≦ 5$ では自動的に成り立つ。残るのは

6回目： $k_{6} ≦ 3$
7回目： $k_{7} ≦ 2$
8回目： $k_{8} ≦ 1$ 、つまり $k_{8} = 1$

の3つだけである。

数える。 8個の球を区別して1列に並べると $8!$ 通りで、どれも同様に確からしい。後ろ3つ（6,7,8回目に出る球）だけが問題なので、後ろから順に選ぶ。

8回目：数字 $1$ の球2個のどちらか。 $2$ 通り
7回目：数字 $2$ 以下、つまり $1$ がもう1個と $2$ が2個の計3個から。 $3$ 通り
6回目：数字 $3$ 以下の球は $1, 1, 2, 2, 3, 3$ の6個で、うち2個はすでに使った。 $6 - 2 = 4$ 通り

残り5個の並べ方は $5!$ 通りなので、条件を満たす並べ方は $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5!$ 通りである。よって確率は

\frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 !}{8 !} = \frac{24}{8 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{24}{336} = \frac{1}{14}

である。

後ろ3つを決めるのが $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ 通りで、そのうち条件を満たすのが $24$ 通り、と見ても同じである。前の5回は何が出ても必ず1枚減るので、数える必要がない。

${1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4}$ の相異なる並び $2520$ 通りを全列挙すると、カードが残らないのは $180$ 通りで $\frac{180}{2520} = \frac{1}{14}$ だった。40万回のシミュレーションでも $0.07146$ になった。

非復元なので「数字 $1$ は2個しかない」ことが効く。8回目に $1$ を使うと、7回目に使える $1$ は残り1個だけである。

6回目の数え方で「すでに使った2個を引く」のを忘れない。7回目に選んだ球は必ず $3$ 以下なので、ちょうど2個減る。

球を区別して $8!$ 通りで数えると、同じ数字が2個ずつあっても分母・分子の両方で同じ重複度が出るので、そのまま確率になる。

第3問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)a を実数、f(x)=x3−(a+2)x2+(a−2)x+2a+1、g(x)=−x2+1 とするとき、f(x)−g(x) を因数分解する

(2)y=f(x) と y=g(x) のグラフの共有点が2個となるような a を求める

(3)a が (2) の条件を満たし、さらに f(x) の極大値が 1 より大きいとき、y=f(x) と y=g(x) のグラフを同じ座標平面に図示する

(1)1辺 1 の立方体 ABCD–EFGH の辺 AD 上に AP=p となる点 P をとると、線分 AG と線分 FP は四角形 ADGF 上で交わる。その交点を X として AX を p で表す

(2)三角形 APX の面積を p で表す

(3)四面体 ABPX と四面体 EFGX の体積の和を V とするとき、V を p で表す

(4)点 P を辺 AD 上で動かすときの V の最小値を求める

(2)取り出した球を袋に戻さないとき、8回の試行のあとでカードが残っていない確率を求める

同じ形式の問題を、5回分

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(1) $a$ を実数、 $f (x) = x^{3} - (a + 2) x^{2} + (a - 2) x + 2 a + 1$ 、 $g (x) = - x^{2} + 1$ とするとき、 $f (x) - g (x)$ を因数分解する

(2) $y = f (x)$ と $y = g (x)$ のグラフの共有点が2個となるような $a$ を求める

(3) $a$ が (2) の条件を満たし、さらに $f (x)$ の極大値が $1$ より大きいとき、 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ のグラフを同じ座標平面に図示する

(1)1辺 $1$ の立方体 $ABCD$ – $EFGH$ の辺 $AD$ 上に $AP = p$ となる点 $P$ をとると、線分 $AG$ と線分 $FP$ は四角形 $ADGF$ 上で交わる。その交点を $X$ として $AX$ を $p$ で表す

(2)三角形 $APX$ の面積を $p$ で表す

(3)四面体 $ABPX$ と四面体 $EFGX$ の体積の和を $V$ とするとき、 $V$ を $p$ で表す

(4)点 $P$ を辺 $AD$ 上で動かすときの $V$ の最小値を求める