独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問4問・無料

名古屋大学　2023年度　前期日程　文科系

第2問空間図形の解答・解説

断面への帰着・相似比・四面体の体積・相加平均と相乗平均当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1)1辺 $1$ の立方体 $ABCD$ – $EFGH$ の辺 $AD$ 上に $AP = p$ となる点 $P$ をとると、線分 $AG$ と線分 $FP$ は四角形 $ADGF$ 上で交わる。その交点を $X$ として $AX$ を $p$ で表す

答 $AX = \frac{3 p}{1 + p}$

$A, D, G, F$ は同一平面上にあり、 $AD ∥ FG$ 、 $AD = 1$ 、 $FG = 1$ 、 $AF = DG = 2$ なので、四角形 $ADGF$ は長方形である。 $AG$ も $FP$ もこの長方形の中にあるので、空間の問題を平面の問題に落として相似で片づく。

解くために取り出した断面。四角形 ADGF は AD = FG = 1、AF = DG = √2 の長方形で、AG と FP はその中で交わる。図は p = 1/2 のとき。網かけは (2) の三角形 APX。

長方形に直す。 $AD$ と $FG$ はどちらも立方体の辺で、平行で長さが $1$ である。よって $ADGF$ は平行四辺形、とくに $AF$ は正方形 $ABFE$ の対角線で $AF = 2$ 、 $AD ⊥ AF$ （ $AD$ は面 $ABFE$ に垂直）だから、 $ADGF$ は

AD = FG = 1, AF = DG = 2

の長方形である。 $P$ は $AD$ 上、 $G$ は長方形の頂点なので、 $AG$ も $FP$ もこの長方形の中にある。

相似。 $AP ∥ FG$ で、 $X$ は $AG$ と $FP$ の交点だから、 $△ XAP$ と $△ XGF$ は相似である（錯角が等しい）。相似比は

AP : GF = p : 1

なので

AX : XG = p : 1, AX = \frac{p}{p + 1} AG

である。 $AG$ は1辺 $1$ の立方体の対角線なので $AG = 3$ である。よって

AX = \frac{3 p}{1 + p}

である。

$p = 0$ のとき $X = A$ 、 $p = 1$ のとき（ $P = D$ ） $AX = \frac{3}{2}$ で $X$ は $AG$ の中点。長方形の対角線どうしの交点になるので、確かに中点である。

$p = 0.5$ で座標計算すると $AX = 0.577350269$ 、 $\frac{3 \cdot 0.5}{1.5} = \frac{1}{3} = 0.577350269$ で一致した。

立方体のまま考えずに、 $A, D, G, F$ が同一平面にあることを使って平面図形に落とす。ここがこの大問の設計である。

$AG = 3$ （空間対角線）、 $AF = 2$ （面の対角線）を取り違えない。

(2)三角形 $APX$ の面積を $p$ で表す

答 $\frac{2 p ^{2}}{2 ( 1 + p )}$

底辺を $AP = p$ とすると、高さは $X$ から直線 $AD$ までの距離である。長方形の中で $X$ は $AG$ を $p : 1$ に内分するので、高さは $DG = 2$ の $\frac{p}{1 + p}$ 倍になる。

長方形 $ADGF$ の中で考える。 $X$ は $AG$ を $p : 1$ に内分する点なので、 $X$ から辺 $AD$ に下ろした距離は、 $G$ から $AD$ までの距離 $DG = 2$ の $\frac{p}{1 + p}$ 倍である。つまり高さは

h = \frac{2 p}{1 + p}

である。底辺は $AP = p$ なので

△ APX = \frac{1}{2} \cdot p \cdot \frac{2 p}{1 + p} = \frac{2 p ^{2}}{2 ( 1 + p )}

である。

$p = 0.9$ で座標から外積で面積を出すと $0.301450786$ 、式の値も $0.301450786$ だった。

高さは $AX$ ではない。 $AD$ を底辺に見たときの $X$ の「高さ」で、長方形の縦の長さ $2$ の $\frac{p}{1 + p}$ 倍である。

(3)四面体 $ABPX$ と四面体 $EFGX$ の体積の和を $V$ とするとき、 $V$ を $p$ で表す

答 $V = \frac{p ^{2} + 1}{6 ( 1 + p )}$

2つの四面体それぞれで「底面 $\times$ 高さ」の組を選びやすい向きを探す。 $ABPX$ は $△ APX$ を底面にすると高さが $AB$ に一致し、 $EFGX$ は $△ EFG$ を底面にすると高さが $X$ の「高さ」になる。

四面体 $ABPX$ 。 $A, P, X$ はいずれも平面 $ADGF$ 上にある。辺 $AB$ はこの平面に垂直である（ $AB ⊥ AD$ かつ $AB ⊥ AF$ ではないので、正確には次のように見る）。

座標を $A (0, 0, 1), B (1, 0, 1), C (1, 1, 1), D (0, 1, 1), E (0, 0, 0), F (1, 0, 0), G (1, 1, 0), H (0, 1, 0)$ ととる。このとき $P (0, p, 1)$ で、(1) より

X = A + \frac{p}{1 + p} AG = (t, t, 1 - t), t = \frac{p}{1 + p}

である。四面体 $ABPX$ の体積は、 $AB = (1, 0, 0)$ 、 $AP = (0, p, 0)$ 、 $AX = (t, t, - t)$ から

\frac{1}{6} det 10 t 0 p t 00 - t = \frac{1}{6} ∣ 1 \cdot (p \cdot (- t) - 0 \cdot t) ∣ = \frac{pt}{6}

である。 $t = \frac{p}{1 + p}$ を入れて

(四面体 ABPX) = \frac{p ^{2}}{6 ( 1 + p )}

である。

四面体 $EFGX$ 。 $△ EFG$ は底面（ $z = 0$ の平面）にあり、 $EF = FG = 1$ 、 $EF ⊥ FG$ なので面積は $\frac{1}{2}$ である。高さは $X$ の $z$ 座標

1 - t = 1 - \frac{p}{1 + p} = \frac{1}{1 + p}

である。したがって

(四面体 EFGX) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + p} = \frac{1}{6 ( 1 + p )}

である。2つを足して

V = \frac{p ^{2}}{6 ( 1 + p )} + \frac{1}{6 ( 1 + p )} = \frac{p ^{2} + 1}{6 ( 1 + p )}

である。

$△ APX$ を底面にすると、(2) の面積 $\frac{2 p ^{2}}{2 ( 1 + p )}$ に、 $B$ から平面 $ADGF$ までの距離 $\frac{1}{2}$ （正方形 $ABFE$ の1辺 $1$ に対する対角線までの距離）を掛けて $\frac{1}{3}$ 倍しても同じ値になる。

$p = 0.2$ で座標から行列式で計算すると $V = 0.144444444$ 、式の値も $0.144444444$ だった。

座標を入れてしまえば四面体の体積は行列式で一発。空間図形で迷ったら座標を置く。

$X$ の $z$ 座標がそのまま $EFGX$ の高さになる。底面が $z = 0$ の平面にあるからである。

(4)点 $P$ を辺 $AD$ 上で動かすときの $V$ の最小値を求める

答 $\frac{2 - 1}{3}$ （ $p = 2 - 1$ のとき）

$u = p + 1$ と置き換えると $V = \frac{1}{6} (u + \frac{2}{u} - 2)$ となり、相加平均と相乗平均の関係がそのまま使える形になる。等号成立の $u = 2$ が範囲に入っていることを確かめる。

$P$ は辺 $AD$ 上なので $0 ≦ p ≦ 1$ である。 $u = p + 1$ とおくと $1 ≦ u ≦ 2$ で、 $p = u - 1$ より

p^{2} + 1 = (u - 1)^{2} + 1 = u^{2} - 2 u + 2

だから

V = \frac{u ^{2} - 2 u + 2}{6 u} = \frac{1}{6} (u + \frac{2}{u} - 2)

である。 $u > 0$ なので相加平均と相乗平均の関係から

u + \frac{2}{u} ≧ 2 u \cdot \frac{2}{u} = 22

で、等号は $u = \frac{2}{u}$ 、すなわち $u = 2$ のときである。 $1 < 2 < 2$ なので $u = 2$ は範囲内で、そのとき

p = 2 - 1 (0 < 2 - 1 < 1)

である。よって最小値は

V = \frac{1}{6} (22 - 2) = \frac{2 - 1}{3}

である。

両端では $p = 0$ でも $p = 1$ でも $V = \frac{1}{6} = 0.1667$ で、最小値 $\frac{2 - 1}{3} = 0.1381$ より大きい。 $P$ が $A$ にも $D$ にも寄りすぎない位置で $V$ が最小になる。

$p$ を $1 0^{- 5}$ 刻みで $0$ から $1$ まで動かすと、最小は $p = 0.41421$ での $0.138071187$ で、 $\frac{2 - 1}{3} = 0.138071187$ と一致した。

$u = p + 1$ と置き換えずに $\frac{p ^{2} + 1}{6 ( p + 1 )}$ のまま微分してもよいが、相加・相乗が使える形に直すほうが文系の範囲でも速い。

相加・相乗の等号成立 $u = 2$ が $1 ≦ u ≦ 2$ に入ることを確かめる。入らなければ端点で最小になる。

2023年度の全3問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる名大文系数学 2027

名大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る収録内容を見る¥2,695・110ページ・2026年8月9日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)1辺 1 の立方体 ABCD–EFGH の辺 AD 上に AP=p となる点 P をとると、線分 AG と線分 FP は四角形 ADGF 上で交わる。その交点を X として AX を p で表す

(2)三角形 APX の面積を p で表す

(3)四面体 ABPX と四面体 EFGX の体積の和を V とするとき、V を p で表す

(4)点 P を辺 AD 上で動かすときの V の最小値を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1)1辺 $1$ の立方体 $ABCD$ – $EFGH$ の辺 $AD$ 上に $AP = p$ となる点 $P$ をとると、線分 $AG$ と線分 $FP$ は四角形 $ADGF$ 上で交わる。その交点を $X$ として $AX$ を $p$ で表す

(2)三角形 $APX$ の面積を $p$ で表す

(3)四面体 $ABPX$ と四面体 $EFGX$ の体積の和を $V$ とするとき、 $V$ を $p$ で表す

(4)点 $P$ を辺 $AD$ 上で動かすときの $V$ の最小値を求める