第3問 確率の解答・解説

数字の確率。 各数字の球は2個ずつで計8個なので、1回の試行で数字 $k$ が出る確率はどれも $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ である。

最初の5回は必ず減る。 残りカードが $c$ 枚のとき、$k\leqq c$ なら1枚減る。$k\leqq 4$ なので、$c\geqq 4$ のあいだはどんな $k$ でも必ず減る。はじめは $c=8$ だから

と、1回目から5回目まではかならず1枚ずつ減り、5回目のあとは確実に $c=3$ である。

残り3回。 8回終えて $c=1$ になるには、残りの3回でちょうど2枚減ればよい。$c=3$ のとき減る確率は $k\leqq 3$ で $\frac{3}{4}$、$c=2$ のときは $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$、$c=1$ のときは $\frac{1}{4}$ である。減ることを $\mathrm{R}$、減らないことを $\mathrm{S}$ と書くと、2回減るのは次の3通りである。

1. $\mathrm{RRS}$：$c=3\to 2\to 1\to 1$。$\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{32}$
2. $\mathrm{RSR}$：$c=3\to 2\to 2\to 1$。$\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{6}{32}$
3. $\mathrm{SRR}$：$c=3\to 3\to 2\to 1$。$\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{32}$

（$c=1$ で減らない確率は $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$、$c=2$ で減らない確率は $\frac{1}{2}$、$c=3$ で減らない確率は $\frac{1}{4}$ である。）足して

である。

同じやり方で $0$ 枚が $\frac{3}{32}$、$2$ 枚が $\frac{21}{64}$、$3$ 枚が $\frac{1}{64}$ と出て、4つを足すとちょうど $1$ になる。よい検算になる。

条件の言い換え。 カードが8枚あり試行が8回なので、全部なくなるのは毎回1枚ずつ減るときだけである。$j$ 回目の直前の残り枚数は $9-j$ なので、条件は

である。$k_j\leqq 4$ なので $j\leqq 5$ では自動的に成り立つ。残るのは

1. 6回目：$k_6\leqq 3$
2. 7回目：$k_7\leqq 2$
3. 8回目：$k_8\leqq 1$、つまり $k_8=1$

の3つだけである。

数える。 8個の球を区別して1列に並べると $8!$ 通りで、どれも同様に確からしい。後ろ3つ（6,7,8回目に出る球）だけが問題なので、後ろから順に選ぶ。

1. 8回目：数字 $1$ の球2個のどちらか。$2$ 通り
2. 7回目：数字 $2$ 以下、つまり $1$ がもう1個と $2$ が2個の計3個から。$3$ 通り
3. 6回目：数字 $3$ 以下の球は $1,1,2,2,3,3$ の6個で、うち2個はすでに使った。$6-2=4$ 通り

残り5個の並べ方は $5!$ 通りなので、条件を満たす並べ方は $2\cdot 3\cdot 4\cdot 5!$ 通りである。よって確率は

である。

後ろ3つを決めるのが $8\cdot 7\cdot 6=336$ 通りで、そのうち条件を満たすのが $24$ 通り、と見ても同じである。前の5回は何が出ても必ず1枚減るので、数える必要がない。