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九州大学　2023年度　前期日程　文科系

第1問積分法の解答・解説

絶対値のついた放物線・面積の等分・1/6 公式・3乗根当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$C : y = ∣ (x - 3) (x + 3) ∣$ と $ℓ : y = a$ （ $0 < a < 9$ ）で囲まれる図形のうち、 $y \geq a$ にある部分の面積を $S_{1}$ 、 $y \leq a$ にある部分の面積を $S_{2}$ とするとき、 $S_{1} = S_{2}$ となる $a$ を求める

答 $a = 9 (34 - 1)$

$C$ は $∣ x ∣ \leq 3$ では上に凸の山、 $∣ x ∣ \geq 3$ では下に凸の谷である。 $ℓ$ との交点は $x = \pm 9 - a$ （山の側）と $x = \pm 9 + a$ （谷の側）の4つ。それぞれの面積を $p = 9 - a$ 、 $q = 9 + a$ で表す。

$C : y = x^{2} - 9$ である。 $p = 9 - a$ 、 $q = 9 + a$ とおくと、 $0 < a < 9$ より $0 < p < 3 < q$ で、 $ℓ$ との交点の $x$ 座標は $\pm p$ 、 $\pm q$ である。

$S_{1}$ 。 $- p \leq x \leq p$ では $C$ （ $= 9 - x^{2}$ ）が $ℓ$ の上にある。

S_{1} = \int_{- p}^{p} {(9 - x^{2}) - a} d x = \int_{- p}^{p} (p^{2} - x^{2}) d x = 2 [p^{2} x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{p} = 2 (p^{3} - \frac{p ^{3}}{3}) = \frac{4}{3} p^{3}

である（ $9 - a = p^{2}$ を使った）。

$S_{2}$ 。 左右対称なので、右半分（ $p \leq x \leq q$ ）を2倍する。 $p \leq x \leq 3$ では $C = 9 - x^{2}$ 、 $3 \leq x \leq q$ では $C = x^{2} - 9$ である。

\frac{S _{2}}{2} = \int_{p}^{3} {a - (9 - x^{2})} d x + \int_{3}^{q} {a - (x^{2} - 9)} d x = \int_{p}^{3} (x^{2} - p^{2}) d x + \int_{3}^{q} (q^{2} - x^{2}) d x

である。それぞれ計算すると

\int_{p}^{3} (x^{2} - p^{2}) d x \int_{3}^{q} (q^{2} - x^{2}) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - p^{2} x]_{p}^{3} = 9 - 3 p^{2} + \frac{2}{3} p^{3} = [q^{2} x - \frac{x ^{3}}{3}]_{3}^{q} = \frac{2}{3} q^{3} - 3 q^{2} + 9

で、 $p^{2} + q^{2} = (9 - a) + (9 + a) = 18$ だから

\frac{S _{2}}{2} = 18 - 3 \cdot 18 + \frac{2}{3} (p^{3} + q^{3}) = - 36 + \frac{2}{3} (p^{3} + q^{3})

すなわち

S_{2} = - 72 + \frac{4}{3} (p^{3} + q^{3})

である。

$S_{1} = S_{2}$ 。

\frac{4}{3} p^{3} = - 72 + \frac{4}{3} p^{3} + \frac{4}{3} q^{3} ⟺ \frac{4}{3} q^{3} = 72 ⟺ q^{3} = 54

である。 $p^{3}$ が両辺から消えるのが気持ちよいところである。 $q = 354 = 332$ なので

a = q^{2} - 9 = (332)^{2} - 9 = 934 - 9 = 9 (34 - 1)

である（ $5.287$ ほど）。 $34 = 1.587$ なので $0 < a < 9$ をみたしている。

C : y = x^{2} - 9

と

ℓ : y = a

（

a = 9 (34 - 1) = 5.287

）。山の頂上を切り取った部分が

S_{1}

、左右2つの谷の部分が

S_{2}

で、この

a

でちょうど等しくなる。交点は

x = \pm 9 - a = \pm 1.927

と

x = \pm 9 + a = \pm 3.780

。

$a = 5.286609468$ で数値積分すると $S_{1} = S_{2} = 9.5410171$ になった。 $a = 3$ では $S_{1} - S_{2} = + 16.57$ 、 $a = 7$ では $- 13.33$ と符号が変わり、この $a$ で入れ替わることも確かめた。 $q^{3} = 54.0$ も一致した。

$C$ は $x = \pm 3$ で折れている。 $S_{2}$ の積分はそこで分ける。

$p = 9 - a$ 、 $q = 9 + a$ とおくと $p^{2} + q^{2} = 18$ が使えて、 $S_{2}$ の定数部分がまとまる。

$S_{1} = S_{2}$ で $p^{3}$ が消え、 $q$ だけの式になる。 $a$ のまま押し通すと3乗根が見えにくい。

$(332)^{2} = 934$ である。 $32$ の2乗は $34$ 。

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C:y=∣(x−3)(x+3)∣ と ℓ:y=a（0<a<9）で囲まれる図形のうち、y≥a にある部分の面積を S1​、y≤a にある部分の面積を S2​ とするとき、S1​=S2​ となる a を求める

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