第3問ベクトルの解答・解説

平行条件・連立1次方程式・双対基底・成分の取り出し当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $m$ と $n$ が平行であるための必要十分条件は $D = 0$ であることを示す

答平行 $\Rightarrow$ $D = 0$ は代入で、 $D = 0$ $\Rightarrow$ 平行は $a \neq = 0$ と $c \neq = 0$ で場合分けして示す

両向きを別々に示す。 $\Leftarrow$ の向きでは $m \neq = 0$ を使って、 $a \neq = 0$ か $c \neq = 0$ かで割る相手を選ぶ。

平行 $\Rightarrow$ $D = 0$ 。 $m, n$ はどちらも $0$ でないので、平行なら $n = k m$ （ $k \neq = 0$ ）と書ける。 $b = k a$ 、 $d = k c$ だから

D = a d - b c = a (k c) - (k a) c = 0

である。

$D = 0$ $\Rightarrow$ 平行。 $a d = b c$ とする。 $m = (a, c) \neq = 0$ なので $a \neq = 0$ または $c \neq = 0$ である。

$a \neq = 0$ のとき： $d = \frac{b c}{a}$ なので $n = (b, \frac{b c}{a}) = \frac{b}{a} (a, c) = \frac{b}{a} m$
$c \neq = 0$ のとき： $b = \frac{a d}{c}$ なので $n = (\frac{a d}{c}, d) = \frac{d}{c} (a, c) = \frac{d}{c} m$

どちらでも $n$ は $m$ の実数倍である。 $n \neq = 0$ なので倍率は $0$ でなく、2つは平行である。

以上より、平行であることと $D = 0$ は同値である。

$m = (1, 2)$ 、 $n = (2, 4)$ では $D = 0$ で $n = 2 m$ 、 $m = (1, 2)$ 、 $n = (2, 3)$ では $D = - 1 \neq = 0$ で平行でない。

「必要十分条件」なので両向きを示す。片方だけでは足りない。

$D = 0$ から $n = k m$ を出すとき、いきなり $a$ で割らない。 $a = 0$ の場合は $c \neq = 0$ を使う。

$m \neq = 0$ 、 $n \neq = 0$ が仮定にある。 $0$ は「どのベクトルとも平行」とも「平行でない」とも扱えるので、はじめから除かれている。

(2) $m \cdot v = n \cdot w = 1$ 、 $m \cdot w = n \cdot v = 0$ をみたす $v, w$ を求める

答 $v = (\frac{d}{D}, - \frac{b}{D})$ 、 $w = (- \frac{c}{D}, \frac{a}{D})$

$v = (v_{1}, v_{2})$ とおくと、条件は $v_{1}, v_{2}$ についての連立1次方程式になる。係数行列の「たすきがけ」がちょうど $D$ で、 $D \neq = 0$ だから一意に解ける。

$v$ を求める。 $v = (v_{1}, v_{2})$ とおくと条件は

{m \cdot v = a v_{1} + c v_{2} = 1 n \cdot v = b v_{1} + d v_{2} = 0

である。上を $d$ 倍、下を $c$ 倍して引くと $(a d - b c) v_{1} = d$ 、つまり $v_{1} = \frac{d}{D}$ 。上を $b$ 倍、下を $a$ 倍して引くと $(b c - a d) v_{2} = b$ 、つまり $v_{2} = - \frac{b}{D}$ 。よって

v = (\frac{d}{D}, - \frac{b}{D})

である。

$w$ を求める。 $w = (w_{1}, w_{2})$ とおくと

{a w_{1} + c w_{2} = 0 b w_{1} + d w_{2} = 1

で、同じように解いて

w = (- \frac{c}{D}, \frac{a}{D})

である。 $D \neq = 0$ なのでどちらも一意に定まる。

この $v, w$ の役目は「 $q = r m + s n$ と書けたとき、 $r$ と $s$ を取り出す」ことである。実際、内積をとると $q \cdot v = r (m \cdot v) + s (n \cdot v) = r$ 、同様に $q \cdot w = s$ となる。(3) はこの性質で解ける。

$a, b, c, d$ をランダムに $2$ 万組とって4つの内積を計算すると、すべて条件どおりだった。

$v$ は「 $m$ 方向」ではない。 $n$ と垂直で、 $m$ との内積が $1$ になるベクトルである。

成分の位置に注意。 $v$ には $d, b$ 、 $w$ には $c, a$ が出る。入れ替えないこと。

(3)座標平面上のベクトル $q$ に対して $r m + s n = q$ をみたす実数 $r, s$ を $q, v, w$ を用いて表す

答 $r = q \cdot v$ 、 $s = q \cdot w$

$q = r m + s n$ の両辺と $v$ の内積をとる。(2) の4つの条件から、 $r$ だけが残る。

$D \neq = 0$ なので (1) より $m$ と $n$ は平行でなく、どんな $q$ も $r m + s n$ の形に（ただ1通りに）書ける。

$v$ との内積。

q \cdot v = (r m + s n) \cdot v = r (m \cdot v) + s (n \cdot v) = r \cdot 1 + s \cdot 0 = r

$w$ との内積。

q \cdot w = r (m \cdot w) + s (n \cdot w) = r \cdot 0 + s \cdot 1 = s

である。したがって

r = q \cdot v, s = q \cdot w

である。

(2) の4つの条件は「 $v, w$ が $m, n$ の成分を取り出す道具である」という意味だった。 $m$ 方向の成分を知りたければ $v$ と内積をとればよい。 $m, n$ が直交しているときは $v = \frac{m}{∣ m ∣ ^{2}}$ 、 $w = \frac{n}{∣ n ∣ ^{2}}$ になり、ふつうの正射影の話と重なる。