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九州大学　2023年度　前期日程　文科系

第4問確率の解答・解説

1 の3乗根・共役複素数・確率漸化式・対称性当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $ω^{2} = \overline{ω}$ となることを示す

答 $ω^{3} = 1$ と $∣ ω ∣ = 1$ から $\overline{ω} = \frac{1}{ω} = ω^{2}$

$ω$ は $x^{3} = 1$ の解なので $∣ ω ∣^{3} = 1$ 、よって $∣ ω ∣ = 1$ である。 $ω \overline{ω} = ∣ ω ∣^{2} = 1$ を使う。

$ω^{3} = 1$ の両辺の絶対値をとると $∣ ω ∣^{3} = 1$ で、 $∣ ω ∣ > 0$ の実数だから $∣ ω ∣ = 1$ である。したがって

ω \overline{ω} = ∣ ω ∣^{2} = 1

すなわち $\overline{ω} = \frac{1}{ω}$ である。一方 $ω^{3} = 1$ より $\frac{1}{ω} = ω^{2}$ なので

ω^{2} = \overline{ω}

である。

具体的に $ω = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ なので $ω^{2} = \frac{1 - 2 3 i - 3}{4} = \frac{- 1 - 3 i}{2} = \overline{ω}$ と直接計算してもよい。

$ω = - 0.5 + 0.866025 i$ で $ω^{2}$ と $\overline{ω}$ が小数15桁まで一致した。

$ω \neq = 0$ なので $\frac{1}{ω}$ と書いてよい。

$ω^{2} = \overline{ω}$ は後の小問でずっと使う。 $\overline{ω z} = \overline{ω} \overline{z} = ω^{2} \overline{z}$ のように書き換えられる。

(2) $z_{n} = 0$ となる確率を $n$ の式で表す

答 $P (z_{n} = 0) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} (- \frac{1}{3})^{n - 1}$

$z_{k} = 0$ なら次は必ず $0$ でない（ $ω^{t}$ は絶対値 $1$ ）。 $z_{k} \neq = 0$ なら、次が $0$ になるのは $t = 1, 2$ のときだけ。これで $p_{n}$ の漸化式が1本で書ける。

$p_{n} = P (z_{n} = 0)$ とおく。 $z_{1} = 0$ より $p_{1} = 1$ である。

$z_{k} = 0$ のとき： $z_{k + 1} = ω^{t}$ で $∣ ω^{t} ∣ = 1 \neq = 0$ 。 $z_{k + 1} = 0$ にはならない（確率 $0$ ）
$z_{k} \neq = 0$ のとき： $z_{k + 1} = 0$ となるのは $t = 1, 2$ のときだけで、確率 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

よって

p_{n + 1} = 0 \cdot p_{n} + \frac{1}{3} (1 - p_{n}) = \frac{1 - p _{n}}{3}

である。

解く。 不動点は $p = \frac{1 - p}{3}$ 、すなわち $p = \frac{1}{4}$ である。両辺から引くと

p_{n + 1} - \frac{1}{4} = \frac{1 - p _{n}}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 4 p _{n} - 3}{12} = - \frac{1}{3} (p_{n} - \frac{1}{4})

なので ${p_{n} - \frac{1}{4}}$ は公比 $- \frac{1}{3}$ の等比数列である。初項は $p_{1} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ だから

p_{n} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} (- \frac{1}{3})^{n - 1}

である（ $p_{1} = 1$ 、 $p_{2} = 0$ 、 $p_{3} = \frac{1}{3}$ 、 $p_{4} = \frac{2}{9}$ 、…）。

$n \leq 8$ まで分数のまま遷移を計算すると $1, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{7}{27}, \frac{20}{81}, \frac{61}{243}, \frac{182}{729}$ となり、式と完全に一致した。

$z_{k} = 0$ から $z_{k + 1} = 0$ には決して行かない。ここを $\frac{1}{3}$ にしてしまうと別の数列になる。

$t = 1, 2$ の2通りなので確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。

$p_{2} = 0$ になる。 $z_{2}$ は必ず $ω^{t}$ （ $0$ でない）だからで、式でも $\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$ と合う。

(3) $z_{3} = 1$ 、 $z_{3} = ω$ 、 $z_{3} = ω^{2}$ となる確率をそれぞれ求める

答どれも $\frac{2}{9}$

$z_{2}$ は $1, ω, ω^{2}$ のどれかで、それぞれ確率 $\frac{1}{3}$ である。あとは $z_{2}$ の値ごとに $t = 3, 4, 5, 6$ の行き先を書き出す。(1) の $\overline{ω} = ω^{2}$ を使うと、すべて $ω$ のべきで書ける。

$z_{2}$ の分布。 $z_{1} = 0$ なので $z_{2} = ω^{t}$ である。 $ω^{3} = 1$ より

t = 1, 4 \to ω, t = 2, 5 \to ω^{2}, t = 3, 6 \to 1

なので、 $z_{2}$ は $1, ω, ω^{2}$ のそれぞれを確率 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ でとる。

$z_{2}$ から $z_{3}$ へ。 $z_{2} \neq = 0$ なので、 $t = 1, 2$ なら $0$ 、 $t = 3, 4, 5, 6$ ならそれぞれ $ω z_{2}$ 、 $\overline{ω z_{2}}$ 、 $z_{2}$ 、 $\overline{z_{2}}$ である。(1) より $\overline{ω^{j}} = ω^{- j}$ なので

$z_{2} = 1$ ： $t = 3 \to ω$ 、 $t = 4 \to \overline{ω} = ω^{2}$ 、 $t = 5 \to 1$ 、 $t = 6 \to 1$
$z_{2} = ω$ ： $t = 3 \to ω^{2}$ 、 $t = 4 \to \overline{ω^{2}} = ω$ 、 $t = 5 \to ω$ 、 $t = 6 \to ω^{2}$
$z_{2} = ω^{2}$ ： $t = 3 \to ω^{3} = 1$ 、 $t = 4 \to \overline{1} = 1$ 、 $t = 5 \to ω^{2}$ 、 $t = 6 \to ω$

それぞれ $\frac{1}{6}$ ずつである。足し合わせると

P (z_{3} = 1) P (z_{3} = ω) P (z_{3} = ω^{2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{6} + \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{9}

である。確かに $\frac{2}{9} \times 3 + P (z_{3} = 0) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ になっている。

分数のまま遷移を計算すると、 $n = 3$ で $P (1) = P (ω) = P (ω^{2}) = \frac{2}{9}$ 、 $P (0) = \frac{1}{3}$ になった。

$\overline{ω z_{k}}$ は「 $ω z_{k}$ の共役」である。 $\overline{ω} \cdot z_{k}$ ではない。

$ω^{j}$ の共役は $ω^{- j} = ω^{3 - j}$ である。 $\overline{ω^{2}} = ω$ 、 $\overline{1} = 1$ 。

$z_{2} = ω$ からは $1$ に行けない。行き先が $ω$ と $ω^{2}$ だけなのは、 $ω$ を掛けたり共役をとったりしても $1$ にならないからである。

(4) $z_{n} = 1$ となる確率を $n$ の式で表す

答 $P (z_{n} = 1) = \frac{1}{4} {1 - (- \frac{1}{3})^{n - 1}}$

$1, ω, ω^{2}$ の3つがつねに同じ確率であることを帰納法で示す。そうすれば $P (z_{n} = 1) = \frac{1 - p _{n}}{3}$ で済む。

$a_{n} = P (z_{n} = 1)$ 、 $b_{n} = P (z_{n} = ω)$ 、 $c_{n} = P (z_{n} = ω^{2})$ とおく。

遷移をまとめる。 (3) の表から、 $z_{k}$ の値ごとの行き先（各 $\frac{1}{6}$ ）は

z_{k} 01 ω ω^{2} \to 1 \frac{2}{6} \frac{2}{6} 0 \frac{2}{6} \to ω \frac{2}{6} \frac{1}{6} \frac{2}{6} \frac{1}{6} \to ω^{2} \frac{2}{6} \frac{1}{6} \frac{2}{6} \frac{1}{6}

である。したがって

a_{n + 1} b_{n + 1} c_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n} + 0 \cdot b_{n} + \frac{1}{3} c_{n} + \frac{1}{3} p_{n} = \frac{1}{6} a_{n} + \frac{1}{3} b_{n} + \frac{1}{6} c_{n} + \frac{1}{3} p_{n} = \frac{1}{6} a_{n} + \frac{1}{3} b_{n} + \frac{1}{6} c_{n} + \frac{1}{3} p_{n}

である。

3つは等しい。 $n = 1$ では $a_{1} = b_{1} = c_{1} = 0$ である。 $a_{n} = b_{n} = c_{n}$ と仮定すると、上の3式はいずれも

\frac{1}{3} a_{n} + \frac{1}{3} a_{n} + \frac{1}{3} p_{n} と \frac{1}{6} a_{n} + \frac{1}{3} a_{n} + \frac{1}{6} a_{n} + \frac{1}{3} p_{n}

すなわちどちらも $\frac{2}{3} a_{n} + \frac{1}{3} p_{n}$ になり、 $a_{n + 1} = b_{n + 1} = c_{n + 1}$ である。よって帰納法によりすべての $n$ で3つは等しい。

答え。 $a_{n} + b_{n} + c_{n} + p_{n} = 1$ と $a_{n} = b_{n} = c_{n}$ から

a_{n} = \frac{1 - p _{n}}{3} = \frac{1}{3} {1 - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} (- \frac{1}{3})^{n - 1}} = \frac{1}{4} {1 - (- \frac{1}{3})^{n - 1}}

である（ $a_{1} = 0$ 、 $a_{2} = \frac{1}{3}$ 、 $a_{3} = \frac{2}{9}$ 、 $a_{4} = \frac{7}{27}$ 、…）。

$p_{n} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} (- \frac{1}{3})^{n - 1}$ と見比べると $p_{n + 1} = a_{n}$ になっている。「1手前に $1$ だった確率」と「いま $0$ である確率」が一致する、という形で、 $z_{k} \neq = 0$ からは一律 $\frac{1}{3}$ で $0$ に落ちることの裏返しである。

$n \leq 8$ まで分数のまま計算すると $0, \frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{7}{27}, \frac{20}{81}, \frac{61}{243}, \frac{182}{729}, \frac{547}{2187}$ で、式と完全に一致した。3つの値の確率がつねに等しいことも確かめた。