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九州大学　2023年度　前期日程　文科系

第2問微分法の解答・解説

接線・外心・正弦定理・最大最小当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)点 $B$ の座標を $t$ を用いて表す

答 $B (\frac{2 t}{3}, - \frac{2 t}{3})$

接線 $ℓ$ の方程式を書き、 $y = - x$ と連立する。 $t^{3}$ の項がうまく打ち消し合う。

$y^{'} = 3 x^{2} - 1$ なので、 $A (t, t^{3} - t)$ での接線は

ℓ : y = (3 t^{2} - 1) (x - t) + t^{3} - t

である。 $y = - x$ を代入すると

- x = (3 t^{2} - 1) x - (3 t^{2} - 1) t + t^{3} - t

で、右辺の定数部分は

- 3 t^{3} + t + t^{3} - t = - 2 t^{3}

だから

- x - (3 t^{2} - 1) x = - 2 t^{3} ⟺ - 3 t^{2} x = - 2 t^{3}

である。 $t > 0$ より $x = \frac{2 t}{3}$ 、よって

B (\frac{2 t}{3}, - \frac{2 t}{3})

である。

$t = 0.3, 0.7, 1, 1.5, 2$ で接線と $y = - x$ の交点を計算すると、どれも $(\frac{2 t}{3}, - \frac{2 t}{3})$ に一致した。

$x$ の係数が $- 1 - (3 t^{2} - 1) = - 3 t^{2}$ になる。 $- 1$ どうしが打ち消して $t^{2}$ だけ残るのが要点。

$t > 0$ なので $3 t^{2} \neq = 0$ 、割ってよい。

(2) $θ = ∠ OBA$ とするとき $sin^{2} θ$ を $t$ を用いて表す

答 $sin^{2} θ = \frac{9 t ^{4}}{2 ( 9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2 )}$

$BO$ と $BA$ の「たすきがけ」（外積の大きさ）が $BO BA sin θ$ に等しい。これを2乗して割ればよい。

$B (\frac{2 t}{3}, - \frac{2 t}{3})$ 、 $O (0, 0)$ 、 $A (t, t^{3} - t)$ より

BO = (- \frac{2 t}{3}, \frac{2 t}{3}), BA = (\frac{t}{3}, t^{3} - \frac{t}{3})

である。

たすきがけ。

(- \frac{2 t}{3}) (t^{3} - \frac{t}{3}) - \frac{2 t}{3} \cdot \frac{t}{3} = - \frac{2 t ^{4}}{3} + \frac{2 t ^{2}}{9} - \frac{2 t ^{2}}{9} = - \frac{2 t ^{4}}{3}

なので $BO BA sin θ = \frac{2 t ^{4}}{3}$ である（ $t > 0$ ）。

大きさ。

BO^{2} = \frac{8 t ^{2}}{9}, BA^{2} = \frac{t ^{2}}{9} + t^{2} (t^{2} - \frac{1}{3})^{2} = t^{2} \cdot \frac{9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2}{9}

である（ $\frac{1}{9} + (t^{2} - \frac{1}{3})^{2} = t^{4} - \frac{2}{3} t^{2} + \frac{2}{9} = \frac{9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2}{9}$ ）。

まとめる。

sin^{2} θ = \frac{( \frac{2 t ^{4}}{3} ) ^{2}}{BO ^{2} BA ^{2}} = \frac{\frac{4}{9} t ^{8}}{\frac{8 t ^{2}}{9} \cdot \frac{t ^{2} ( 9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2 )}{9}} = \frac{\frac{4}{9} t ^{8} \cdot 81}{8 t ^{4} ( 9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2 )} = \frac{9 t ^{4}}{2 ( 9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2 )}

である。

分母の $9 t^{4} - 6 t^{2} + 2 = (3 t^{2} - 1)^{2} + 1 > 0$ なので、どんな $t > 0$ でも定義される。

$t$ を $4000$ 点とって外積から $sin^{2} θ$ を直接計算すると、この式と $1 0^{- 9}$ 以内で一致した。

$cos θ$ から $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ と回ると計算が重い。たすきがけで直接 $sin$ を出すほうが早い。

$BO$ であって $OB$ ではない。角の頂点が $B$ である。

$BA^{2}$ から $t^{2}$ がくくり出せる。これが約分されて式が軽くなる。

(3) $f (t) = \frac{OP}{OA}$ とするとき、 $t > 0$ で $f (t)$ を最小にする $t$ と最小値を求める

答 $t = \frac{6}{3}$ のとき最小値 $\frac{1}{2}$

$P$ は $△ OAB$ の外心なので $OP$ は外接円の半径 $R$ である。正弦定理 $\frac{OA}{sin θ} = 2 R$ から $f (t) = \frac{1}{2 sin θ}$ となり、 $sin^{2} θ$ を最大にすればよい。

$P$ は $△ OAB$ の外心だから、 $OP$ は外接円の半径 $R$ である。辺 $OA$ の対角が $θ = ∠ OBA$ なので、正弦定理より

\frac{OA}{sin θ} = 2 R = 2 OP

すなわち

f (t) = \frac{OP}{OA} = \frac{1}{2 sin θ}

である。 $0 < θ < π$ で $sin θ > 0$ だから、 $f$ を最小にするのは $sin θ$ を最大にすることと同じで、(2) の $sin^{2} θ$ を最大にすればよい。

最大を探す。 $u = t^{2} > 0$ とおくと

sin^{2} θ = \frac{9}{2} \cdot \frac{u ^{2}}{9 u ^{2} - 6 u + 2}

である。 $h (u) = \frac{u ^{2}}{9 u ^{2} - 6 u + 2}$ を微分すると

h^{'} (u) = \frac{2 u ( 9 u ^{2} - 6 u + 2 ) - u ^{2} ( 18 u - 6 )}{( 9 u ^{2} - 6 u + 2 ) ^{2}} = \frac{- 6 u ^{2} + 4 u}{( 9 u ^{2} - 6 u + 2 ) ^{2}} = \frac{2 u ( 2 - 3 u )}{( 9 u ^{2} - 6 u + 2 ) ^{2}}

である。 $u > 0$ なので符号は $2 - 3 u$ で決まり、 $u = \frac{2}{3}$ で $h$ は最大になる。

h (\frac{2}{3}) = \frac{\frac{4}{9}}{9 \cdot \frac{4}{9} - 4 + 2} = \frac{\frac{4}{9}}{2} = \frac{2}{9}

なので

sin^{2} θ = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9} = 1, sin θ = 1

すなわち $θ = \frac{π}{2}$ である。このとき

f (t) = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}, t = \frac{2}{3} = \frac{6}{3}

である。

t = \frac{6}{3} = 0.816

のとき。

A

での接線（細い点線）と

y = - x

（薄い点線）の交点が

B

で、このとき

∠ OBA = 9 0^{\circ}

になる。

OA

が外接円（薄い円）の直径になるので、外心

P

は

OA

の中点にあり、

\frac{OP}{OA} = \frac{1}{2}

が最小値である。

$sin θ \leq 1$ なので $f (t) = \frac{1}{2 sin θ} \geq \frac{1}{2}$ は最初から分かる。 $OA$ が外接円の直径になるとき（ $θ = 9 0^{\circ}$ ）に等号で、そのときだけ $OP = \frac{OA}{2}$ になる。要は「 $θ = 9 0^{\circ}$ を実現する $t$ があるか」が問題だった、と読める。