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全4問・無料

九州大学　2023年度　前期日程　文科系

九大文系 2023年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　積分法

絶対値のついた放物線・面積の等分・1/6 公式・3乗根当サイトの体感難易度：やや難

$C : y = ∣ (x - 3) (x + 3) ∣$ と $ℓ : y = a$ （ $0 < a < 9$ ）で囲まれる図形のうち、 $y \geq a$ にある部分の面積を $S_{1}$ 、 $y \leq a$ にある部分の面積を $S_{2}$ とするとき、 $S_{1} = S_{2}$ となる $a$ を求める

答 $a = 9 (34 - 1)$

$C$ は $∣ x ∣ \leq 3$ では上に凸の山、 $∣ x ∣ \geq 3$ では下に凸の谷である。 $ℓ$ との交点は $x = \pm 9 - a$ （山の側）と $x = \pm 9 + a$ （谷の側）の4つ。それぞれの面積を $p = 9 - a$ 、 $q = 9 + a$ で表す。

$C : y = x^{2} - 9$ である。 $p = 9 - a$ 、 $q = 9 + a$ とおくと、 $0 < a < 9$ より $0 < p < 3 < q$ で、 $ℓ$ との交点の $x$ 座標は $\pm p$ 、 $\pm q$ である。

$S_{1}$ 。 $- p \leq x \leq p$ では $C$ （ $= 9 - x^{2}$ ）が $ℓ$ の上にある。

S_{1} = \int_{- p}^{p} {(9 - x^{2}) - a} d x = \int_{- p}^{p} (p^{2} - x^{2}) d x = 2 [p^{2} x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{p} = 2 (p^{3} - \frac{p ^{3}}{3}) = \frac{4}{3} p^{3}

である（ $9 - a = p^{2}$ を使った）。

$S_{2}$ 。 左右対称なので、右半分（ $p \leq x \leq q$ ）を2倍する。 $p \leq x \leq 3$ では $C = 9 - x^{2}$ 、 $3 \leq x \leq q$ では $C = x^{2} - 9$ である。

\frac{S _{2}}{2} = \int_{p}^{3} {a - (9 - x^{2})} d x + \int_{3}^{q} {a - (x^{2} - 9)} d x = \int_{p}^{3} (x^{2} - p^{2}) d x + \int_{3}^{q} (q^{2} - x^{2}) d x

である。それぞれ計算すると

\int_{p}^{3} (x^{2} - p^{2}) d x \int_{3}^{q} (q^{2} - x^{2}) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - p^{2} x]_{p}^{3} = 9 - 3 p^{2} + \frac{2}{3} p^{3} = [q^{2} x - \frac{x ^{3}}{3}]_{3}^{q} = \frac{2}{3} q^{3} - 3 q^{2} + 9

で、 $p^{2} + q^{2} = (9 - a) + (9 + a) = 18$ だから

\frac{S _{2}}{2} = 18 - 3 \cdot 18 + \frac{2}{3} (p^{3} + q^{3}) = - 36 + \frac{2}{3} (p^{3} + q^{3})

すなわち

S_{2} = - 72 + \frac{4}{3} (p^{3} + q^{3})

である。

$S_{1} = S_{2}$ 。

\frac{4}{3} p^{3} = - 72 + \frac{4}{3} p^{3} + \frac{4}{3} q^{3} ⟺ \frac{4}{3} q^{3} = 72 ⟺ q^{3} = 54

である。 $p^{3}$ が両辺から消えるのが気持ちよいところである。 $q = 354 = 332$ なので

a = q^{2} - 9 = (332)^{2} - 9 = 934 - 9 = 9 (34 - 1)

である（ $5.287$ ほど）。 $34 = 1.587$ なので $0 < a < 9$ をみたしている。

C : y = x^{2} - 9

と

ℓ : y = a

（

a = 9 (34 - 1) = 5.287

）。山の頂上を切り取った部分が

S_{1}

、左右2つの谷の部分が

S_{2}

で、この

a

でちょうど等しくなる。交点は

x = \pm 9 - a = \pm 1.927

と

x = \pm 9 + a = \pm 3.780

。

$a = 5.286609468$ で数値積分すると $S_{1} = S_{2} = 9.5410171$ になった。 $a = 3$ では $S_{1} - S_{2} = + 16.57$ 、 $a = 7$ では $- 13.33$ と符号が変わり、この $a$ で入れ替わることも確かめた。 $q^{3} = 54.0$ も一致した。

$C$ は $x = \pm 3$ で折れている。 $S_{2}$ の積分はそこで分ける。

$p = 9 - a$ 、 $q = 9 + a$ とおくと $p^{2} + q^{2} = 18$ が使えて、 $S_{2}$ の定数部分がまとまる。

$S_{1} = S_{2}$ で $p^{3}$ が消え、 $q$ だけの式になる。 $a$ のまま押し通すと3乗根が見えにくい。

$(332)^{2} = 934$ である。 $32$ の2乗は $34$ 。

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第2問　微分法

接線・外心・正弦定理・最大最小当サイトの体感難易度：難

(1)点 $B$ の座標を $t$ を用いて表す

答 $B (\frac{2 t}{3}, - \frac{2 t}{3})$

接線 $ℓ$ の方程式を書き、 $y = - x$ と連立する。 $t^{3}$ の項がうまく打ち消し合う。

$y^{'} = 3 x^{2} - 1$ なので、 $A (t, t^{3} - t)$ での接線は

ℓ : y = (3 t^{2} - 1) (x - t) + t^{3} - t

である。 $y = - x$ を代入すると

- x = (3 t^{2} - 1) x - (3 t^{2} - 1) t + t^{3} - t

で、右辺の定数部分は

- 3 t^{3} + t + t^{3} - t = - 2 t^{3}

だから

- x - (3 t^{2} - 1) x = - 2 t^{3} ⟺ - 3 t^{2} x = - 2 t^{3}

である。 $t > 0$ より $x = \frac{2 t}{3}$ 、よって

B (\frac{2 t}{3}, - \frac{2 t}{3})

である。

$t = 0.3, 0.7, 1, 1.5, 2$ で接線と $y = - x$ の交点を計算すると、どれも $(\frac{2 t}{3}, - \frac{2 t}{3})$ に一致した。

$x$ の係数が $- 1 - (3 t^{2} - 1) = - 3 t^{2}$ になる。 $- 1$ どうしが打ち消して $t^{2}$ だけ残るのが要点。

$t > 0$ なので $3 t^{2} \neq = 0$ 、割ってよい。

(2) $θ = ∠ OBA$ とするとき $sin^{2} θ$ を $t$ を用いて表す

答 $sin^{2} θ = \frac{9 t ^{4}}{2 ( 9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2 )}$

$BO$ と $BA$ の「たすきがけ」（外積の大きさ）が $BO BA sin θ$ に等しい。これを2乗して割ればよい。

$B (\frac{2 t}{3}, - \frac{2 t}{3})$ 、 $O (0, 0)$ 、 $A (t, t^{3} - t)$ より

BO = (- \frac{2 t}{3}, \frac{2 t}{3}), BA = (\frac{t}{3}, t^{3} - \frac{t}{3})

である。

たすきがけ。

(- \frac{2 t}{3}) (t^{3} - \frac{t}{3}) - \frac{2 t}{3} \cdot \frac{t}{3} = - \frac{2 t ^{4}}{3} + \frac{2 t ^{2}}{9} - \frac{2 t ^{2}}{9} = - \frac{2 t ^{4}}{3}

なので $BO BA sin θ = \frac{2 t ^{4}}{3}$ である（ $t > 0$ ）。

大きさ。

BO^{2} = \frac{8 t ^{2}}{9}, BA^{2} = \frac{t ^{2}}{9} + t^{2} (t^{2} - \frac{1}{3})^{2} = t^{2} \cdot \frac{9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2}{9}

である（ $\frac{1}{9} + (t^{2} - \frac{1}{3})^{2} = t^{4} - \frac{2}{3} t^{2} + \frac{2}{9} = \frac{9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2}{9}$ ）。

まとめる。

sin^{2} θ = \frac{( \frac{2 t ^{4}}{3} ) ^{2}}{BO ^{2} BA ^{2}} = \frac{\frac{4}{9} t ^{8}}{\frac{8 t ^{2}}{9} \cdot \frac{t ^{2} ( 9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2 )}{9}} = \frac{\frac{4}{9} t ^{8} \cdot 81}{8 t ^{4} ( 9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2 )} = \frac{9 t ^{4}}{2 ( 9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2 )}

である。

分母の $9 t^{4} - 6 t^{2} + 2 = (3 t^{2} - 1)^{2} + 1 > 0$ なので、どんな $t > 0$ でも定義される。

$t$ を $4000$ 点とって外積から $sin^{2} θ$ を直接計算すると、この式と $1 0^{- 9}$ 以内で一致した。

$cos θ$ から $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ と回ると計算が重い。たすきがけで直接 $sin$ を出すほうが早い。

$BO$ であって $OB$ ではない。角の頂点が $B$ である。

$BA^{2}$ から $t^{2}$ がくくり出せる。これが約分されて式が軽くなる。

(3) $f (t) = \frac{OP}{OA}$ とするとき、 $t > 0$ で $f (t)$ を最小にする $t$ と最小値を求める

答 $t = \frac{6}{3}$ のとき最小値 $\frac{1}{2}$

$P$ は $△ OAB$ の外心なので $OP$ は外接円の半径 $R$ である。正弦定理 $\frac{OA}{sin θ} = 2 R$ から $f (t) = \frac{1}{2 sin θ}$ となり、 $sin^{2} θ$ を最大にすればよい。

$P$ は $△ OAB$ の外心だから、 $OP$ は外接円の半径 $R$ である。辺 $OA$ の対角が $θ = ∠ OBA$ なので、正弦定理より

\frac{OA}{sin θ} = 2 R = 2 OP

すなわち

f (t) = \frac{OP}{OA} = \frac{1}{2 sin θ}

である。 $0 < θ < π$ で $sin θ > 0$ だから、 $f$ を最小にするのは $sin θ$ を最大にすることと同じで、(2) の $sin^{2} θ$ を最大にすればよい。

最大を探す。 $u = t^{2} > 0$ とおくと

sin^{2} θ = \frac{9}{2} \cdot \frac{u ^{2}}{9 u ^{2} - 6 u + 2}

である。 $h (u) = \frac{u ^{2}}{9 u ^{2} - 6 u + 2}$ を微分すると

h^{'} (u) = \frac{2 u ( 9 u ^{2} - 6 u + 2 ) - u ^{2} ( 18 u - 6 )}{( 9 u ^{2} - 6 u + 2 ) ^{2}} = \frac{- 6 u ^{2} + 4 u}{( 9 u ^{2} - 6 u + 2 ) ^{2}} = \frac{2 u ( 2 - 3 u )}{( 9 u ^{2} - 6 u + 2 ) ^{2}}

である。 $u > 0$ なので符号は $2 - 3 u$ で決まり、 $u = \frac{2}{3}$ で $h$ は最大になる。

h (\frac{2}{3}) = \frac{\frac{4}{9}}{9 \cdot \frac{4}{9} - 4 + 2} = \frac{\frac{4}{9}}{2} = \frac{2}{9}

なので

sin^{2} θ = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9} = 1, sin θ = 1

すなわち $θ = \frac{π}{2}$ である。このとき

f (t) = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}, t = \frac{2}{3} = \frac{6}{3}

である。

t = \frac{6}{3} = 0.816

のとき。

A

での接線（細い点線）と

y = - x

（薄い点線）の交点が

B

で、このとき

∠ OBA = 9 0^{\circ}

になる。

OA

が外接円（薄い円）の直径になるので、外心

P

は

OA

の中点にあり、

\frac{OP}{OA} = \frac{1}{2}

が最小値である。

$sin θ \leq 1$ なので $f (t) = \frac{1}{2 sin θ} \geq \frac{1}{2}$ は最初から分かる。 $OA$ が外接円の直径になるとき（ $θ = 9 0^{\circ}$ ）に等号で、そのときだけ $OP = \frac{OA}{2}$ になる。要は「 $θ = 9 0^{\circ}$ を実現する $t$ があるか」が問題だった、と読める。

外心を3点から連立で求めて $\frac{OP}{OA}$ を $40$ 万点で調べると、最小は $t = 0.8165$ での $0.500000000$ だった（ $\frac{6}{3} = 0.816497$ ）。その $t$ で $sin^{2} θ = 1.0$ になった。

$OP$ が外接円の半径であることに気づくのが第一歩。 $P$ の座標を求める必要はない。

正弦定理で対応する辺と角を取り違えない。 $θ = ∠ OBA$ の対辺は $OA$ である。

$u = t^{2}$ とおいて1変数の分数関数にする。 $t$ のまま微分すると次数が上がる。

$t > 0$ なので $t = - \frac{6}{3}$ は答えにしない。

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第3問　ベクトル

平行条件・連立1次方程式・双対基底・成分の取り出し当サイトの体感難易度：やや難

(1) $m$ と $n$ が平行であるための必要十分条件は $D = 0$ であることを示す

答平行 $\Rightarrow$ $D = 0$ は代入で、 $D = 0$ $\Rightarrow$ 平行は $a \neq = 0$ と $c \neq = 0$ で場合分けして示す

両向きを別々に示す。 $\Leftarrow$ の向きでは $m \neq = 0$ を使って、 $a \neq = 0$ か $c \neq = 0$ かで割る相手を選ぶ。

平行 $\Rightarrow$ $D = 0$ 。 $m, n$ はどちらも $0$ でないので、平行なら $n = k m$ （ $k \neq = 0$ ）と書ける。 $b = k a$ 、 $d = k c$ だから

D = a d - b c = a (k c) - (k a) c = 0

である。

$D = 0$ $\Rightarrow$ 平行。 $a d = b c$ とする。 $m = (a, c) \neq = 0$ なので $a \neq = 0$ または $c \neq = 0$ である。

$a \neq = 0$ のとき： $d = \frac{b c}{a}$ なので $n = (b, \frac{b c}{a}) = \frac{b}{a} (a, c) = \frac{b}{a} m$
$c \neq = 0$ のとき： $b = \frac{a d}{c}$ なので $n = (\frac{a d}{c}, d) = \frac{d}{c} (a, c) = \frac{d}{c} m$

どちらでも $n$ は $m$ の実数倍である。 $n \neq = 0$ なので倍率は $0$ でなく、2つは平行である。

以上より、平行であることと $D = 0$ は同値である。

$m = (1, 2)$ 、 $n = (2, 4)$ では $D = 0$ で $n = 2 m$ 、 $m = (1, 2)$ 、 $n = (2, 3)$ では $D = - 1 \neq = 0$ で平行でない。

「必要十分条件」なので両向きを示す。片方だけでは足りない。

$D = 0$ から $n = k m$ を出すとき、いきなり $a$ で割らない。 $a = 0$ の場合は $c \neq = 0$ を使う。

$m \neq = 0$ 、 $n \neq = 0$ が仮定にある。 $0$ は「どのベクトルとも平行」とも「平行でない」とも扱えるので、はじめから除かれている。

(2) $m \cdot v = n \cdot w = 1$ 、 $m \cdot w = n \cdot v = 0$ をみたす $v, w$ を求める

答 $v = (\frac{d}{D}, - \frac{b}{D})$ 、 $w = (- \frac{c}{D}, \frac{a}{D})$

$v = (v_{1}, v_{2})$ とおくと、条件は $v_{1}, v_{2}$ についての連立1次方程式になる。係数行列の「たすきがけ」がちょうど $D$ で、 $D \neq = 0$ だから一意に解ける。

$v$ を求める。 $v = (v_{1}, v_{2})$ とおくと条件は

{m \cdot v = a v_{1} + c v_{2} = 1 n \cdot v = b v_{1} + d v_{2} = 0

である。上を $d$ 倍、下を $c$ 倍して引くと $(a d - b c) v_{1} = d$ 、つまり $v_{1} = \frac{d}{D}$ 。上を $b$ 倍、下を $a$ 倍して引くと $(b c - a d) v_{2} = b$ 、つまり $v_{2} = - \frac{b}{D}$ 。よって

v = (\frac{d}{D}, - \frac{b}{D})

である。

$w$ を求める。 $w = (w_{1}, w_{2})$ とおくと

{a w_{1} + c w_{2} = 0 b w_{1} + d w_{2} = 1

で、同じように解いて

w = (- \frac{c}{D}, \frac{a}{D})

である。 $D \neq = 0$ なのでどちらも一意に定まる。

この $v, w$ の役目は「 $q = r m + s n$ と書けたとき、 $r$ と $s$ を取り出す」ことである。実際、内積をとると $q \cdot v = r (m \cdot v) + s (n \cdot v) = r$ 、同様に $q \cdot w = s$ となる。(3) はこの性質で解ける。

$a, b, c, d$ をランダムに $2$ 万組とって4つの内積を計算すると、すべて条件どおりだった。

$v$ は「 $m$ 方向」ではない。 $n$ と垂直で、 $m$ との内積が $1$ になるベクトルである。

成分の位置に注意。 $v$ には $d, b$ 、 $w$ には $c, a$ が出る。入れ替えないこと。

(3)座標平面上のベクトル $q$ に対して $r m + s n = q$ をみたす実数 $r, s$ を $q, v, w$ を用いて表す

答 $r = q \cdot v$ 、 $s = q \cdot w$

$q = r m + s n$ の両辺と $v$ の内積をとる。(2) の4つの条件から、 $r$ だけが残る。

$D \neq = 0$ なので (1) より $m$ と $n$ は平行でなく、どんな $q$ も $r m + s n$ の形に（ただ1通りに）書ける。

$v$ との内積。

q \cdot v = (r m + s n) \cdot v = r (m \cdot v) + s (n \cdot v) = r \cdot 1 + s \cdot 0 = r

$w$ との内積。

q \cdot w = r (m \cdot w) + s (n \cdot w) = r \cdot 0 + s \cdot 1 = s

である。したがって

r = q \cdot v, s = q \cdot w

である。

(2) の4つの条件は「 $v, w$ が $m, n$ の成分を取り出す道具である」という意味だった。 $m$ 方向の成分を知りたければ $v$ と内積をとればよい。 $m, n$ が直交しているときは $v = \frac{m}{∣ m ∣ ^{2}}$ 、 $w = \frac{n}{∣ n ∣ ^{2}}$ になり、ふつうの正射影の話と重なる。

$a, b, c, d, q$ をランダムに $2$ 万組とって $r = q \cdot v$ 、 $s = q \cdot w$ とすると、つねに $r m + s n = q$ になった。

$q \cdot v$ で $r$ が出る。 $m$ との内積ではない。

$n \cdot v = 0$ 、 $m \cdot w = 0$ が効いて、もう一方が消える。(2) の条件をそのまま使う。

成分で書くと $r = \frac{q _{1} d - q _{2} b}{D}$ 、 $s = \frac{- q _{1} c + q _{2} a}{D}$ である。これは連立1次方程式を解いた答えと一致する。

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第4問　確率

1 の3乗根・共役複素数・確率漸化式・対称性当サイトの体感難易度：難

(1) $ω^{2} = \overline{ω}$ となることを示す

答 $ω^{3} = 1$ と $∣ ω ∣ = 1$ から $\overline{ω} = \frac{1}{ω} = ω^{2}$

$ω$ は $x^{3} = 1$ の解なので $∣ ω ∣^{3} = 1$ 、よって $∣ ω ∣ = 1$ である。 $ω \overline{ω} = ∣ ω ∣^{2} = 1$ を使う。

$ω^{3} = 1$ の両辺の絶対値をとると $∣ ω ∣^{3} = 1$ で、 $∣ ω ∣ > 0$ の実数だから $∣ ω ∣ = 1$ である。したがって

ω \overline{ω} = ∣ ω ∣^{2} = 1

すなわち $\overline{ω} = \frac{1}{ω}$ である。一方 $ω^{3} = 1$ より $\frac{1}{ω} = ω^{2}$ なので

ω^{2} = \overline{ω}

である。

具体的に $ω = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ なので $ω^{2} = \frac{1 - 2 3 i - 3}{4} = \frac{- 1 - 3 i}{2} = \overline{ω}$ と直接計算してもよい。

$ω = - 0.5 + 0.866025 i$ で $ω^{2}$ と $\overline{ω}$ が小数15桁まで一致した。

$ω \neq = 0$ なので $\frac{1}{ω}$ と書いてよい。

$ω^{2} = \overline{ω}$ は後の小問でずっと使う。 $\overline{ω z} = \overline{ω} \overline{z} = ω^{2} \overline{z}$ のように書き換えられる。

(2) $z_{n} = 0$ となる確率を $n$ の式で表す

答 $P (z_{n} = 0) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} (- \frac{1}{3})^{n - 1}$

$z_{k} = 0$ なら次は必ず $0$ でない（ $ω^{t}$ は絶対値 $1$ ）。 $z_{k} \neq = 0$ なら、次が $0$ になるのは $t = 1, 2$ のときだけ。これで $p_{n}$ の漸化式が1本で書ける。

$p_{n} = P (z_{n} = 0)$ とおく。 $z_{1} = 0$ より $p_{1} = 1$ である。

$z_{k} = 0$ のとき： $z_{k + 1} = ω^{t}$ で $∣ ω^{t} ∣ = 1 \neq = 0$ 。 $z_{k + 1} = 0$ にはならない（確率 $0$ ）
$z_{k} \neq = 0$ のとき： $z_{k + 1} = 0$ となるのは $t = 1, 2$ のときだけで、確率 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

よって

p_{n + 1} = 0 \cdot p_{n} + \frac{1}{3} (1 - p_{n}) = \frac{1 - p _{n}}{3}

である。

解く。 不動点は $p = \frac{1 - p}{3}$ 、すなわち $p = \frac{1}{4}$ である。両辺から引くと

p_{n + 1} - \frac{1}{4} = \frac{1 - p _{n}}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 4 p _{n} - 3}{12} = - \frac{1}{3} (p_{n} - \frac{1}{4})

なので ${p_{n} - \frac{1}{4}}$ は公比 $- \frac{1}{3}$ の等比数列である。初項は $p_{1} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ だから

p_{n} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} (- \frac{1}{3})^{n - 1}

である（ $p_{1} = 1$ 、 $p_{2} = 0$ 、 $p_{3} = \frac{1}{3}$ 、 $p_{4} = \frac{2}{9}$ 、…）。

$n \leq 8$ まで分数のまま遷移を計算すると $1, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{7}{27}, \frac{20}{81}, \frac{61}{243}, \frac{182}{729}$ となり、式と完全に一致した。

$z_{k} = 0$ から $z_{k + 1} = 0$ には決して行かない。ここを $\frac{1}{3}$ にしてしまうと別の数列になる。

$t = 1, 2$ の2通りなので確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。

$p_{2} = 0$ になる。 $z_{2}$ は必ず $ω^{t}$ （ $0$ でない）だからで、式でも $\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$ と合う。

(3) $z_{3} = 1$ 、 $z_{3} = ω$ 、 $z_{3} = ω^{2}$ となる確率をそれぞれ求める

答どれも $\frac{2}{9}$

$z_{2}$ は $1, ω, ω^{2}$ のどれかで、それぞれ確率 $\frac{1}{3}$ である。あとは $z_{2}$ の値ごとに $t = 3, 4, 5, 6$ の行き先を書き出す。(1) の $\overline{ω} = ω^{2}$ を使うと、すべて $ω$ のべきで書ける。

$z_{2}$ の分布。 $z_{1} = 0$ なので $z_{2} = ω^{t}$ である。 $ω^{3} = 1$ より

t = 1, 4 \to ω, t = 2, 5 \to ω^{2}, t = 3, 6 \to 1

なので、 $z_{2}$ は $1, ω, ω^{2}$ のそれぞれを確率 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ でとる。

$z_{2}$ から $z_{3}$ へ。 $z_{2} \neq = 0$ なので、 $t = 1, 2$ なら $0$ 、 $t = 3, 4, 5, 6$ ならそれぞれ $ω z_{2}$ 、 $\overline{ω z_{2}}$ 、 $z_{2}$ 、 $\overline{z_{2}}$ である。(1) より $\overline{ω^{j}} = ω^{- j}$ なので

$z_{2} = 1$ ： $t = 3 \to ω$ 、 $t = 4 \to \overline{ω} = ω^{2}$ 、 $t = 5 \to 1$ 、 $t = 6 \to 1$
$z_{2} = ω$ ： $t = 3 \to ω^{2}$ 、 $t = 4 \to \overline{ω^{2}} = ω$ 、 $t = 5 \to ω$ 、 $t = 6 \to ω^{2}$
$z_{2} = ω^{2}$ ： $t = 3 \to ω^{3} = 1$ 、 $t = 4 \to \overline{1} = 1$ 、 $t = 5 \to ω^{2}$ 、 $t = 6 \to ω$

それぞれ $\frac{1}{6}$ ずつである。足し合わせると

P (z_{3} = 1) P (z_{3} = ω) P (z_{3} = ω^{2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{6} + \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{9}

である。確かに $\frac{2}{9} \times 3 + P (z_{3} = 0) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ になっている。

分数のまま遷移を計算すると、 $n = 3$ で $P (1) = P (ω) = P (ω^{2}) = \frac{2}{9}$ 、 $P (0) = \frac{1}{3}$ になった。

$\overline{ω z_{k}}$ は「 $ω z_{k}$ の共役」である。 $\overline{ω} \cdot z_{k}$ ではない。

$ω^{j}$ の共役は $ω^{- j} = ω^{3 - j}$ である。 $\overline{ω^{2}} = ω$ 、 $\overline{1} = 1$ 。

$z_{2} = ω$ からは $1$ に行けない。行き先が $ω$ と $ω^{2}$ だけなのは、 $ω$ を掛けたり共役をとったりしても $1$ にならないからである。

(4) $z_{n} = 1$ となる確率を $n$ の式で表す

答 $P (z_{n} = 1) = \frac{1}{4} {1 - (- \frac{1}{3})^{n - 1}}$

$1, ω, ω^{2}$ の3つがつねに同じ確率であることを帰納法で示す。そうすれば $P (z_{n} = 1) = \frac{1 - p _{n}}{3}$ で済む。

$a_{n} = P (z_{n} = 1)$ 、 $b_{n} = P (z_{n} = ω)$ 、 $c_{n} = P (z_{n} = ω^{2})$ とおく。

遷移をまとめる。 (3) の表から、 $z_{k}$ の値ごとの行き先（各 $\frac{1}{6}$ ）は

z_{k} 01 ω ω^{2} \to 1 \frac{2}{6} \frac{2}{6} 0 \frac{2}{6} \to ω \frac{2}{6} \frac{1}{6} \frac{2}{6} \frac{1}{6} \to ω^{2} \frac{2}{6} \frac{1}{6} \frac{2}{6} \frac{1}{6}

である。したがって

a_{n + 1} b_{n + 1} c_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n} + 0 \cdot b_{n} + \frac{1}{3} c_{n} + \frac{1}{3} p_{n} = \frac{1}{6} a_{n} + \frac{1}{3} b_{n} + \frac{1}{6} c_{n} + \frac{1}{3} p_{n} = \frac{1}{6} a_{n} + \frac{1}{3} b_{n} + \frac{1}{6} c_{n} + \frac{1}{3} p_{n}

である。

3つは等しい。 $n = 1$ では $a_{1} = b_{1} = c_{1} = 0$ である。 $a_{n} = b_{n} = c_{n}$ と仮定すると、上の3式はいずれも

\frac{1}{3} a_{n} + \frac{1}{3} a_{n} + \frac{1}{3} p_{n} と \frac{1}{6} a_{n} + \frac{1}{3} a_{n} + \frac{1}{6} a_{n} + \frac{1}{3} p_{n}

すなわちどちらも $\frac{2}{3} a_{n} + \frac{1}{3} p_{n}$ になり、 $a_{n + 1} = b_{n + 1} = c_{n + 1}$ である。よって帰納法によりすべての $n$ で3つは等しい。

答え。 $a_{n} + b_{n} + c_{n} + p_{n} = 1$ と $a_{n} = b_{n} = c_{n}$ から

a_{n} = \frac{1 - p _{n}}{3} = \frac{1}{3} {1 - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} (- \frac{1}{3})^{n - 1}} = \frac{1}{4} {1 - (- \frac{1}{3})^{n - 1}}

である（ $a_{1} = 0$ 、 $a_{2} = \frac{1}{3}$ 、 $a_{3} = \frac{2}{9}$ 、 $a_{4} = \frac{7}{27}$ 、…）。

$p_{n} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} (- \frac{1}{3})^{n - 1}$ と見比べると $p_{n + 1} = a_{n}$ になっている。「1手前に $1$ だった確率」と「いま $0$ である確率」が一致する、という形で、 $z_{k} \neq = 0$ からは一律 $\frac{1}{3}$ で $0$ に落ちることの裏返しである。

$n \leq 8$ まで分数のまま計算すると $0, \frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{7}{27}, \frac{20}{81}, \frac{61}{243}, \frac{182}{729}, \frac{547}{2187}$ で、式と完全に一致した。3つの値の確率がつねに等しいことも確かめた。

$a_{n + 1}$ の式に $b_{n}$ が現れない。 $z_{k} = ω$ からは $1$ に行けないからである。それでも3つが等しくなるのは、 $a_{n} = c_{n}$ が効いているからで、表を作って確かめる。

「3つが等しい」を証明なしに使わない。帰納法で1行書いておく。

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ である。最後の整理で係数がそろう。

第4問だけのページ

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問題文について

C:y=∣(x−3)(x+3)∣ と ℓ:y=a（0<a<9）で囲まれる図形のうち、y≥a にある部分の面積を S1​、y≤a にある部分の面積を S2​ とするとき、S1​=S2​ となる a を求める

(1)点 B の座標を t を用いて表す

(2)θ=∠OBA とするとき sin2θ を t を用いて表す

(3)f(t)=OAOP​ とするとき、t>0 で f(t) を最小にする t と最小値を求める

(1)m と n が平行であるための必要十分条件は D=0 であることを示す

(2)m⋅v=n⋅w=1、m⋅w=n⋅v=0 をみたす v,w を求める

(3)座標平面上のベクトル q​ に対して rm+sn=q​ をみたす実数 r,s を q​,v,w を用いて表す

(1)ω2=ω となることを示す

(2)zn​=0 となる確率を n の式で表す

(3)z3​=1、z3​=ω、z3​=ω2 となる確率をそれぞれ求める

(4)zn​=1 となる確率を n の式で表す

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