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九州大学　2024年度　前期日程　文科系

第1問積分法の解答・解説

共通接線・平行移動・放物線で囲む面積・1/3 公式当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)直線 $ℓ$ の方程式を求める

答 $y = 4 x - 2$

$C_{1}$ の接線を $x = s$ での接線として書き、それが $C_{2}$ にも接する（連立して重解）条件を立てる。 $C_{2}$ は $C_{1}$ を平行移動したものなので、接点どうしも同じだけずれる。

$C_{2} : y = 2 x^{2} - 8 x + 16 = 2 (x - 2)^{2} + 8$ なので、 $C_{2}$ は $C_{1}$ を $x$ 方向に $2$ 、 $y$ 方向に $8$ だけ平行移動したものである。

$C_{1}$ の接線。 $y^{'} = 4 x$ なので $x = s$ での接線は

y = 4 s (x - s) + 2 s^{2} = 4 s x - 2 s^{2}

である。 $m = 4 s$ 、 $b = - 2 s^{2}$ とおく。

$C_{2}$ に接する条件。 $2 x^{2} - 8 x + 16 = m x + b$ すなわち

2 x^{2} - (8 + m) x + (16 - b) = 0

が重解をもつ条件は、判別式 $= 0$ より

(8 + m)^{2} - 8 (16 - b) = 0

である。 $m = 4 s$ 、 $b = - 2 s^{2}$ を入れると

(8 + 4 s)^{2} - 8 (16 + 2 s^{2}) = 64 + 64 s + 16 s^{2} - 128 - 16 s^{2} = 64 s - 64 = 0

すなわち $s = 1$ である。よって

ℓ : y = 4 x - 2

である。接点は $C_{1}$ 側が $(1, 2)$ 、 $C_{2}$ 側が $x = \frac{8 + m}{4} = 3$ で $(3, 10)$ である。

$C_{2}$ が $C_{1}$ の平行移動なので、 $C_{2}$ 側の接点は $C_{1}$ 側の接点を $(2, 8)$ ずらした点になっている。実際 $(1, 2) + (2, 8) = (3, 10)$ である。共通接線が1本しかないのも、2つが合同な放物線だからである。

$s$ を $80$ 万点に刻んで判別式 $= 0$ をみたす $s$ を探すと $s = 1$ だけだった。

$s^{2}$ の項がきれいに消える。合同な放物線どうしなので、 $s$ の1次方程式に落ちて接線は1本だけになる。

判別式を使うかわりに「 $C_{2}$ の $x = u$ での接線と係数比較」でもよい。どちらでも $s = 1$ 、 $u = 3$ が出る。

(2)2つの放物線 $C_{1}, C_{2}$ と直線 $ℓ$ で囲まれた図形の面積を求める

答 $\frac{4}{3}$

$C_{1}$ と $C_{2}$ の交点が $x = 2$ で、 $ℓ$ との接点が $x = 1$ と $x = 3$ である。 $1 \leq x \leq 2$ では上が $C_{1}$ 、 $2 \leq x \leq 3$ では上が $C_{2}$ になる。どちらの差も完全平方になる。

交点。 $2 x^{2} = 2 x^{2} - 8 x + 16$ より $x = 2$ 、 $y = 8$ 。 $C_{1}$ と $C_{2}$ は $(2, 8)$ でただ1点交わる。

接点は $x = 1$ （ $C_{1}$ 側）と $x = 3$ （ $C_{2}$ 側）なので、囲まれた図形は $1 \leq x \leq 3$ にあり、下側は $ℓ$ 、上側は $x \leq 2$ で $C_{1}$ 、 $x \geq 2$ で $C_{2}$ である。

差を作る。

2 x^{2} - (4 x - 2) (2 x^{2} - 8 x + 16) - (4 x - 2) = 2 x^{2} - 4 x + 2 = 2 (x - 1)^{2} = 2 x^{2} - 12 x + 18 = 2 (x - 3)^{2}

である（接しているので、どちらも完全平方になる）。したがって

S = \int_{1}^{2} 2 (x - 1)^{2} d x + \int_{2}^{3} 2 (x - 3)^{2} d x = [\frac{2}{3} (x - 1)^{3}]_{1}^{2} + [\frac{2}{3} (x - 3)^{3}]_{2}^{3} = \frac{2}{3} + (0 - (- \frac{2}{3})) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

である。

2つの放物線

C_{1} : y = 2 x^{2}

、

C_{2} : y = 2 (x - 2)^{2} + 8

と共通接線

y = 4 x - 2

。

C_{1}

とは

(1, 2)

で、

C_{2}

とは

(3, 10)

で接し、

C_{1}

と

C_{2}

は

(2, 8)

で交わる。囲まれるのはこの3点を角とする細長い図形で、面積は

\frac{4}{3}

。

数値積分すると $1.333333333$ で、 $\frac{4}{3} = 1.333333333$ と一致した。

$x = 2$ で上側の曲線が入れ替わる。1本の積分で済ませない。

接しているので差が $2 (x - 1)^{2}$ 、 $2 (x - 3)^{2}$ と完全平方になる。ここに気づくと積分が一瞬で終わる。

$\int_{2}^{3} 2 (x - 3)^{2} d x$ の下端で $(2 - 3)^{3} = - 1$ になる。符号に注意。

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(1)直線 ℓ の方程式を求める

(2)2つの放物線 C1​,C2​ と直線 ℓ で囲まれた図形の面積を求める

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