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九州大学　2024年度　前期日程　文科系

九大文系 2024年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　積分法

共通接線・平行移動・放物線で囲む面積・1/3 公式当サイトの体感難易度：標準

(1)直線 $ℓ$ の方程式を求める

答 $y = 4 x - 2$

$C_{1}$ の接線を $x = s$ での接線として書き、それが $C_{2}$ にも接する（連立して重解）条件を立てる。 $C_{2}$ は $C_{1}$ を平行移動したものなので、接点どうしも同じだけずれる。

$C_{2} : y = 2 x^{2} - 8 x + 16 = 2 (x - 2)^{2} + 8$ なので、 $C_{2}$ は $C_{1}$ を $x$ 方向に $2$ 、 $y$ 方向に $8$ だけ平行移動したものである。

$C_{1}$ の接線。 $y^{'} = 4 x$ なので $x = s$ での接線は

y = 4 s (x - s) + 2 s^{2} = 4 s x - 2 s^{2}

である。 $m = 4 s$ 、 $b = - 2 s^{2}$ とおく。

$C_{2}$ に接する条件。 $2 x^{2} - 8 x + 16 = m x + b$ すなわち

2 x^{2} - (8 + m) x + (16 - b) = 0

が重解をもつ条件は、判別式 $= 0$ より

(8 + m)^{2} - 8 (16 - b) = 0

である。 $m = 4 s$ 、 $b = - 2 s^{2}$ を入れると

(8 + 4 s)^{2} - 8 (16 + 2 s^{2}) = 64 + 64 s + 16 s^{2} - 128 - 16 s^{2} = 64 s - 64 = 0

すなわち $s = 1$ である。よって

ℓ : y = 4 x - 2

である。接点は $C_{1}$ 側が $(1, 2)$ 、 $C_{2}$ 側が $x = \frac{8 + m}{4} = 3$ で $(3, 10)$ である。

$C_{2}$ が $C_{1}$ の平行移動なので、 $C_{2}$ 側の接点は $C_{1}$ 側の接点を $(2, 8)$ ずらした点になっている。実際 $(1, 2) + (2, 8) = (3, 10)$ である。共通接線が1本しかないのも、2つが合同な放物線だからである。

$s$ を $80$ 万点に刻んで判別式 $= 0$ をみたす $s$ を探すと $s = 1$ だけだった。

$s^{2}$ の項がきれいに消える。合同な放物線どうしなので、 $s$ の1次方程式に落ちて接線は1本だけになる。

判別式を使うかわりに「 $C_{2}$ の $x = u$ での接線と係数比較」でもよい。どちらでも $s = 1$ 、 $u = 3$ が出る。

(2)2つの放物線 $C_{1}, C_{2}$ と直線 $ℓ$ で囲まれた図形の面積を求める

答 $\frac{4}{3}$

$C_{1}$ と $C_{2}$ の交点が $x = 2$ で、 $ℓ$ との接点が $x = 1$ と $x = 3$ である。 $1 \leq x \leq 2$ では上が $C_{1}$ 、 $2 \leq x \leq 3$ では上が $C_{2}$ になる。どちらの差も完全平方になる。

交点。 $2 x^{2} = 2 x^{2} - 8 x + 16$ より $x = 2$ 、 $y = 8$ 。 $C_{1}$ と $C_{2}$ は $(2, 8)$ でただ1点交わる。

接点は $x = 1$ （ $C_{1}$ 側）と $x = 3$ （ $C_{2}$ 側）なので、囲まれた図形は $1 \leq x \leq 3$ にあり、下側は $ℓ$ 、上側は $x \leq 2$ で $C_{1}$ 、 $x \geq 2$ で $C_{2}$ である。

差を作る。

2 x^{2} - (4 x - 2) (2 x^{2} - 8 x + 16) - (4 x - 2) = 2 x^{2} - 4 x + 2 = 2 (x - 1)^{2} = 2 x^{2} - 12 x + 18 = 2 (x - 3)^{2}

である（接しているので、どちらも完全平方になる）。したがって

S = \int_{1}^{2} 2 (x - 1)^{2} d x + \int_{2}^{3} 2 (x - 3)^{2} d x = [\frac{2}{3} (x - 1)^{3}]_{1}^{2} + [\frac{2}{3} (x - 3)^{3}]_{2}^{3} = \frac{2}{3} + (0 - (- \frac{2}{3})) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

である。

2つの放物線

C_{1} : y = 2 x^{2}

、

C_{2} : y = 2 (x - 2)^{2} + 8

と共通接線

y = 4 x - 2

。

C_{1}

とは

(1, 2)

で、

C_{2}

とは

(3, 10)

で接し、

C_{1}

と

C_{2}

は

(2, 8)

で交わる。囲まれるのはこの3点を角とする細長い図形で、面積は

\frac{4}{3}

。

数値積分すると $1.333333333$ で、 $\frac{4}{3} = 1.333333333$ と一致した。

$x = 2$ で上側の曲線が入れ替わる。1本の積分で済ませない。

接しているので差が $2 (x - 1)^{2}$ 、 $2 (x - 3)^{2}$ と完全平方になる。ここに気づくと積分が一瞬で終わる。

$\int_{2}^{3} 2 (x - 3)^{2} d x$ の下端で $(2 - 3)^{3} = - 1$ になる。符号に注意。

第1問だけのページ

第2問　ベクトル

垂直条件・連立方程式・三角形の面積比・大きさ当サイトの体感難易度：標準

(1)点 $B$ の座標を求める

答 $B (1, 3)$

$B (p, q)$ とおくと、 $OA ⊥ AB$ が1次式、 $OB = 10$ が2次式になる。1次式を代入して解く。

$B (p, q)$ とおく（第1象限なので $p > 0$ 、 $q > 0$ ）。

垂直条件。 $OA = (2, 1)$ 、 $AB = (p - 2, q - 1)$ なので

2 (p - 2) + 1 \cdot (q - 1) = 0 ⟺ 2 p + q = 5

である。

大きさ。 $p^{2} + q^{2} = 10$ に $q = 5 - 2 p$ を入れると

p^{2} + (5 - 2 p)^{2} = 10 ⟺ 5 p^{2} - 20 p + 15 = 0 ⟺ p^{2} - 4 p + 3 = 0

すなわち $p = 1$ または $p = 3$ である。

$p = 1$ ： $q = 3 > 0$ 。第1象限にある。◯
$p = 3$ ： $q = 5 - 6 = - 1 < 0$ 。第1象限にない。×

よって $B (1, 3)$ である。

$OB = 3.16227766 = 10$ 、 $OA \cdot AB = 0$ を確かめた。

「第1象限にあり」という条件で $p = 3$ が切れる。これがないと答えが2つになる。

$AB = OB - OA$ である。 $BA$ と取り違えない（内積 $= 0$ なので結果は同じだが）。

(2) $s, t$ を正の実数とし $OC = s OA + t OB$ とする。 $△ OAC = △ OBC$ かつ $OC = 4$ のとき $s, t$ を求める

答 $s = t = \frac{4}{5}$

$△ OAC$ は $OA$ と $OC$ で張られる平行四辺形の半分なので、 $OC$ を代入すると $t$ に比例する。同様に $△ OBC$ は $s$ に比例する。だから面積が等しい $⟺$ $s = t$ である。

$OA = (2, 1)$ 、 $OB = (1, 3)$ である。2つのベクトル $u = (u_{1}, u_{2})$ 、 $v = (v_{1}, v_{2})$ が張る三角形の面積は $\frac{1}{2} ∣ u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1} ∣$ である。 $OA$ と $OB$ については

2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5 (\neq = 0)

である。

2つの三角形。 $OC = s OA + t OB$ を入れると

△ OAC △ OBC = \frac{1}{2} OA と OC の外積 = \frac{1}{2} ∣ t ∣ \cdot 5 = \frac{5 t}{2} = \frac{1}{2} ∣ s ∣ \cdot 5 = \frac{5 s}{2}

である（ $OA$ と $s OA$ の部分は消えるから）。 $s, t > 0$ なので、面積が等しい条件は

s = t

である。

大きさから決める。 $s = t$ のとき

OC = s {(2, 1) + (1, 3)} = s (3, 4)

で、 $OC = 5 s = 4$ より

s = t = \frac{4}{5}

である。

$△ OAC$ と $△ OBC$ はどちらも底辺を $OC$ と見ると、高さが $A$ 、 $B$ から直線 $OC$ までの距離になる。面積が等しいとは「 $A$ と $B$ が直線 $OC$ から等距離」ということで、 $C$ が $∠ AOB$ の「平行四辺形の対角線」方向にある、と読める。

$s = t = \frac{4}{5}$ のとき $OC = (2.4, 3.2)$ 、 $OC = 4.000000000$ 、 $△ OAC = △ OBC = 2.000000000$ だった。

$△ OAC$ に $s$ は効かない。 $OA$ の成分ぶんは $OA$ と平行で面積に寄与しないからである。

$s, t > 0$ という条件があるので $∣ s ∣ = s$ 、 $∣ t ∣ = t$ としてよい。負も許すと $s = - t$ も出る。

$(2, 1) + (1, 3) = (3, 4)$ で大きさ $5$ 。 $3, 4, 5$ の直角三角形になっていて計算が楽である。

第2問だけのページ

第3問　整数

階乗・不等式による絞り込み・大小の評価・不定方程式当サイトの体感難易度：やや難

(1)自然数 $a, b$ が $a < b$ をみたすとき $\frac{b !}{a !} \geq b$ を示す

答 $\frac{b !}{a !} = (a + 1) (a + 2) \dots b$ は $b$ を因数にもち、他の因数はすべて $1$ 以上

約分すると連続する整数の積になる。そこに $b$ が入っていて、残りはすべて $1$ 以上だから、積は $b$ 以上である。

$a < b$ なので $b!$ は $a!$ で割り切れて

\frac{b !}{a !} = (a + 1) (a + 2) \dots (b - 1) b

である（ $b - a$ 個の整数の積）。 $a \geq 1$ より因数はすべて $2$ 以上、とくに $1$ 以上で、しかも最後の因数が $b$ である。

$b$ 以外の因数の積を $K$ とおくと $K \geq 1$ （因数が1つもないとき、つまり $b = a + 1$ のときは $K = 1$ ）だから

\frac{b !}{a !} = K b \geq b

である。

等号が成り立つのは $K = 1$ 、すなわち $b = a + 1$ のときである。このことは (2) で使う。

$a = 2, b = 5$ で $\frac{120}{2} = 60 \geq 5$ 、 $a = 4, b = 5$ で $\frac{120}{24} = 5 \geq 5$ （等号）となり、どちらも正しい。

$\frac{b !}{a !}$ は「 $b$ から下へ $b - a$ 個」の積である。 $b$ が因数に入っていることが要点で、ここを言わないと $\geq b$ が出ない。

$b = a + 1$ のときは積が $b$ 1個だけになる。この端の場合も込みで成り立つ。

(2) $2 \cdot a! = b!$ をみたす自然数の組 $(a, b)$ をすべて求める

答 $(a, b) = (1, 2)$

$b! = 2 a! > a!$ だから $b > a$ である。すると (1) が使えて $\frac{b !}{a !} = 2 \geq b$ 、つまり $b$ が $2$ 以下に押さえ込まれる。

$b! = 2 \cdot a! > a!$ である。階乗は $1! \leq 2! \leq 3! \leq \dots$ と（広義）増加なので、 $b! > a!$ から $b > a$ がしたがう。

そこで (1) が使えて

2 = \frac{b !}{a !} \geq b

すなわち $b \leq 2$ である。一方 $b > a \geq 1$ より $b \geq 2$ だから $b = 2$ で、 $2 \cdot a! = 2$ より $a! = 1$ 、 $a = 1$ である。

(a, b) = (1, 2)

は実際 $2 \cdot 1! = 2 = 2!$ をみたす。

$1 \leq a < b \leq 60$ を全探索すると $(1, 2)$ だけだった。

まず $b > a$ を言う。これがないと (1) が使えない。

$a! = 1$ の解は自然数の範囲では $a = 1$ だけである（ $0! = 1$ だが $0$ は自然数に入れない）。

(3) $a! + b! = 2 \cdot c!$ をみたす自然数の組 $(a, b, c)$ をすべて求める

答 $(a, b, c) = (n, n, n)$ （ $n$ は任意の自然数）

$a = b$ なら $a! = c!$ となって $c = a$ 。 $a \neq = b$ のときは、大きいほうを $b$ として「 $c < b$ 」を示し、 $2 \cdot c! \leq 2 (b - 1)!$ と $a! + b! > b! = b (b - 1)!$ を突き合わせると $b < 2$ となって矛盾する。

$a = b$ のとき。 $2 \cdot a! = 2 \cdot c!$ より $a! = c!$ である。階乗は自然数の範囲で単射（ $1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, \dots$ とすべて異なる）だから $c = a$ 。よって $(n, n, n)$ はすべて解である。

$a \neq = b$ のとき。 $a, b$ は入れ替えても式が変わらないので $a < b$ としてよい。

$a! < b!$ だから

b! < a! + b! < 2 \cdot b!

である。真ん中が $2 \cdot c!$ だから $2 \cdot c! < 2 \cdot b!$ 、すなわち $c! < b!$ で $c < b$ 、つまり $c \leq b - 1$ である。したがって

2 \cdot c! \leq 2 (b - 1)!

である。一方

2 \cdot c! = a! + b! > b! = b (b - 1)!

なので、2つを合わせて

b (b - 1)! < 2 (b - 1)! ⟹ b < 2

となる。しかし $b > a \geq 1$ より $b \geq 2$ であり、矛盾する。よって $a \neq = b$ の解はない。

以上より求める組は

(a, b, c) = (n, n, n) (n = 1, 2, 3, \dots)

である。

$1 \leq a, b, c \leq 39$ を全探索すると解は $39$ 組あり、すべて $a = b = c$ だった。

「すべて求めよ」なので、 $a = b = c$ という無限個の解を答えとして書く。1組だけ挙げて終わりにしない。

$a \neq = b$ のとき「 $a < b$ としてよい」と断る。式が $a, b$ について対称だから許される。

$2 \cdot c! \leq 2 (b - 1)!$ と $2 \cdot c! > b (b - 1)!$ という2つの評価を挟み撃ちにする。 $(b - 1)! > 0$ で割れるのがきれいなところである。

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第4問　場合の数

格子点・傾きによる分類・直線の本数・数え上げ当サイトの体感難易度：やや難

(1) $L (3)$ を求める

答 $L (3) = 8$

$3 \times 3$ では、3点以上を通る直線は「3点ちょうどを通る直線」である。横・縦・斜めを数え上げればよい。

$3 \times 3$ の格子点は9個で、横の並びが3本、縦の並びが3本ある。斜めは傾き $1$ と $- 1$ の対角線が1本ずつである。

傾きが $\pm 2$ 、 $\pm \frac{1}{2}$ などの直線はどうか。たとえば傾き $2$ で3点並ぶには $y$ が $4$ だけ増える必要があるが、 $y$ の幅は $3 - 1 = 2$ しかない。よって不可能である。

L (3) = 3 + 3 + 2 = 8

3 \times 3

の格子点と、3点を通る8本の直線（横3・縦3・対角線2）。

9点から2点を選ぶ36通りの直線をすべて作って重複を除き、3点以上通るものを数えると8本だった。

中央の点を通る斜めの直線は対角線2本だけである。「縦横斜めで8本」は三目並べと同じ数え方になる。

(2) $L (4)$ を求める

答 $L (4) = 14$

横・縦に加えて、傾き $\pm 1$ の斜めが何本あるかを数える。傾きが $\pm 2$ 以上や $\pm \frac{1}{2}$ の直線はまだ3点を乗せられない。

横4本、縦4本である。

傾き $1$ 。 直線 $y = x + k$ 上の格子点の個数は、 $k = - 3, - 2, \dots, 3$ に対して $1, 2, 3, 4, 3, 2, 1$ である。3個以上なのは $k = - 1, 0, 1$ の3本。傾き $- 1$ も対称に3本。

その他の傾き。 傾きが $\frac{q}{p}$ （ $p, q$ は互いに素、 $p, q \geq 1$ ）の直線に3点が乗るには、 $x$ が $2 p$ 、 $y$ が $2 q$ だけ増える必要がある。 $4 \times 4$ では幅も高さも $3$ なので $2 p \leq 3$ かつ $2 q \leq 3$ 、つまり $p = q = 1$ しかない。これは傾き $\pm 1$ の場合である。

L (4) = 4 + 4 + 3 + 3 = 14

16点から作れる直線をすべて列挙すると、3点以上通るものは14本だった。

傾き $\pm 1$ の「3点だけ通る」短い対角線を忘れない。長い対角線2本だけでは足りない。

「3点乗せるには $x$ が $2 p$ 増える」という評価が効く。 $4 \times 4$ で傾き $2$ が入らない理由がこれである。

(3) $L (5)$ を求める

答 $L (5) = 32$

$5 \times 5$ になると幅・高さが $4$ になり、傾き $\pm 2$ 、 $\pm \frac{1}{2}$ の直線にも3点が乗るようになる。傾きごとに本数を数える。

横5本、縦5本である。

傾き $\pm 1$ 。 $y = x + k$ 上の点の個数は $k = - 4, \dots, 4$ に対して $1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1$ なので、3個以上は 5本。傾き $- 1$ も 5本。

傾き $2$ 。 方向ベクトルを $(1, 2)$ とすると、3点は $(x, y), (x + 1, y + 2), (x + 2, y + 4)$ である。 $y + 4 \leq 5$ より $y = 1$ 、 $x + 2 \leq 5$ より $x = 1, 2, 3$ の 3本。4点だと $y$ が $6$ 増えて範囲外なので、これ以上は乗らない。

傾き $- 2$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $- \frac{1}{2}$ 。 対称性から、それぞれ 3本ずつ。合わせて $3 \times 4 = 12$ 本。

それ以外の傾き。 傾き $\frac{q}{p}$ （ $p, q$ 互いに素）で3点乗せるには $2 p \leq 4$ かつ $2 q \leq 4$ 、つまり $p \leq 2$ 、 $q \leq 2$ が必要である。互いに素な組は $(p, q) = (1, 1), (1, 2), (2, 1)$ で、すでに数えた傾き $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$ に尽きる。

L (5) = 5 + 5 + 5 + 5 + 12 = 32

5 \times 5

で傾き

2

の直線は3本。

(1, 1), (2, 3), (3, 5)

のように3点ずつ乗る。

4 \times 4

までは高さが足りず、この型が現れない。

25点から作れる直線をすべて列挙して重複を除くと、3点以上通るものは32本だった（同じ方法で $L (3) = 8$ 、 $L (4) = 14$ も再現した）。

$n = 5$ で初めて傾き $\pm 2$ 、 $\pm \frac{1}{2}$ が登場する。(1)(2) と同じ数え方のままだと $20$ になってしまう。

傾き $2$ の直線を「 $4$ 本」と数えないこと。 $y = 1$ からしか始められないので3本である。

同じ直線を2回数えないよう、傾きで分類してから本数を数える。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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問題文について

(1)直線 ℓ の方程式を求める

(2)2つの放物線 C1​,C2​ と直線 ℓ で囲まれた図形の面積を求める

(1)点 B の座標を求める

(2)s,t を正の実数とし OC=sOA+tOB とする。△OAC=△OBC かつ ​OC​=4 のとき s,t を求める

(1)自然数 a,b が a<b をみたすとき a!b!​≥b を示す

(2)2⋅a!=b! をみたす自然数の組 (a,b) をすべて求める

(3)a!+b!=2⋅c! をみたす自然数の組 (a,b,c) をすべて求める

(1)L(3) を求める

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(1)自然数 $a, b$ が $a < b$ をみたすとき $\frac{b !}{a !} \geq b$ を示す

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