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九州大学 2024年度 前期日程 文科系
第2問 ベクトルの解答・解説
垂直条件・連立方程式・三角形の面積比・大きさ当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12
問題文について
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(1)点 の座標を求める
答
とおくと、 が1次式、 が2次式になる。1次式を代入して解く。
とおく（第1象限なので 、）。
垂直条件。 、 なので
である。
大きさ。 に を入れると
すなわち または である。
- ：。第1象限にある。◯
- ：。第1象限にない。×
よって である。
、 を確かめた。
「第1象限にあり」という条件で が切れる。これがないと答えが2つになる。
である。 と取り違えない（内積 なので結果は同じだが）。
(2) を正の実数とし とする。 かつ のとき を求める
答
は と で張られる平行四辺形の半分なので、 を代入すると に比例する。同様に は に比例する。だから面積が等しい である。
、 である。2つのベクトル 、 が張る三角形の面積は である。 と については
である。
2つの三角形。 を入れると
である（ と の部分は消えるから）。 なので、面積が等しい条件は
である。
大きさから決める。 のとき
で、 より
である。
と はどちらも底辺を と見ると、高さが 、 から直線 までの距離になる。面積が等しいとは「 と が直線 から等距離」ということで、 が の「平行四辺形の対角線」方向にある、と読める。
のとき 、、 だった。
に は効かない。 の成分ぶんは と平行で面積に寄与しないからである。
という条件があるので 、 としてよい。負も許すと も出る。
で大きさ 。 の直角三角形になっていて計算が楽である。
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