第1問 平面曲線・積分法の解答・解説

$2$ 点 $\mathrm{X}\left(x_1,y_1\right)$、$\mathrm{Y}\left(x_2,y_2\right)$ を $t:(1-t)$ に内分する点は $\left((1-t)x_1+t{x}_2,(1-t)y_1+t{y}_2\right)$ である。これを順に使う。

$\mathrm{A}(0,0)$、$\mathrm{B}(0,1)$、$\mathrm{C}(1,1)$、$\mathrm{D}(1,0)$ だから、1段目は

である。2段目は

となる。3段目は ${\mathrm{S}}_t$ と ${\mathrm{T}}_t$ を $t:(1-t)$ に内分して

である。よって ${\mathrm{U}}_t=\left(3t^2-2t^3,3t-3t^2\right)$ となる。$t=0$ で $(0,0)=\mathrm{A}$、$t=1$ で $(1,0)=\mathrm{D}$ となり、問題文が ${\mathrm{U}}_0=\mathrm{A}$、${\mathrm{U}}_1=\mathrm{D}$ と定めていることとも合う。

$x=3t^2-2t^3$ より $\frac{dx}{dt}=6t-6t^2=6t(1-t)$ である。$0<t<1$ では $\frac{dx}{dt}>0$ だから、$t$ が $0$ から $1$ まで増えるとき $x$ は $0$ から $1$ まで単調に増える。また $y=3t(1-t)\ge 0$ である。

線分 $\mathrm{AD}$ は $x$ 軸上の $0\le x\le 1$ の部分だから、囲まれた部分の面積は

である。中身を展開して積分すると

となるので $S=18\cdot \frac{1}{30}=\frac{3}{5}$ である。

$\frac{dx}{dt}=6t-6t^2$、$\frac{dy}{dt}=3-6t$ である。2乗して足すと

となる。括弧の中は完全平方で

と書ける。実際に右辺を展開すれば一致する。$2t^2-2t+1=2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}>0$ だから、速さは

となり、根号が外れる。よって求める長さは

である。