独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全5問・無料

東京大学　2025年度　前期日程　理科

東大理系 2025年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　平面曲線・積分法

内分点・媒介変数表示・面積・曲線の長さ当サイトの体感難易度：標準

(1)点 $U_{t}$ の座標を求める

答 $U_{t} = (3 t^{2} - 2 t^{3}, 3 t - 3 t^{2})$

内分を3段階くり返すだけなので、1段ずつ座標を書いていけば必ず出る。途中で $t$ の次数が1つずつ上がり、最後は3次式になる。式を整理しながら進めると、各段の形が次の段の材料になっていることが見える。

$2$ 点 $X (x_{1}, y_{1})$ 、 $Y (x_{2}, y_{2})$ を $t : (1 - t)$ に内分する点は $((1 - t) x_{1} + t x_{2}, (1 - t) y_{1} + t y_{2})$ である。これを順に使う。

$A (0, 0)$ 、 $B (0, 1)$ 、 $C (1, 1)$ 、 $D (1, 0)$ だから、1段目は

P_{t} = (0, t), Q_{t} = (t, 1), R_{t} = (1, 1 - t)

である。2段目は

S_{t} = (t^{2}, (1 - t) t + t) = (t^{2}, 2 t - t^{2})

T_{t} = ((1 - t) t + t, (1 - t) + t (1 - t)) = (2 t - t^{2}, 1 - t^{2})

となる。3段目は $S_{t}$ と $T_{t}$ を $t : (1 - t)$ に内分して

x y = (1 - t) t^{2} + t (2 t - t^{2}) = t^{2} - t^{3} + 2 t^{2} - t^{3} = 3 t^{2} - 2 t^{3} = (1 - t) (2 t - t^{2}) + t (1 - t^{2}) = 2 t - 3 t^{2} + t^{3} + t - t^{3} = 3 t - 3 t^{2}

である。よって $U_{t} = (3 t^{2} - 2 t^{3}, 3 t - 3 t^{2})$ となる。 $t = 0$ で $(0, 0) = A$ 、 $t = 1$ で $(1, 0) = D$ となり、問題文が $U_{0} = A$ 、 $U_{1} = D$ と定めていることとも合う。

t

を

0

から

1

まで動かしたときの

U_{t}

の軌跡と、

4

点

A, B, C, D

。薄い線は

A \to B \to C \to D

の折れ線。

$t = \frac{1}{2}$ では $S_{t} = (\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ 、 $T_{t} = (\frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ で、その中点は $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ 。式でも $3 \cdot \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ 、 $3 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ となる。

内分の比は $t : (1 - t)$ なので、係数は $X$ 側が $1 - t$ 、 $Y$ 側が $t$ である。比の書き方と係数の付き方が逆になりやすい。

$y$ 座標は $3 t - 3 t^{2} = 3 t (1 - t)$ と因数分解しておくと、このあとの面積と弧長の計算が軽くなる。

(2) $0 \leq t \leq 1$ で $U_{t}$ が描く曲線と線分 $AD$ で囲まれた部分の面積を求める

答 $\frac{3}{5}$

曲線が媒介変数で書けているので、 $\int y d x$ を $t$ の積分に書き換える。 $x$ が $t$ の増加とともに $0$ から $1$ まで単調に増えることを先に確かめておけば、置き換えがそのまま使える。

$x = 3 t^{2} - 2 t^{3}$ より $\frac{d x}{d t} = 6 t - 6 t^{2} = 6 t (1 - t)$ である。 $0 < t < 1$ では $\frac{d x}{d t} > 0$ だから、 $t$ が $0$ から $1$ まで増えるとき $x$ は $0$ から $1$ まで単調に増える。また $y = 3 t (1 - t) \geq 0$ である。

線分 $AD$ は $x$ 軸上の $0 \leq x \leq 1$ の部分だから、囲まれた部分の面積は

S = \int_{0}^{1} y d x = \int_{0}^{1} 3 t (1 - t) \cdot 6 t (1 - t) d t = 18 \int_{0}^{1} t^{2} (1 - t)^{2} d t

である。中身を展開して積分すると

\int_{0}^{1} (t^{2} - 2 t^{3} + t^{4}) d t = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{10 - 15 + 6}{30} = \frac{1}{30}

となるので $S = 18 \cdot \frac{1}{30} = \frac{3}{5}$ である。

$\int_{0}^{1} y \frac{d x}{d t} d t$ を数値積分すると $0.6000000000$ になる。

媒介変数のまま $\int y d x$ を使うには、 $x$ が単調であることを断っておく必要がある。単調でないと同じ $x$ を2回なぞって面積が重なる。

$\frac{d x}{d t}$ を掛け忘れて $\int y d t$ にしてしまうと、値が $\frac{1}{2}$ になって合わない。

(3) $0 < a < 1$ のとき、 $0 \leq t \leq a$ で $U_{t}$ が描く曲線の長さを $a$ の多項式で求める

答 $2 a^{3} - 3 a^{2} + 3 a$

速さ $(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2}$ の中身が完全平方になる。「多項式の形で求めよ」という指示が、根号が外れることを教えてくれている。

$\frac{d x}{d t} = 6 t - 6 t^{2}$ 、 $\frac{d y}{d t} = 3 - 6 t$ である。2乗して足すと

(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} = 36 t^{2} (1 - t)^{2} + 9 (1 - 2 t)^{2} = 9 (4 t^{4} - 8 t^{3} + 8 t^{2} - 4 t + 1)

となる。括弧の中は完全平方で

4 t^{4} - 8 t^{3} + 8 t^{2} - 4 t + 1 = (2 t^{2} - 2 t + 1)^{2}

と書ける。実際に右辺を展開すれば一致する。 $2 t^{2} - 2 t + 1 = 2 (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2} > 0$ だから、速さは

9 (2 t^{2} - 2 t + 1)^{2} = 3 (2 t^{2} - 2 t + 1)

となり、根号が外れる。よって求める長さは

L = \int_{0}^{a} 3 (2 t^{2} - 2 t + 1) d t = 3 [\frac{2 t ^{3}}{3} - t^{2} + t]_{0}^{a} = 2 a^{3} - 3 a^{2} + 3 a

である。

$a = 1$ なら $L = 2 - 3 + 3 = 2$ 。 $a = 0.7$ では速さの数値積分が $1.3160000000$ 、式も $2 (0.343) - 3 (0.49) + 2.1 = 1.316$ で一致する。

$(2 t^{2} - 2 t + 1)^{2} = 2 t^{2} - 2 t + 1$ である。判別式が負で常に正であることを確かめてから絶対値を外す。

完全平方に気づかないまま根号のまま積分しようとすると、高校の範囲では手が止まる。「多項式の形で」という指示を手がかりにする。

第1問だけのページ

第2問　極限

対数不等式・はさみうち・定積分と極限当サイトの体感難易度：やや難

(1) $x > 0$ のとき $lo g x \leq x - 1$ を示す

答 $f (x) = x - 1 - lo g x$ は $x = 1$ で最小値 $0$ を取るので、 $x > 0$ で $lo g x \leq x - 1$

差を1つの関数にまとめて微分する。等号がどこで成り立つかまで出るので、あとの小問で使うときに扱いやすい。

$f (x) = x - 1 - lo g x$ （ $x > 0$ ）とおくと

f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}

である。 $0 < x < 1$ では $f^{'} (x) < 0$ 、 $x > 1$ では $f^{'} (x) > 0$ だから、 $f$ は $x = 1$ で最小になる。その最小値は $f (1) = 1 - 1 - lo g 1 = 0$ である。

よって $x > 0$ のとき $f (x) \geq 0$ 、すなわち $lo g x \leq x - 1$ が成り立つ。等号は $x = 1$ のときに限る。

$x = 2$ では $lo g 2 = 0.693 \dots \leq 1$ 、 $x = \frac{1}{2}$ では $lo g \frac{1}{2} = - 0.693 \dots \leq - \frac{1}{2}$ でどちらも成り立つ。

最小値が $0$ であることまで書く。 $f^{'}$ の符号だけで「よって $f \geq 0$ 」とすると、最小値が負でないことの根拠が抜ける。

(2) $n \to \infty lim n \int_{1}^{2} lo g (\frac{1 + x ^{\frac{1}{n}}}{2}) d x$ を求める

答 $lo g 2 - \frac{1}{2}$

$n \to \infty$ で $x^{1/ n} \to 1$ なので $lo g$ の中は $1$ に近づき、積分は $0$ に近づく。そこへ $n$ を掛けるので、 $0$ に近づく速さを押さえる必要がある。(1) の不等式を上下から当てて、はさみうちに持ち込む。

$1 \leq x \leq 2$ とし、 $u = x^{\frac{1}{n}}$ とおく。 $u > 0$ である。 $lo g \frac{1 + u}{2}$ を上下から挟む。

上から。 (1) の $lo g s \leq s - 1$ に $s = \frac{1 + u}{2}$ を入れると

lo g \frac{1 + u}{2} \leq \frac{1 + u}{2} - 1 = \frac{u - 1}{2}

下から。 (1) の不等式に $s = \frac{2}{1 + u}$ を入れると $lo g \frac{2}{1 + u} \leq \frac{2}{1 + u} - 1 = \frac{1 - u}{1 + u}$ であり、左辺の符号を変えて

lo g \frac{1 + u}{2} \geq \frac{u - 1}{1 + u}

を得る。以上を $n$ 倍して $x$ で積分すると

n \int_{1}^{2} \frac{x ^{\frac{1}{n}} - 1}{1 + x ^{\frac{1}{n}}} d x \leq n \int_{1}^{2} lo g (\frac{1 + x ^{\frac{1}{n}}}{2}) d x \leq \frac{n}{2} \int_{1}^{2} (x^{\frac{1}{n}} - 1) d x

となる。ここで $n (x^{\frac{1}{n}} - 1)$ の振る舞いを押さえる。 $x^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{l o g x}{n}}$ であり、 $h = \frac{lo g x}{n}$ とおくと $n (x^{\frac{1}{n}} - 1) = lo g x \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h}$ である。 $1 \leq x \leq 2$ なら $0 \leq h \leq \frac{lo g 2}{n}$ で、 $n \to \infty$ のとき $h \to 0$ だから $\frac{e ^{h} - 1}{h} \to 1$ となり、これは $x$ の取り方によらず一様に成り立つ。

したがって右端は $\frac{1}{2} \int_{1}^{2} lo g x d x$ に、左端は $x^{\frac{1}{n}} \to 1$ より分母が $2$ に近づくので同じ $\frac{1}{2} \int_{1}^{2} lo g x d x$ に収束する。はさみうちの原理より、求める極限も同じ値である。

\frac{1}{2} \int_{1}^{2} lo g x d x = \frac{1}{2} [x lo g x - x]_{1}^{2} = \frac{1}{2} {(2 lo g 2 - 2) - (- 1)} = lo g 2 - \frac{1}{2}

よって極限は $lo g 2 - \frac{1}{2}$ である。

$lo g 2 - \frac{1}{2} = 0.1931472 \dots$ 。 $n = 50, 200, 1000, 4000$ で数値計算すると $0.19362, 0.19326, 0.19317, 0.19315$ と、 $n$ を増やすほど近づく。

$lo g$ の中が $1$ に近づくからといって、積分を先に $0$ にしてはいけない。 $n$ を掛けているので、 $0$ に近づく速さ（ $\frac{lo g x}{2 n}$ の程度）まで押さえないと値が出ない。

下からの評価は、(1) の不等式を $\frac{2}{1 + u}$ に当てて向きを変えると作れる。同じ不等式を2通りに使うのがこの問題の仕掛け。

$\int lo g x d x = x lo g x - x$ は部分積分で出す。暗記していても、答案では1行で導いておくと安全。

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第3問　図形と三角関数

三角関数の合成・長方形に内接する平行四辺形・最大値当サイトの体感難易度：やや難

(1) $∠ BCG = θ$ のとき、長方形 $EFGH$ の面積 $S$ を $a, b, θ$ で表す

答 $S = \frac{a ^{2}}{2} sin (2 θ + \frac{2 π}{3}) + \frac{b ^{2}}{2} sin 2 θ + \frac{ab}{2}$

長方形の2辺の長さを、 $θ$ を使って直角三角形から拾う。 $B$ のまわりの角の和から、もう一方の直角三角形の角も $θ$ で書ける。縦と横を出して掛ければ終わる。

$F$ を原点、辺 $FG$ を $x$ 軸の正の向き、辺 $FE$ を $y$ 軸の正の向きに取る。 $A$ は辺 $EF$ 上、 $B$ は辺 $FG$ 上、 $C$ は辺 $GH$ 上、 $D$ は辺 $HE$ 上にある。

三角形 $BCG$ は $G$ が直角で、斜辺が $BC = b$ 、 $∠ BCG = θ$ だから

CG = b cos θ, BG = b sin θ, ∠ CBG = \frac{π}{2} - θ

である。点 $B$ は直線 $FG$ 上にあるので、 $B$ のまわりで $∠ ABF + ∠ ABC + ∠ CBG = π$ が成り立つ。 $∠ ABC = \frac{π}{6}$ を使うと

∠ ABF = π - \frac{π}{6} - (\frac{π}{2} - θ) = \frac{π}{3} + θ

となる。三角形 $ABF$ は $F$ が直角で斜辺が $AB = a$ だから

BF = a cos (\frac{π}{3} + θ), AF = a sin (\frac{π}{3} + θ)

である。したがって長方形の2辺は

FG = BF + BG = a cos (\frac{π}{3} + θ) + b sin θ

FE = AF + CG = a sin (\frac{π}{3} + θ) + b cos θ

となる（ $FE$ は、 $D$ が辺 $HE$ 上にあることから $D = A + BC$ の $y$ 座標として確かめられる）。掛け合わせて

S = {a cos (\frac{π}{3} + θ) + b sin θ} {a sin (\frac{π}{3} + θ) + b cos θ} = \frac{a ^{2}}{2} sin (2 θ + \frac{2 π}{3}) + ab cos (\frac{π}{3} + θ - θ) \cdot 1 + \frac{b ^{2}}{2} sin 2 θ

を得る。真ん中の項は、 $cos (\frac{π}{3} + θ) cos θ + sin (\frac{π}{3} + θ) sin θ = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ という加法定理からきている。よって

S = \frac{a ^{2}}{2} sin (2 θ + \frac{2 π}{3}) + \frac{b ^{2}}{2} sin 2 θ + \frac{ab}{2}

である。なお $BF \geq 0$ と $BG \geq 0$ から $0 \leq θ \leq \frac{π}{6}$ であり、両端では $B$ が長方形の頂点と重なる。問題文が「辺はその両端の点も含む」と断っているので、この2つも許される。

$a = b = 1$ 、 $θ = \frac{π}{6}$ のとき、式は $\frac{1}{2} sin π + \frac{1}{2} sin \frac{π}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = 0.9330 \dots$ 。座標から直接組み立てた長方形の面積も同じ値になる。

$∠ ABF$ を $\frac{π}{3} - θ$ としてしまう間違いが多い。 $B$ のまわりの3つの角の和が $π$ であることから丁寧に出す。

$θ$ の動く範囲 $0 \leq θ \leq \frac{π}{6}$ を (1) のうちに出しておく。(2) で最大値を取る位置が範囲の内か端かを分けるのに要る。

(2) $S$ のとりうる値の最大値を $a, b$ で表す

答 $a \leq b \leq 2 a$ のとき $\frac{ab}{2} + \frac{1}{2} a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}$ 、 $b > 2 a$ のとき $\frac{3}{4} b^{2} + \frac{ab}{2}$

$sin$ の2つの項を合成して1つの $sin$ にまとめる。合成した角が範囲 $0 \leq θ \leq \frac{π}{6}$ の中で $\frac{π}{2}$ に届くかどうかで、最大値が内部で取れるか端で取れるかが分かれる。

(1) の式の $sin$ の部分を展開してまとめる。 $sin (2 θ + \frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2} sin 2 θ + \frac{3}{2} cos 2 θ$ だから

S - \frac{ab}{2} = \frac{2 b ^{2} - a ^{2}}{4} sin 2 θ + \frac{3 a ^{2}}{4} cos 2 θ

となる。これを合成する。振幅は

R = \frac{1}{4} (2 b^{2} - a^{2})^{2} + 3 a^{4} = \frac{1}{4} 4 (a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}) = \frac{1}{2} a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}

であり、 $S = \frac{ab}{2} + R sin (2 θ + φ)$ と書ける。ここで $φ$ は

cos φ = \frac{2 b ^{2} - a ^{2}}{4 R}, sin φ = \frac{3 a ^{2}}{4 R}

で定まる角である。 $a \leq b$ より $2 b^{2} - a^{2} \geq a^{2} > 0$ なので $0 < φ < \frac{π}{2}$ である。

$θ$ が $0$ から $\frac{π}{6}$ まで動くとき $2 θ + φ$ は $φ$ から $φ + \frac{π}{3}$ まで動く。 $S$ が最大になるのは $sin$ が $1$ になるとき、つまり $2 θ + φ = \frac{π}{2}$ のときで、これが範囲に入る条件は

φ \leq \frac{π}{2} \leq φ + \frac{π}{3} ⟺ φ \geq \frac{π}{6}

である。 $0 < φ < \frac{π}{2}$ だから、これは $tan φ \geq tan \frac{π}{6} = \frac{1}{3}$ と同じで

\frac{3 a ^{2}}{2 b ^{2} - a ^{2}} \geq \frac{1}{3} ⟺ 3 a^{2} \geq 2 b^{2} - a^{2} ⟺ b^{2} \leq 2 a^{2}

すなわち $b \leq 2 a$ となる。

$a \leq b \leq 2 a$ のとき。 最大値は $sin$ が $1$ を取る $θ$ で実現し

S_{m a x} = \frac{ab}{2} + \frac{1}{2} a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}

$b > 2 a$ のとき。 $φ < \frac{π}{6}$ だから $2 θ + φ$ は $\frac{π}{2}$ に届かず、範囲の全体で $cos (2 θ + φ) > 0$ 、つまり $S$ は $θ$ について増加する。よって最大は右端 $θ = \frac{π}{6}$ で取り

S_{m a x} = \frac{a ^{2}}{2} sin π + \frac{b ^{2}}{2} sin \frac{π}{3} + \frac{ab}{2} = \frac{3}{4} b^{2} + \frac{ab}{2}

となる。

$a = b = 1$ なら $b \leq 2 a$ の側で $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} 1 - 1 + 1 = 1$ 。 $a = 1, b = 2$ なら $b > 2 a$ の側で $\frac{3}{4} \cdot 4 + 1 = 3 + 1 = 2.7320508 \dots$ 。どちらも $θ$ を20万点きざみで全探索した最大値と一致する。

合成したあと、 $sin$ が $1$ を取る角が範囲の中にあるかどうかを必ず調べる。調べずに振幅を足すと、 $b$ が大きいときに実現しない値を答えてしまう。

$(2 b^{2} - a^{2})^{2} + 3 a^{4} = 4 (a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4})$ の変形を1行で済ませない。展開して確かめておくと、根号の中の形に自信が持てる。

$a \leq b$ という条件は $2 b^{2} - a^{2} > 0$ 、つまり $φ$ が第1象限にあることに使っている。

第3問だけのページ

第4問　整数

平方数・因数分解・約数の個数・素数当サイトの体感難易度：やや難

(1)正の整数 $n$ について、 $f_{a} (n)$ が平方数ならば $n \leq a$ であることを示す

答 $n > a$ と仮定すると $a < 0$ が導かれ、 $a$ が正の整数であることに反する

背理法が速い。 $n > a$ なら $f_{a} (n) = n^{2} + n - a$ は $n^{2}$ より大きくなり、平方数なら $(n + 1)^{2}$ 以上になってしまう。そこから $a$ の符号で矛盾を出す。

$f_{a} (n) = n^{2} + n - a$ が平方数であるとし、 $f_{a} (n) = m^{2}$ （ $m$ は $0$ 以上の整数）とおく。 $n > a$ と仮定して矛盾を導く。

$n > a$ なら $n - a \geq 1$ だから $m^{2} = n^{2} + (n - a) \geq n^{2} + 1 > n^{2}$ であり、 $m > n$ すなわち $m \geq n + 1$ となる。よって

n^{2} + n - a = m^{2} \geq (n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n + 1

である。両辺から $n^{2}$ を引いて整理すると $n - a \geq 2 n + 1$ 、すなわち $a \leq - n - 1$ となる。 $n \geq 1$ だから $a \leq - 2$ で、 $a$ が正の整数であることに反する。

したがって $n \leq a$ である。

$a = 6$ のとき $f_{6} (n) = n^{2} + n - 6$ が平方数になるのは $n = 2$ （ $0 = 0^{2}$ ）と $n = 6$ （ $36 = 6^{2}$ ）で、どちらも $n \leq 6$ 。

$m$ は $0$ 以上の整数である。 $m > n \geq 1$ から $m \geq n + 1$ とするところで、 $m$ が整数であることを使っている。

「平方数」の定義が問題文で $0$ 以上の整数の2乗と定められている。 $f_{a} (n) = 0$ の場合も平方数に含まれることに注意する。

(2) $N_{a} = 1$ と「 $4 a + 1$ が素数」が同値であることを示す

答 $f_{a} (n) = m^{2}$ は $(2 n + 1 - 2 m) (2 n + 1 + 2 m) = 4 a + 1$ と同値で、 $N_{a}$ は $4 a + 1$ の約数の組の個数に等しい

$n^{2} + n$ は平方完成しても $\frac{1}{2}$ が出て扱いにくいので、4倍して $(2 n + 1)^{2}$ を作る。すると平方数の差の形になり、因数分解で $4 a + 1$ の約数の問題に変わる。

$f_{a} (n) = m^{2}$ の両辺を4倍して整理すると

4 n^{2} + 4 n - 4 a = 4 m^{2} ⟺ (2 n + 1)^{2} - (2 m)^{2} = 4 a + 1

すなわち

(2 n + 1 - 2 m) (2 n + 1 + 2 m) = 4 a + 1

となる。以下 $N = 4 a + 1$ とおく。 $N$ は $5$ 以上の奇数である。

組と解の対応。 $d = 2 n + 1 - 2 m$ 、 $e = 2 n + 1 + 2 m$ とおくと $d e = N > 0$ で、 $e = 2 n + 1 + 2 m > 0$ だから $d > 0$ であり、 $m \geq 0$ より $d \leq e$ である。逆に $N = d e$ （ $0 < d \leq e$ ）が与えられたとき

2 n + 1 = \frac{d + e}{2}, 2 m = \frac{e - d}{2}

で $n, m$ を定める。 $N$ が奇数だから $d, e$ はともに奇数で、 $d + e$ も $e - d$ も偶数である。さらに $\frac{d + e}{2}$ と $\frac{e - d}{2}$ の和は $e$ （奇数）なので、一方が奇数で他方が偶数になる。

どちらが奇数かは $d, e$ を $4$ で割った余りで決まる。 $N \equiv 1 (mod 4)$ だから、 $d \equiv e \equiv 1$ か $d \equiv e \equiv 3$ のどちらかで、いずれの場合も $d + e \equiv 2 (mod 4)$ 、 $e - d \equiv 0 (mod 4)$ となる。つまり $\frac{d + e}{2}$ が奇数、 $\frac{e - d}{2}$ が偶数で、 $n, m$ はともに整数として定まる。

$n$ が正であることも確かめる。 $2 n + 1 = \frac{d + e}{2}$ で、 $d \geq 1$ 、 $e \geq \frac{N}{d} \geq 1$ だから $d + e \geq 1 + N \geq 6$ 、よって $2 n + 1 \geq 3$ すなわち $n \geq 1$ である。

以上より、 $f_{a} (n)$ が平方数となる正の整数 $n$ と、 $N$ の約数の組 $(d, e)$ （ $d e = N$ 、 $0 < d \leq e$ ）とが1対1に対応する。したがって $N_{a}$ はこの組の個数に等しい。

同値性。 約数の組の個数が $1$ になるのは、 $N$ の正の約数が $1$ と $N$ だけで、かつ $d = e$ の組がない場合、すなわち $N$ が素数のときである。実際、 $N$ が素数なら組は $(1, N)$ の1つだけ。 $N$ が素数でないとき、 $N = 1$ は $N \geq 5$ に反するので $N$ は合成数で、 $1 < d_{0} \leq N$ をみたす約数 $d_{0}$ が存在し、組 $(1, N)$ と $(d_{0}, \frac{N}{d _{0}})$ の2つ以上が取れる。

よって $N_{a} = 1$ であることと $N = 4 a + 1$ が素数であることは同値である。

$a = 1$ なら $N = 5$ （素数）で、組は $(1, 5)$ のみ。 $n = 1$ 、 $m = 1$ で $f_{1} (1) = 1 = 1^{2}$ となり $N_{1} = 1$ 。 $a = 6$ なら $N = 25$ （素数でない）で、組は $(1, 25)$ と $(5, 5)$ の2つ。実際 $f_{6} (2) = 0 = 0^{2}$ 、 $f_{6} (6) = 36 = 6^{2}$ で $N_{6} = 2$ である。 $a = 1$ から $599$ まで全探索しても、 $N_{a} = 1$ と「 $4 a + 1$ が素数」は完全に一致した。

$4$ 倍して $(2 n + 1)^{2}$ を作るのがこの問題の要。平方完成で $(n + \frac{1}{2})^{2}$ のまま進めると、整数の議論に持ち込めない。

$d, e$ から $n, m$ が整数として戻ることを確かめる。 $N \equiv 1 (mod 4)$ がここで効いていて、確認を飛ばすと対応が1対1だと言えない。

$n$ が正であることまで示す。 $n = 0$ を数えてしまうと個数が1つずれる。

第4問だけのページ

第6問　複素数平面

反転・軌跡・放物線・最大最小当サイトの体感難易度：難

(1) $C$ 上の $z$ に対し $\frac{1}{z}$ の実部が $1$ であることを示す

答 $C$ 上では $∣ z ∣^{2} = Re z$ となり、 $Re \frac{1}{z} = \frac{Re z}{∣ z ∣ ^{2}} = 1$

円の方程式を共役で書き直すと、 $z \overline{z}$ と $z + \overline{z}$ の関係になる。そこから $\frac{1}{z} = \frac{z}{∣ z ∣ ^{2}}$ の実部がすぐ出る。

$C$ は $z - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ から原点を除いたものである。両辺を2乗して共役で書くと

(z - \frac{1}{2}) \overline{(z - \frac{1}{2})} = \frac{1}{4} ⟺ z \overline{z} - \frac{z + z}{2} = 0

となる。 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ 、 $\frac{z + z}{2} = Re z$ だから $∣ z ∣^{2} = Re z$ である。

$C$ 上では $z \neq = 0$ なので $\frac{1}{z} = \frac{z}{∣ z ∣ ^{2}}$ と書けて

Re \frac{1}{z} = \frac{Re z}{∣ z ∣ ^{2}} = \frac{Re z}{∣ z ∣ ^{2}} = \frac{∣ z ∣ ^{2}}{∣ z ∣ ^{2}} = 1

となる。

$z = 1$ は $C$ 上にあり $\frac{1}{z} = 1$ で実部 $1$ 。 $z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ も $C$ 上で、 $\frac{1}{z} = 1 - i$ の実部は $1$ 。

原点を除いてあるのは $\frac{1}{z}$ を考えるため。除外の理由を1行書いておく。

$Re \overline{z} = Re z$ である。共役を取っても実部は変わらない。

(2) $α, β$ が $C$ 上の相異なる複素数のとき、 $\frac{1}{α ^{2}} + \frac{1}{β ^{2}}$ のとりうる範囲を図示する

答放物線 $x = 2 - \frac{y ^{2}}{8}$ の左側の開いた領域、すなわち $Re w < 2 - \frac{( Im w ) ^{2}}{8}$

(1) より $\frac{1}{α}$ 、 $\frac{1}{β}$ は直線 $Re = 1$ 上を動く。そこで $\frac{1}{α} = 1 + s i$ 、 $\frac{1}{β} = 1 + t i$ と置けば、2乗の和は $s, t$ の対称式で書ける。対称式なので、和と平方和を変数に取り替えると条件が見やすくなる。

(1) より $\frac{1}{α}$ 、 $\frac{1}{β}$ の実部はどちらも $1$ だから、実数 $s, t$ を用いて $\frac{1}{α} = 1 + s i$ 、 $\frac{1}{β} = 1 + t i$ と書ける。

逆に、任意の実数 $s$ に対し $1 + s i \neq = 0$ なので $α = \frac{1}{1 + s i}$ が定まり、これは $C$ 上にある（ $α - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 + s i} - \frac{1}{2} = \frac{1 - s i}{2 ( 1 + s i )} = \frac{1}{2}$ ）。つまり $s$ は実数全体を動く。また $α \neq = β$ は $s \neq = t$ と同値である。

このとき

w = \frac{1}{α ^{2}} + \frac{1}{β ^{2}} = (1 + s i)^{2} + (1 + t i)^{2} = (2 - s^{2} - t^{2}) + 2 (s + t) i

となる。 $w = x + y i$ とおくと $x = 2 - (s^{2} + t^{2})$ 、 $y = 2 (s + t)$ である。

$p = s + t$ 、 $q = s^{2} + t^{2}$ とおくと $p = \frac{y}{2}$ 、 $q = 2 - x$ である。 $s, t$ は2次方程式 $X^{2} - pX + \frac{p ^{2} - q}{2} = 0$ の2解だから、 $s, t$ が相異なる実数であることは判別式が正であること、すなわち

p^{2} - 4 \cdot \frac{p ^{2} - q}{2} > 0 ⟺ 2 q - p^{2} > 0 ⟺ q > \frac{p ^{2}}{2}

と同値である。 $p, q$ を $x, y$ に戻すと

2 - x > \frac{1}{2} (\frac{y}{2})^{2} = \frac{y ^{2}}{8} ⟺ x < 2 - \frac{y ^{2}}{8}

となる。逆にこの不等式をみたす $(x, y)$ に対しては $q > \frac{p ^{2}}{2}$ となる $p, q$ が定まり、相異なる実数 $s, t$ が取れる。

\frac{1}{α ^{2}} + \frac{1}{β ^{2}}

のとりうる範囲。放物線

x = 2 - \frac{y ^{2}}{8}

の左側で、境界は含まない（破線）。頂点は

(2, 0)

。

以上より、求める範囲は放物線 $x = 2 - \frac{y ^{2}}{8}$ の左側の領域（境界を含まない）である。

$s = 1, t = - 1$ なら $w = (1 + i)^{2} + (1 - i)^{2} = 2 i - 2 i = 0$ で、 $0 < 2 - 0$ をみたす。 $s = 0, t \to 0$ は $s \neq = t$ に反するが、 $s = 0, t = 0.01$ なら $w$ は $2$ のすぐ左に来る。

$s, t$ が相異なるという条件が判別式の正の不等号になる。等号を許すと境界まで入ってしまい、(3) の答えが変わる。

$s$ が実数全体を動くことを、逆向きの確認（ $α = \frac{1}{1 + s i}$ が $C$ 上にある）まで書く。書かないと「範囲」ではなく「必要条件」で終わる。

(3)(2) の範囲に属さない $γ$ について、 $Re \frac{1}{γ}$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{1}{2}$ （ $γ = 2$ のとき）、最小値 $- \frac{1}{16}$ （ $γ = - 4 \pm 43 i$ のとき）

$γ = x + y i$ とおくと条件は $y^{2} \geq 16 - 8 x$ で、求めるものは $\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}$ 。 $x$ を固定すると分母は $y^{2}$ が小さいほど小さいので、境界に乗せたときが端になる。そこから1変数の最大最小に落ちる。

$γ = x + y i$ （ $x, y$ は実数）とおく。(2) の範囲に属さないことは $x \geq 2 - \frac{y ^{2}}{8}$ 、すなわち

y^{2} \geq 16 - 8 x

と書ける。なお原点は $0 < 2$ をみたして (2) の範囲に入るので、 $γ \neq = 0$ である。このとき

Re \frac{1}{γ} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}

である。 $x$ を固定して考える。分子 $x$ は $y$ によらないので、 $x > 0$ のときは分母が小さいほど値が大きく、 $x < 0$ のときは分母が小さいほど値が小さい。どちらの場合も $y^{2}$ を許される範囲で最小にしたときが端になる。

$x \geq 2$ なら $y^{2} \geq 16 - 8 x$ は $y = 0$ でもみたされ、そのとき $Re \frac{1}{γ} = \frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}$ で、 $x = 2$ のとき $\frac{1}{2}$ を取る。

$x < 2$ なら $y^{2}$ の最小は $16 - 8 x$ で、そのとき

\frac{x}{x ^{2} + 16 - 8 x} = \frac{x}{( x - 4 ) ^{2}}

となる。そこで $x < 2$ で $g (x) = \frac{x}{( x - 4 ) ^{2}}$ の増減を調べる。

g^{'} (x) = \frac{( x - 4 ) ^{2} - x \cdot 2 ( x - 4 )}{( x - 4 ) ^{4}} = \frac{- ( x + 4 )}{( x - 4 ) ^{3}}

$x < 2$ では $(x - 4)^{3} < 0$ だから、 $g^{'} (x)$ の符号は $x + 4$ の符号と同じである。よって $x < - 4$ で減少、 $- 4 < x < 2$ で増加し、 $x = - 4$ で最小になる。

g (- 4) = \frac{- 4}{( - 8 ) ^{2}} = - \frac{1}{16}

$x \to - \infty$ では $g (x) \to 0^{-}$ なので、下に有界で最小値は $- \frac{1}{16}$ である。また $x \to 2^{-}$ では $g (x) \to \frac{1}{2}$ に近づくが、 $x = 2$ の場合は上で見たとおり $\frac{1}{2}$ をちょうど取る。

以上をまとめると、最大値は $\frac{1}{2}$ で $x = 2, y = 0$ 、つまり $γ = 2$ のとき。最小値は $- \frac{1}{16}$ で $x = - 4$ 、 $y^{2} = 16 + 32 = 48$ 、つまり $γ = - 4 \pm 43 i$ のときである。

どちらも条件をみたすことを確かめておく。 $γ = 2$ では $y^{2} = 0$ 、 $16 - 8 x = 0$ で等号が成り立ち、範囲に属さない。 $γ = - 4 + 43 i$ では $y^{2} = 48$ 、 $16 - 8 (- 4) = 48$ でこれも等号である。

$γ = 2$ では $\frac{1}{γ} = \frac{1}{2}$ で実部 $\frac{1}{2}$ 。 $γ = - 4 + 43 i$ では $∣ γ ∣^{2} = 16 + 48 = 64$ で $Re \frac{1}{γ} = \frac{- 4}{64} = - \frac{1}{16}$ 。格子による全探索でも、最大 $0.4951$ （ $x = 2.02$ の格子点）、最小 $- 0.06244$ （ $x = - 4.155$ の格子点）と、刻み幅のぶんだけずれた値に収まった。

(2) の範囲が境界を含まないので、その外側は境界を含む。最大も最小も境界上で取るため、ここを取り違えると「最大値なし」としてしまう。

$x$ を固定して $y^{2}$ を動かす、という2段階の押さえ方をする。2変数のまま微分しようとすると手間が増える。

$x < 2$ の側で $g$ は $x = - 4$ に極小を持つ。端の値だけを比べると最小値を取り逃がす。

第6問だけのページ

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問題文について

(1)点 Ut​ の座標を求める

(2)0≤t≤1 で Ut​ が描く曲線と線分 AD で囲まれた部分の面積を求める

(3)0<a<1 のとき、0≤t≤a で Ut​ が描く曲線の長さを a の多項式で求める

(1)x>0 のとき logx≤x−1 を示す

(2)n→∞lim​n∫12​log(21+xn1​​)dx を求める

(1)∠BCG=θ のとき、長方形 EFGH の面積 S を a,b,θ で表す

(2)S のとりうる値の最大値を a,b で表す

(1)正の整数 n について、fa​(n) が平方数ならば n≤a であることを示す

(2)Na​=1 と「4a+1 が素数」が同値であることを示す

(1)C 上の z に対し z1​ の実部が 1 であることを示す

(2)α,β が C 上の相異なる複素数のとき、α21​+β21​ のとりうる範囲を図示する

(3)(2) の範囲に属さない γ について、Reγ1​ の最大値と最小値を求める