第4問 整数の解答・解説

$f_a(n)=n^2+n-a$ が平方数であるとし、$f_a(n)=m^2$（$m$ は $0$ 以上の整数）とおく。$n>a$ と仮定して矛盾を導く。

$n>a$ なら $n-a\ge 1$ だから $m^2=n^2+(n-a)\ge n^2+1>n^2$ であり、$m>n$ すなわち $m\ge n+1$ となる。よって

である。両辺から $n^2$ を引いて整理すると $n-a\ge 2n+1$、すなわち $a\le -n-1$ となる。$n\ge 1$ だから $a\le -2$ で、$a$ が正の整数であることに反する。

したがって $n\le a$ である。

$f_a(n)=m^2$ の両辺を4倍して整理すると

すなわち

となる。以下 $N=4a+1$ とおく。$N$ は $5$ 以上の奇数である。

組と解の対応。 $d=2n+1-2m$、$e=2n+1+2m$ とおくと $de=N>0$ で、$e=2n+1+2m>0$ だから $d>0$ であり、$m\ge 0$ より $d\le e$ である。逆に $N=de$（$0<d\le e$）が与えられたとき

で $n,m$ を定める。$N$ が奇数だから $d,e$ はともに奇数で、$d+e$ も $e-d$ も偶数である。さらに $\frac{d+e}{2}$ と $\frac{e-d}{2}$ の和は $e$（奇数）なので、一方が奇数で他方が偶数になる。

どちらが奇数かは $d,e$ を $4$ で割った余りで決まる。$N\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ だから、$d\equiv e\equiv 1$ か $d\equiv e\equiv 3$ のどちらかで、いずれの場合も $d+e\equiv 2(\mathrm{mod}4)$、$e-d\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ となる。つまり $\frac{d+e}{2}$ が奇数、$\frac{e-d}{2}$ が偶数で、$n,m$ はともに整数として定まる。

$n$ が正であることも確かめる。$2n+1=\frac{d+e}{2}$ で、$d\ge 1$、$e\ge \frac{N}{d}\ge 1$ だから $d+e\ge 1+N\ge 6$、よって $2n+1\ge 3$ すなわち $n\ge 1$ である。

以上より、$f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ と、$N$ の約数の組 $(d,e)$（$de=N$、$0<d\le e$）とが1対1に対応する。したがって $N_a$ はこの組の個数に等しい。

同値性。 約数の組の個数が $1$ になるのは、$N$ の正の約数が $1$ と $N$ だけで、かつ $d=e$ の組がない場合、すなわち $N$ が素数のときである。実際、$N$ が素数なら組は $(1,N)$ の1つだけ。$N$ が素数でないとき、$N=1$ は $N\ge 5$ に反するので $N$ は合成数で、$1<d_0\le \sqrt{N}$ をみたす約数 $d_0$ が存在し、組 $(1,N)$ と $\left(d_0,\frac{N}{d_0}\right)$ の2つ以上が取れる。

よって $N_a=1$ であることと $N=4a+1$ が素数であることは同値である。